条件概率、全概率与递推模型（解析版）-2026届高考数学压轴题专项训练

条件相阜■小相阜易虫羊馍型

目录

模块一、解题方法总迷

模块二、压轴题型专练

题型01条件梃率及其应用

题型02全概率公式及其应用

题型03概率与数列结合的递推模型（马尔可夫处）

题型04分布列与数学期里绿合题

模块三、球合实战演练

解题方法总述

一、概率与数列结合问题解题策略，

一、解题核心四步曲（标准化流程，所有题型通用）

步骤1：明状态，设数列一一定核心变量

1.分析试验的核心状态:通常为2类对立状态（如“成功/失败”“在4位置/在6位置”“发生/不发

生”），是概率递推的基础；

2.设概率数列:令网为第九次试验后处于目标状态的概率，直接定义1-网为处于对立状态的概率（二

状态模型为高考高频，多状态可类比设多个数列）；

3.求初始条件pi：根据“第一次试脸”的题意，直接计算初始概率，是数列求通项的关键（如第一次试脸目

标状态概率为1/2,则0=1/2）。

步骤2：析关联，建递推--搭概率与数列的桥梁

核心方法:全概率公式，利用“第九次状态仅由第九一1次状态决定”（马尔可夫链核心性质），拆分第九次

目标状态的所有可能前提,建立Pn与p,i的线性递推关系（高考均为一阶线性递推：pn=妙…+b,a、b

为常数）。

二状态模型递推式通用推导：

设网=第九次在目标状态乂的概率，1一p”=在对立状态A的概率；

力=从4保持到A的概率，九=从才转到4的概率；

则pn=P（第n-1次在A）-F（A-A）+P（第n-1次在A）-P（A->A）,

即pn=m-pn-x+n（l-pn_i）,整理得一阶线性递推：pn=（m-n）pn_i+n。

步骤3:解递推,求通项--用数列方法解概率数列

将步骤2得到的一阶线性递推式,通过配凑构造等比数列求解p,2的通项公式（高考唯一考法，无需复杂

数列方法），核心步骤：

1对递推式Pn~dPn-l+伙。工1），设配凑式：Pn+7=a（p1+4）；

2.求待定系数九展开得"〃=。%_1+才（。-1），对比原式得人=」下；

a—1

3,定等比数列：｛区+储是首项为功+人公比为a的等比数列；

4.求通项：先求｛pn+A］的通项,再移项得取的最终表达式（验证n=1是否成立）o

步骤4：用通项，答问题一一回归概率本质求解

根据题目问题,利用pn的通项公式计算结果，高频考法分3类：

1.求某具体次数的概率:直接代入九=k，计算以；

2.求极限概率（稳定概率）:当九T8时，数列｛网｝收敛，令p“=pz=0,代入递推式直接求解p（无需通

项,简化计算）;

3.求与次数相关的期望/概率和:结合数列求和（如裂项、等比求和）与期望公式计算。

二、商残模型解题模板（二状态马尔可夫健，高考90%考法）

模型特征：试验只有2种对立状态，状态转移概率固定，下一次状态仅与当前有关。

模板示例：设每次试验中，从状态力转到4的概率为a，转到Z的概率为l-a；从H转到A的概率为b,

转到A的概率为1-b：令后为第九次在A的概率，2=c。

1建递推：Pn=Q・Pn-l+"(1-Pn-1)=(Q-+匕；

bb

2.求文"二

(a—6)—1a-6—1

3定等比：是首项为。一』、公比为Q—的等比数歹小

b

4.求通项：p〃.=

1—a+6士)•3"

5,极限概率:令Pn=Pn-l=P，得0=~；―To

1—a+o

三、关健解题抓手（逑坑+提速）

1.状态设定要唯一:优先设“题13最终要求的状态”为小，减少后续计算，对立状态直接用1-网表示，无

需额外设数列；

2.递推式建立器全概率：必须拆分“第九次目标状态的所有前提“，避免遗漏某种转移路径（如仅考虑

从A到4,忽略从彳到A）；

3.一阶线性递推是核心:高考所有概率数列递推均为为=QP，I+上只需掌握配凑构造等比一种方法，

无需其他数列技巧；

4,极限概率可直接求:若题目只求稳定后的概率，无需求通项，直接令代入递推式,一步求

解，大幅提速；；

5,验证概率范围：解出的P.必须满足0&网41,若超出范围，说明状态设定或递推式建立错误，及时检：

查。：

...............0

压轴题型专练

题型01条件概率及其应用

1.湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经

过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时

通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作力、B、。三幅不同的湘绣作品，已知力、8、C三幅作品

通过设计图案环节相互独立，且通过的概率依次为;、言、言.

