平面向量（13常考题型4易错6技巧）原卷版-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

平面向量

（10知识&13题型&4易错&6方法清单）

知识图谱

孑方向

--句营的丈称毛¥-5柢冬

L大小

一寥句号限为0

•f而句步的机£]—单位向营垓为1

——相等句覆

J牛行（共我）向士

加法------三北拶法用、中仔W边加法划

I

一或法------三庖形法fl

千面句号篇送卓卜—kaila.且——⑷

--致宗—f|

J-最&W0）与力杀我的克某条件为一

信左唯—亍实效Li^b-Xa

面

平

致重木一a•任lallWcos，（6%东京旅营0与。的夬6）

量

向

其

及

用

应「一平面向营基本至理:如果ere戊同一牛而内的两个不兴疾句学,那么对于

这一手曲内的任一句笠a.4且乂才一对实取2,晨便a=4e+A/

IZIB一，

牛而向堂基本—¥标耒示：役。为*林耳点由祸=%"

定理及坐标耒示

一加法:a+6=G1+&,%+.L）

一戒法：。一方=61々,力一〃）

Ji标更第一段a=（%,yj,b=（xy,）一

r一致&初=（2巧，盯）

—教营租4,/>=.vrv：+y1y2

知识清单

分知识点1平面向量基本概念

1.向量

在数学中,我们把的量叫做向量.

2.向量的表示

⑴几何表示:向量可以表示，有向线段的表示向量的大小，有向线段的表示向量的方向.

⑵字母表示：向量可以用表示

1/21

⑶两种特殊的向量

零向量:的向量叫做零向量，记作。.

单位向量:的向量，叫做单位向量

(4)平行向量

叫做平行向量.向量［与否平行，记作£II反

规定：,即对于任意向量£，都有61|Z.

(5)相等向量

的向量叫做相等向最.

»知识点2平面向■线性运算

法则(或几

定义运算律

何意义)

/

(1)交换律：

求两个向量和的运三角形法则

向量的加法a+b=

算

(2)结合律：S+b)+c=

a

平行四边形法则

向量。减向量b等二

向量的减法于向量。加上向量a~h=a+

b的相反向量三角形法则

(1)方向：当i>0时，向审脑与向晟〃设九"是实数.

实数；1与向量a的

向量的数乘运的方向____:当4<0时，向量运与向(1)(2+2=

乘枳是一个向量,

算量a的方向____:当4=0时，Oa=O⑵

记作Xa

(2)模:\la\=C+b)=

，知识点3平面向量共线定理

1.向量共线定理

(1)内容：向量］与非零向量£共线，则4，b=Aa-

(2)向量共线定理的注意问题：

①定理的运用过程中要特别注意［工6.

2/21

特别地，若"=B=6，实数4.

2.三点共线等价形式：

OA=AOB+^OB（2,〃为实数），=4+〃=1

»知识点4平面向量基本定理

条件约和七是同一平面内两个_____的向量

结论对该平面内任意一个向量”，存在唯一的一对实数小,及，使。=

基把不共线的向量6和约叫作表示这一平面向量的一组基，记为

（1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为______.

正交基正交分解及标准

（2）在正交基下向量的线性表示称为_____.

正交基

（3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为

.知识点5平面向量运算的坐标表示

1.向量加法、减法、数乘运算

设4=（X1，刈），b=（X2y次），则

a+b=,

a-b=，

/M=.

2.向量坐标的求法

一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.即设点力（内，刈），8a2,也），则布=.

3.平面向量平行的坐标表示

设”=（4，乃），8=（X2,力），当瓦。时向量〃，。共线的充要条件是.

.知识点6平面向量数・积

1.向量的夹角

已知两个非零向量〃和力，作。4=〃，OB=b,则就是向量〃与方的夹角，向量夹角的范围是:

2.平面向量的数量积

定义设两个非零向量。，b的夹角为优则数量_____叫做。与力的数量积，记作〃仍

_____叫做向量“在方方向上的投影，

投影

_______叫做向量b在a方向上的投影

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几何意

数量积a・b等于____________________________________________

义

3.平面向量数量积的运算律

(1)交换律：ab=ba；

(2)数乘结合律：(萩)力==；

(3)分配律：＜rS+c)=.

