2026年函数相关点法测试题及答案

2026年函数相关点法测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1处取得极值且f(1)=2，则下列说法正确的是A.b=-2a且c=a+2B.b=2a且c=a-2C.b=-a且c=2a+2D.b=a且c=-2a+22.已知函数g(x)=x³-3x²+3x-1，则其图像的对称中心为A.(0,-1)B.(1,0)C.(1,1)D.(2,1)3.设h(x)=|x-2|+|x+1|，则h(x)的最小值为A.0B.1C.2D.34.若函数p(x)=ln(x²+1)在区间[-1,1]上的最大值为M，最小值为m，则M-m=A.ln2B.ln3C.ln4D.ln55.设q(x)=e^{x}+e^{-x}，则q(x)在R上的性质为A.奇且增B.偶且减C.偶且有最小值2D.奇且有最大值26.函数r(x)=sinx+cosx在[0,π]上的最大值点为A.π/6B.π/4C.π/3D.π/27.若s(x)=x/(1+|x|)，则s(x)在R上的值域为A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-∞,+∞)D.[0,1)8.设t(x)=x⁵-5x，则t(x)的拐点横坐标为A.0B.1C.-1D.±19.若u(x)=log₂(x²-4x+5)的最小值为k，则2^{k}=A.1B.2C.3D.410.设v(x)=ax+b|x-1|在x=1处可导，则a,b满足A.a=bB.a=-bC.a=2bD.a=0二、填空题（每题2分，共20分）11.若f(x)=x²+px+q在x=3处的切线过点(1,0)，则p+q=________。12.函数g(x)=√(4-x²)的定义域用区间表示为________。13.设h(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为________。14.若p(x)=ax³+bx²+cx+d满足p(0)=p(1)=p(2)=0且p(3)=6，则a=________。15.函数q(x)=ln(x+√(x²+1))的奇偶性为________函数。16.设r(x)=x^{x}，则r'(1)=________。17.若s(x)=sin(ωx)在[0,π]内恰有3个零点，则正数ω的最小值为________。18.函数t(x)=e^{-x²}的拐点横坐标为________。19.设u(x)=|x²-4x+3|在[0,4]上的最大值为________。20.若v(x)=f(g(x))，其中f(u)=u²+1，g(x)=x-1，则v'(2)=________。三、判断题（每题2分，共20分，正确打“√”，错误打“×”）21.任何周期函数必有最小正周期。22.若f'(x₀)=0，则x₀必为极值点。23.偶函数的图像关于y轴对称。24.严格增函数的导数恒为正。25.若f(x)在[a,b]连续，则f(x)在[a,b]必可导。26.函数f(x)=|x|在x=0处不可导但连续。27.若f(x)在R上可导且f'(x)有界，则f(x)必一致连续。28.复合函数的定义域等于内层函数的定义域。29.若f(x)为凸函数，则-f(x)为凹函数。30.初等函数在其定义域内必连续。四、简答题（每题5分，共20分）31.叙述函数极值的第一充分条件，并举例说明。32.说明如何利用“相关点法”求函数y=|x-1|+|x-2|的最小值，并给出结果。33.给出函数f(x)=x³-3x的单调区间与极值，用相关点法简述过程。34.设g(x)=e^{x}+e^{-x}，用相关点法说明其在R上的最小值及取得位置。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论函数h(x)=x⁴-4x³+6x²-4x+1在实数域上的零点个数，并用相关点法说明理由。36.对于k∈R，讨论方程|x-1|+|x-2|=k的解的个数随k变化的规律，结合相关点法给出完整分段结论。37.设p(x)=ax²+bx+c，讨论系数a,b,c满足何种条件时，p(x)在[0,1]上的最大值与最小值必在端点取得，用相关点法分析。38.讨论函数q(x)=ln(x²+1)的凸凹区间与拐点，结合相关点法说明曲线形状变化。答案与解析一、1.A2.B3.D4.C5.C6.B7.A8.D9.A10.B二、11.-512.[-2,2]13.214.115.奇16.117.218.±1/√219.320.2三、21.×22.×23.√24.×25.×26.√27.√28.×29.√30.√四、31.第一充分条件：若f'(x₀)=0且在x₀左右两侧f'符号由正变负，则x₀为极大点；由负变正则为极小点。例：f(x)=-x²，f'(0)=0，左侧f'>0，右侧f'<0，故x=0为极大点，极大值0。32.相关点法：关键点是使绝对值内部为零的点x=1与x=2。将R分为三段：x<1、1≤x≤2、x>2。分别去掉绝对值得：y=3-2x、y=1、y=2x-3。显然中间段y恒为1，两侧均大于1，故最小值1，在[1,2]上任意点取得。33.求导f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。相关点x=±1。分段：x<-1、f'>0增；-1<x<1、f'<0减；x>1、f'>0增。故增区间(-∞,-1)∪(1,+∞)，减区间(-1,1)。极大值f(-1)=2，极小值f(1)=-2。34.令t=e^{x}>0，则g=t+1/t≥2，当且仅当t=1即x=0时取等。相关点法：考察g'(x)=e^{x}-e^{-x}，令为零得x=0；左侧g'<0，右侧g'>0，故x=0为最小点，最小值2。五、35.h(x)=(x-1)⁴，故唯一零点x=1，四重根。相关点法：令u=x-1，则h=u⁴，仅u=0为零点，故实数域仅1个零点。36.由简答题32知最小值1，最大值在x→±∞时→+∞。故k<1无解；k=1解为闭区间[1,2]；1<k<3解为两段对称区间；k=3解为x=0与x=3；k>3解为两段无界区间。完整分段：k∈(-∞,1)零解；k=1无穷解；k∈(1,3)两解；k=3两解；k∈(3,+∞)两解。37.若抛物线开口向上(a>0)且对称轴x=-b/(2a)≤0，则最小值在x=0，最大值在x=1；若开口向下(a<0)且对称轴≥1，则最大值在x=0，最小值在x=1。综合：a>0且-b/(2a)≤0，或a<0且-b/(2a)≥1。相关点法即比较顶点与端