(1)求A、B、C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；

(2)若已知A、R、C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为A的概率.

【答案】(1)磊

⑵/

【分析】⑴将所求的“恰有一幅通过设计”事件分解为三个互斥的独立事件组合，分别用独立事件概率乘

法计算每个组合的概率，再相加得到最终结果；

(2)明确所求为条件概率，找出对应分子和分母，代入条件概.奉公式计算得结果.

【详解】(1)设4,4,4分别表示ABC通过设计图案环节，

由题得产(4)=弓，尸(4)=/尸(4)二”，且三个事件相互独立.

恰有一幅通过设计环节可分解为仅力通过、仅B通过、仅C通过三个互斥事件，

x1-

设仅A通过为事件E:尸(E)=P(A1)P(A2)P(A；i)=4(沙(1一£)=4

4'

仅人通过为事件R：尸(R)=p⑶)p(4)尸(4)=(1一书乂,X(1一卷)=1

4O0oU

仅C通过为事件G:尸(G)=p(4)尸(口2)尸(4)=(1一弓)乂(1一日)y4_1

515

由互斥事件概率加法公式，恰有一幅通过的概率：P=4+4+13

ZUJU1520

(2)设事件A/为“三幅中恰有一幅通过设计环节”，事件N为“通过设计的作品为力”,

由条件概率公式：P(N|A4)=里里叨其中即“仅若通过设计环节”，

P(M)

故P(MN)=P(E)—,

由⑴知P(M)=言，

1

所以P(N|M)=T-=J

-JLO

20

2.某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况,实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘

客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表(单位:分钟)：

等待时间[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)

频数2014106

⑴估计这50名乘客的平均等待时间(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

⑵记乘客等待时间为X,随机变量X服从指数分布，且X取值不超过比的概率为P(XWc)=l-

e甫(N>0),其中e是自然对数的底数.

(i)证明：对于任意的sj>0,有尸(X>s+4X>s)=P(X>t)；

(切如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为V(单位:分钟).他利用人工智能辅助

决定:若10,则坐公交车(费用2元);若Y>10,则打车(费用20元).求小明的交通费用的均值.

【答案】(1)7.7分钟

(2)(i)证明见解析(洲2+•元

【分析】(1)利用组中值法计算样本均值即可.

(2)(i)根据条件概率公式证明即可.

(均结合指数分布的数学期望计算即可.

【详解】(1)平均时间X=±(2.5x20+7.5xl4+12.5xl0+17.5x6)=7.7.

5()

(2)(i)证明：由题意知，P(X>t)=l-尸(XV力)=e一吉,

分别记已经等待s分钟和已经等待s+1分钟为事件力和事件6,

P(43)=P(X>s+2且X>s)=P(X>s+力

则P(X>s+t|X>s)=F(B|X)=

P(A)~P(X>s)P(X>s)

-i±L

eJ\=e-^=p(x>t^

所以对于任意的s,£>0,有P(X>s+MX>s)=P(X>2).

(n)由⑴知，

P(Y>10)=P(X>5+10|X>5)=P(X>10)=1-P(X<10)=e-1

p(ocyio)=i-F(y>io)=i-e-1,

所以费用的期望是2x(1—0-1)+20乂。7=2+至(元).

3.某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从ABC三类问题中各抽取一个问题回答，ABC

类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得。分.已知甲同学能正确回答ABC类问题

的概率依次为乙同学能正确回答ABC类问题的概率都为:，总分最高的选手获胜,且甲、

乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关.

(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；

(2)记X为甲同学的总得分，求X的分布列及期望；

(3)己知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率.

【答案】⑴]

(2)

X02357810

12726

rP33

24242424242424

期望为6

(3)64

【分析】(1)根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求解；

⑵根据条件，求出X可能的取值及相应的概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解；

(3)先求出乙同学的总得分的可能取值及相应的概率，设事件E表示乙获胜，事件R表示甲的总分不低

于5分，利用相互独立事件同时发生的概率公式求出尸(E),P(E/)，再由条件概率公式，即可求解

【详解】(1)设事件。表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确，

尸(。)=。居了+。聘)3=:.

⑵X可能的取值有0,2,3,5,7,8,10,

P(X=O)=(1T)(1号)(14)=4,P(X=2)=»(1号乂1得厂全

P(X=3)=(1-1)X|X(1-1)=A,P(X=5)=(I-1)X(1-1)X|+|X|X(1-1)=

7

五，

P(X=7)=fX(1-1)X1=X,P(X=8)=(1_1)X|X|=A,

P(X=10)=fx|x±=A.

所以X的分布列为：

X02357810

1327326

p

24242424242424

B(x)=oxA.+2xA+3xA+5xZ_+7xA+8xA+1OxA=^=6.

(3)记Y为乙同学的总得分，V可能的取值有0,2,3,5,7,8,10,

用P(y=0)=(y)3=j,P(r=2)=信)3=1,P(Y=3)=信)3=,，

F(y=5)=1|f+(f.p(y=7)=.p(y=8)=

P(y=10)=I,

该事件E表示乙获胜，事件厂表示甲的总分不低于5分,

法一:因为。⑶/'击+9*+H翁+/普十力24X24

「磔)*乂击+1x10.112:29

824824-192'

尸(E尸)：29

员1P(F\E)=

P(E)-64

1^7,36,2乂3,3/2421_64

法二：P(E)=24X7+24XyJ+24X8+24XxT+24X7+24xXJ-W2J

P(EF)=7xa+x2+x—29

248+248+248192

P(EF)=29

P("E)=

P(E)—64

4.一种加密传输信号发出信号“11”的概率为十,发出信号“2”“3”“4”三个信号的概率均为卷.某次传输

q..................

信号过程中，传输器一共发出了几次信号,信号接收人员按照传输先后顺序依次记录得到信号序列.例

如，当口。=3时,“1123”为一个发出的信号序列，共有四个数字.

⑴若九=4,记信号序列中数字2的个数为X,求X的数学期望和方差；

⑵若k>2,记信号序列中第V个数为i(i=l,2,3,4)的概率为0(4=i),求:

(i)P(4=l)；

(n)F(^._1=2lA=l).

【答案】⑴E(X)=4,O(X)=q

oy

⑵⑴尸(4=1)=卷"⑻尸(4_尸214=1)=----------：1

332；12-3X(-1)A

【分析】(1)根据二项分布的期望和方差公式即可求解；

⑵⑴法一：利用全概率公式，建立起p(4=i)与汉4T=1)的递推公式，构造等比数列即可求解；法

二：通过构造互补事件加递推数列求解，设事件4在某一次发出信号后，信号序列共有九个数；事件6:

任意一次发出信号后，信号序列都不可能有九个数，设p(/c)为事件B的概率，k为信号序列的所有数字

小构造等比数列可求出p(k),将第九个数为1的概率按照初始信号分为两类，代入计算即可求解；

⑻由信号转移规则推出来p(4=2,4=1)=4X4==P(4=2,4=1)=[X白==，当

3时由⑴知P(A,_!=2,A=1)=-V--V(--i-)'T,脸证当几=2上式成立，再根据条件概,率公式即可

lolo-27

求解.

【详解】⑴易知X符合二项分布X〜B(q),

所以E(X)=4x4=《D(X)=4x〈x(l_1)=]

vOVUJ

(2)(i)若一开始发出的信号为T1”，即最左边两个数为“H”，

贝】对于前k个数，在轲下k一2个数中，第k一2个数为1的概率为P(Ak,2=1);

若一开始发出的信号为“2”或“3”或“4”，

财对于前九个数，在剩下九一1个数中，第九一1个数为1的概率为P(A_=1);

所以P(4=I)=JP(4T=I)+JP(4T=I),

故尸(4=i)_p(4-=i)=>4(尸(4T=I)T(4T=I))

ZP(4=I)+春P(4T=I)=尸(4_尸1)+卷p(A1=i)

x

而P(A=1)=y,P(A2=1)=y+yy=y,

故P(A2=1)—P(4=l)=?*。，P(A2=1)+-yF(X1=l)=1W0,

故｛PG4k=1)一尸(4b1=1)｝为等比数列且首项为J,公比为一4，

42

｛P(4=D+/(4T=I)｝为常数列，且该常数为1,

-

故P(4=l)+1P(4-1=1)=1且P(4=l)-P(Afc_1=l)=yxy)=(y)，

故0(4=1)=看+£(一/「

OO乙

.........................................................................a

(n)P(A=2,A2=l)=yx5=击，

乙OL

尸(4=2,4=1)=N»N击,P(A=24=1)=去看吟+»尹

当k>2时，同⑴可知

尸(A人一i=2,4上=1)=-^-P(i4fc_2=2,XA._1=l)4--^-P(i4A._3=2,AJtb._2=1),

同⑴P(4T=2,4=1)=表+q(V=需一表(/r

故P(4i=2,4k=l)=表(。-(一｝)),

P(4-I=2,4=1)

故P(A_=2I力卜=1)=4f

fc11\k-i,

P(4=1)12-3X~2)

5.在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问.对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设

法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，杳则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情

况.某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况,对随机抽出的80名初中生和120名高

中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球

和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球(摸出的球再放回袋中),摸到白球的学生若吸

烟，则写下①，若不吸烟，则写下②;摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①.由于问题

的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以亳无顾虑地给出

符合实际情况的答案.设事件A="被调查者吸烟"，6="被调查者写下①”.

(1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法

拍取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数

为X,求X的分布列和数学期望;

⑵用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计尸(/)的值;

⑶若0VP(/)VI,求P(A|6)+P(同团的最小值并求出此时P(A)的值.

【答案】(1)分布列见解析，E(X)=-1

⑵*

⑶打⑷制

【分析】(1)先根据初中生和高中生的总人数比例，计算抽取的10名学生中初中生和高中生的人数，判断

X服从超几何分布，再根据超几何分布的相关公式求解分布列和数学期望；

⑵利用全概率公式，结合已知的写下①的人数对应的频率作为尸(B),建立关于尸(A)的方程，进而求

解P⑷；

⑶首先利用条件概率公式，分别表示出尸(4⑼和P(用耳),再将它们相加化简得到关于PJ)的表达

式，再利用函数求最值的方法进行求解，同时结合0VPJ)VI的条件确定此时。(4)的值.

【详解】(1)抽取的10名学生中有4名初中生，6名高中生

X的可能取值为0,1,2,3.

鱼=J_C^±

P(X=0)=P(X=1)==

C?n6()a2，

尸(X=2)=55=—P(X=3)==—

()C?010(c?n30-

・•・X的分布列为

X0123

1131

P

-6~2Io30

E（X）=3x亮哈

⑵设事件。="被调查者摸到白球.”

P®=P(C)P(B|C)+P(C)P(B|C)=1P(力)+f(l-P(A))=4-，

•JJO»J

当P(B)=卷时,P(4)=4

NU/U

⑶W⑻+出M播+磊宗/P(A))

一信一"⑷)’

2(P(4)y—2P(A)+266

-2=—2,

一(P(4))2+P(Q+2-(F(A))2+P(X)+2-[F(A)-1]2+1

当P⑷=[■时，尸（川B）+P：N旧）的最小值为4-

Zo

一类题点拨

L核心公式：

一定义式：P（用⑷=铝?（P（A）>0）,核心是求积事件AB和条件事件A的概率；

-古典概型简化:若为古典概型，。（04）=电嫖5（,）为事件包含的基本事件数），无需先求总概率，直

n（A）

接数个数比。

2.标准化步充：

-定事件:明确条件事件4（“前提”事件）和目标事件B；

-求基础概率:计算。（4）（或加4））和P（4B）（或九（人3））；

一代公式求解:代入定义式/简化式计算,若有多个条件，分步用条件概率递推。

3.关他抓手：

-区分‘弘发生后B发生”（条件概率）与“力、B同时发生”（积事件）；

-若事件互斥/独立，结合互斥事件加法公式、独立事件积公式简化计算（独立时P（6|A）=P（6））。

题型02全概率公式及其应用

6.春节期间某商场举行购物抽奖活动，活动设置了两种抽奖方式（方式一和方式二），规则如下：凡在商场

消费满200元的顾客都可以通过掷•枚质地均匀的骰子来确定抽奖方式,若掷出5点或6点，则采用方：

式一抽奖,否则采用方式二抽奖.活动期间顾客甲在该商场多次购物,其中有3次购物消费满200元，均：

参与抽奖活动.：

.............G

(1)求顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率；

(2)方式一:从装有4个红球，6个臼球(所有球除颜色外完全相同)的箱子中随机摸一个球，摸到红球即

为中奖;方式二:“大转盘”，中奖的概率为看.求顾客甲抽奖一次中奖的概率.

【答案】⑴卷

⑵华

【分析】(1)借助独立重复试脸的概率公式计算即可得；

(2)借助全概率公式计算即可得.

【详解】⑴记事件幺为“顾客甲采用方式一抽奖"，则P⑷=磊=:，

Oo

所以顾客甲在3次抽奖中恰有2次采用方式一抽奖的概率为尸=方4)2(日)=看；

(2)记事件B为“顾客甲中奖”，事件。为“顾客甲采用方式二抽奖”，

«。⑷=4,P©=4,P(B\A)=,P(B|C)=4，

JJ□J

所以P(B)=P(A)F(B|A)+P(C)P(B|C)=：x春+^x£=兴，

所以顾客甲抽奖一次中奖的概率为芈.

7.某销售公司为了激励员工，对销售冠军-一员工甲进行奖励，奖励方案为:在一个盲盒里，有九(足够多)

张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为A4,但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机

拍取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖(弃掉的奖券不能再抽取)，如果对这张奖

券比较满意就保留,从而停止拍奖，公司将以此奖券金额作为奖励.

(1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来,求甲获得最大金额奖励”的概率；

(2)若中先抽取了张奖券，记录下其中的最大金额为m,然后继续抽取，若抽到奖券

的金额小于M，就继续抽，当抽到第i(i£N・，kVi&m张奖券时，其金额大丁“儿,则保留该奖券，停止抽

奖，若未抽到金额大于a的奖券，则保留第n张.

(i)若n=5,当k=2时，求甲获得最大金额奖励Af的概率p；

(ii)当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若九二100,请估计p的最大值，

尹求此时k的值.

H-11

(估值参考:当九二100时，«lny-,e«2.72,0.361n0.36一-0.3678,0.371n0.37右-0.3679.)

i=k1k

【答案】(1)L;(2)⑴照:(w)所以P的最大值约为0.3679,此时k=37.

Tb3U

【分析】⑴合理设出事件，再根据全概率公式即可得到答案；

(2)⑴设。:抽到的第i(i£N.,hVi《m张奖券金额为％再利用全概率公式求出概率通式，再代入九=

5即可；

(花)根据估值参考公式得p=0伏)《Kin/,再设函数/3)=上空,/>1,求导得其最值，从而得到k的

nkx

付计值，最后结合其整数范围即可得到答案.

【详解】(1)设抽到的第，张奖券的金额为%/=1,2.

设=VM,C：甲获得最大金额奖励M.

注意到P(A)=J-,尸(CI力)=O,F(B)=卫二L,P(C\B)=—!—

nnn—1

则P(C)=P(A)P(CIA)+P(B)P(CIB)=—.

n

⑵⑴仍设。：甲获得最大金额奖励M,

若?n=M，则P(C)=O,故只需考虑mVM的情况.

设R:抽到的第i(iEN*,kVi&7i)张奖券金额为

由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额M的机会均等，则P(JDJ=—.

71

只有当M是前i-l张奖券中的最大金额，甲才会保留第i张奖券，则P(CIR)=丁J.

2—1

«P©=tP(R)P02)=5£a)U£告若f吉若

t=fc+l''J="l61'J=H141"i=k'

若九=5,当k=2时，p=P(C)=Vx(4+9+1)=号.

n-1[

(/由估值参考得汇上工In。，则p=p(k)弋—In?.

i=k2hnK

令=上空_,]>i,则r(x)=上学.

XX

当c=e时，广3)=0.

当1civc时，/'3)>o,/3)单调递增；

当c>e时，/'㈤<0J(①)单调递减，

因此，当,=e时，/3)取得最大值/(e)=9.

此时上=咽心36.8,不是整数，

e

又p(36)=-0.361n0.3670.3678,p(37)=-0.371n0.37七0.3679,

所以p的最大值约为0.3679,此时A:=37.

8.在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机

器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机

拍取4个进行回放分析，以g表示抽取的指令中成功完成的个数.

(1)求£的分布列和数学期望；

(2)另一款机器人，若对机器人卜•达的动作指令表述清晰，则巩器人成功完成指令的概率为0.9；若对机

器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为p,

若该机器人成功完成指令的概率为0.8,求p的值；

【答案】(1)分布列为:

234

2_41

P

777

E⑹吟

(2)0.25；

【分析】(1)由题设随机变量£服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何

...............0

分布的期望求法求期望;

(2)应用全概率公式求概率即可;

【详解】(1)由题意知随机变量?服从超几何分布，其中N=7,M=5,0=4,

艮£的所有可能取值为2,3,4,0(9=2)=笔^

号尸(1)=鬻=»(1)=等=

故E的分布列为:

£234

241

p

7¥7

法一:所以£的数学期望E(f)=2x/+3x/+4x/=¥

法二：根据超几何分布的期望公式知后⑹=九•普=4x，=?.

(2)记“下达的动作指令表述清晰”为事件4,

记”下达的动作指令表述模糊”为事件6,

记“机篙人成功完成指令”为事件C

由已知得产(。)=0.8,P(C|A)=0.9,P(C|B)=0.5,F(B)=p,P(A)=l-p.

因为P(C)=P(AC)+P(BC)=P[A}P{C\A)+P(B)P[C\B)=0.9(1-p)+0.5p=0.9-0.4p,

所以0.9—0.4p=0.8=>p=0.25.

9.托马斯.贝叶斯(Thomas&ges)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式:设4,儿…，4是一组

两两互斥的事件，4U4U…U4=Q，且。(4)>0,i=l，2,…，九，则对任意的事件P(B)>

0,有P(A：IB)二y%⑷二,P(A)P(BIA),i=i,2,…，儿这个公式被称为贝叶斯公式

尸网ZP(4)P(BI/J

k=l

(贝叶斯定理).其中*P(4)PRl4)称为事件z5的全概率.

k=l

(1)假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3,设同时发生故障的车床数

为随机变量X,求X的分布列和数学期望；

⑵假设该车间生产了两箱零件,第一箱内装有10件,其中有2件次品;第二箱内装有20件,其中有3件

次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从

第二箱中取出的概率.

【答案】⑴

X0123

p0.3430.4410.1890.027

期望0.9

【分析】(1)由题意确定X服从二项分布，即可求解；

⑵设口=”任取一个零件为次品"4="零件是从笫i箱取出的"(i=1,2),由全概率公式求得？(B),再

由贝叶斯公式即可求解.

【详解】(1)设p=0.3,由题意知：X-5(3,0.3)

.•.P(X=k)=C；0.31(l—0.3)3i=Q0.3A0.73f(k=0,l,2,3)

所以X的分布列为

X0123

p0.3430.4410.1890.027

E(X)=np=3x0.3=0.9.

(2)设右="任取一个零件为次品”，

4="零件是从第i箱取出的“(i=l,2)，则。=4U4且AA4=0,

由题意知：P(A)=J,P(4)=J,P⑷4)=《,P(B14)=系，

由全概率公式：

尸⑻=P(4)P⑷A)+F(4)尸(814)=1x春+春X磊=今,

由贝叶斯公式知：

13

尸6⑻-P(4)P(BI4)———3

2尸(A)尸⑷4)十尸(4)尸(814)看7•

10.甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜.比赛结束；比赛最多五局，若五

局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜.在一局比赛中，若甲胜,则甲下一局胜

的概率为呆若甲输，则甲下一局胜的概率为《已知第一局甲胜的概率为J•，假设每局比赛没有平

局，记比赛结束时的局数为X.

(1)求第2局比赛甲胜的概率；

(2)求比赛结束时甲胜的概率.

【答案】⑴*

11

【分析】(1)由题设结合全概率公式可得答案；

(2)按结束的局数分类，X可能是2,3,4,5,分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和可得答案.

【详解】(1)设4表示甲第九局获胜，

由题可得尸(A)=\,尸(知a)=£,尸(4肉)=f,

由全概率公式可得：p(4)=P(A)P(4I4)+尸(4)。(阕4)=/x]+(l-i)X'

(2)若X=2,甲获胜对局胜者序列为：甲甲，对应概率为：[x]■=；；

224

若X=3,甲获胜对局胜者序列为：乙甲甲，对应概率为：(1—J)xj=!；

ZoZ0

若x=4,甲获胜对局胜者序列为：甲乙甲甲，对应概率为：:x(l—：)x系x-i-=-L；;

若X=5,甲获胜对局胜者序列为：乙甲乙甲甲或甲乙甲乙甲，

对应概率为：(1---)x2X(1--x2xL+工X(1-L)X—X(1---)x2=L+-!-=!.!

12312>322I2>312f318189

..........由

则甲获胜概率为4+方+专+方=卷.

够类题点拨

1.核心公式：

若事件4,42,…,4是样本空间的一个划分(互斥且并为样本空间，P(4)>o)，则对任意事件8,有

p(B)=2Lm)-p(BiA)o

1=1

高频二划分模型：P(B)=P(A)P(B\A)+P(用P(8］用(A与H为对立事件,最常用)。

2.标准化步♦:

一拆划分:找到样本空间的互斥划分事件4,42,…，力”(即导致8发生的所有前提情况)；

—求两概率:对每个划分事件4,计算P(A)(前提事件概率:和P(BIA)(A发生后笈的条件概率)；

-累加求和:代入全概率公式，将所有P(A)-P(8A)累加得。仍)。

3.关健抓手：

-划分事件的核心要求:互斥+全覆盖，无遗漏、不重复；

-优先用对立■件划分(［划分)，简化计算，避免多划分的笈杂累加：

一与贝叶斯公式联动:若求,刃发生后某A发生的概率“，先由全概率求以⑻，再用贝叶斯公式P

⑷…喘：⑷。

题型03概率与数列结合的递推模型(马尔可夫健)

11.在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演.某实验室为测试

46两种型号机器人的动作稔定性，设计如下试验:每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功,

则下一轮继续使用该型号机器人进行试验;若试验失败,则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.

己知A型号机器人试验成功的概率为4，失败的概率为工：6型号机器人试验成功的概率为v，失败

的概率为《.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.

(1)记X为前3轮试验的总得分,求X的数学期望E(X)：

(2)设Pn为第n轮试验使用A型号机器人的概率.

①求数列｛R｝的通项公式；

②记Sn为前n轮试验的期望总得分,求Sn关于n的表达式.

【答案】⑴黑

⑵①岛r②&=苧+同1-岛)口

【分析】(1)可知随机变量X的可能值为0,1,2,3,分别求其概,率，进而可得期望；

(2)①根据题意结合全概率公式可得R+］=《E,+—利用构造法结合等比数列求通项公式:②

分析可得及=言+条)1,利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解.

735v107

【详解】(1)由题意可知：随机变量X的可能值为0,1,2,3,

若X=0,则3轮都失败，则P(X=0)=5x《=±；

52550

若X=l,则3轮中只有1轮成功，P(X=1)=4X1.X±=^L,

552522525100

若X=2,则3轮中只有2轮成功，P(X=2)=4x]=

555552522500

若X=3,则3轮都成功，P(X=3)=言x4=黑；

555125

所以E(X)=0x—+1x—+2x+3x

lJ5010G500125500

⑵①设第九轮试验使用A型号机器人为事件M,,

用耳=P(M)=1,P(Mn+ilM)=y,P(峪+网=y,

由全概率公式可得P(Mn+1)=P(M)P(M+JM)+P(X)P(Mn+1|M；),

即2+1=^Pn+](1-2)=今R+■，则兄+1-"I"=/(2一~7~)，

W0,可知数列｛2-£｝是以首项为公比为磊的等比数列，

火号4岛厂所以p“w+,岛口一

②设第k轮得分期望为反，则瓦=姆・卷+(1—尺)4=3+祭(系)I,

OZ(OO1U

所以前九轮期望总得分为5产£>：=竽+35[l—(j))]:军+同一岛刀.

I1一行

12.某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点.初始时有2个节点在线(假设在线的不再宕机)，3

个为宕机(停摆，不能正常工作).每个月系统随机等概率地巡查1个节点:若该节点为岩机,则修复，修

复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为P(O<P<1);若该节点已在线,

则仅进行维护.用X.表示第n个月后在线节点数，E(<)表示其数学期望.

(1)当p=。时，求P(X2=3)；

O

⑵证明：顼Xm)=(l-1)E(Xn)+p；

⑶已知每个宕机节点每个月会造成2万元的经济损失,初始月份不考虑损失,求从第1个月开始的n个

月内的经济损失的总期望.

【答案】(1)十

(2)证明见解析

6[5-p—5(l—书

⑶(万元)

P

【分析】(1)根据题意求出X1的所有可能取值及相应的概率，分析X2=3的可能情况，进而运算求解;

(2)分析可知随机变量X