4.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量。=8,乃)，6=(x2,乃)，0=(0,b).

结论几何表示坐标表示

模M=_____l«l=_____

数量积ab=____ab=____

xixi+yiyi

cos0=----=~।

夹角cos0=_____f22122

aA-hab=___________=0

力|与同向的关系1〃力|W_,因+丁必其

＞知识点7极化恒等式(拓展)

1.基本原理与公式

向量通用形式：对任意平面向量鼠有：ab=

①平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形"和对角线''与“差对角线”平方差的p即:

4

a-b=_________

②三角形中点模型(高频核心)；在4ABC中，M为BC中点，贝IJ；

本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长''的平方差，无需夹角直接计算.

③拓展：线段中点通用模型：对任意两点4、8,若M为线段AB中点，则对平面内任意点P,有:

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»知识点8矩形大法（拓展）

1.基本原理与公式

①矩形恒等式（核心）：若四边形ABCD为矩形，P为平面内任意一点，贝IJ：

\PA\2+\PC\2=

拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形

②衍生结论：在矩形力BCD中，对角线相等且互相平分，即AC=AB+AD,A\AC\=\BD\,可快速转化

向量模长关系.

»知识点9等和线（拓展）

1.基本原理与公式（熟记）

定义：设OA.0B为平面内一组不共线基底，若动点P满足OP=xOA+yOB（%y£脓），则所有满足

（A为常数）的点P构成的直线称为“等和线”.

核心性质：

①当1=1时，等和线为百:线AB（基底所在育线）：

②等和线与直线AB平行，；I的绝对值与等和线到原点。的距离成正比；

③若两等和线关于原点对称，则对应的A互为相反数；

④若P在直线AB与原点之间，OV/1<1；若原点在直线AB与等和线之间，A>1或4VO.

知识点10奔驰定理（拓展）

1.奔驰定理的核心内容

奔驰定理是描述三角形内•点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量

表达式结构对称，形似奔驰车标而得名.

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（1）核心定理（三角形内部点,

0是4ABC内一点，且xO4+yO84zOC=6,则S谢。：S^OA:^MOB=

（2）奔驰定理推论：

0是aABC所在平面内一点，RxOA+）vS+zOC=Q„则:

①SaBOC：^MOC'-^MOB=

SmccS\AOC[）'[^AAOR

D蒋女-----WJ/一巧+』Mc-----------

2.奔驰定理的特殊情形（与三角形“四心”的转化）

奔驰定理对三角形的重心、内心、外心、垂心均成立，且可简化为特定形式:

面积关系奔驰定理简化形式

重心GsGA+GB+GC=0

'△BGC-

「心'SABQ-SKIA：SWB=a：b：calA+blB+dC=O

外心0SABQC；S*OA:=$in24:sinIB:sin2Csin2疝+sin28砺

+sin2coe=6

tanA•HA+tanF♦HB

垂心HS^HC:S、3A：SMHB=lan/:lan8:tanC

+tanC-HC=6

期中常考题型清单

»题型1平面向量的概念

【例1】（多选）（25-26高一下•陕西汉中•月考）下列说法中错误的是（）

A.若/、8、C、。四点构成平行四边形，则方=觉

B.若向量彳〃3，则万与B的方向相同或相反

C.若加为非零实数，且G=痴,则向量值与5共线

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D.若方〃则2〃乙

【变式1・1】（多选）（25-26高一下•广东•月考）关于向量知下列命题中，正确的是（）

A.若卜卜则£=BB.若£=B,则卜=问

<2.若忖=0,则a=。D.若a=_］,则

【变式1・2】（多选）（25・26高一下•河北石家庄•月考）关于向量，下列说法错误的有（）

A.温度、海拔、角度都是向量

B.零向量没有方向

C.若△/8C是等边三角形，则刀与反的夹角为120'

D.若向量G与万共线，且同>W，贝。“

一题型2平面向■的线性运算

【例2】（25-26高一下•山东淄博•月考）以下各式，结果为零向量的是（）

A.AB-^-BC-CAB.+JC-^D+CD

C.OA-OD+DAD.NQ+QP+MN-MP

【变式2-1】（2026年北京市学业水平考试）已知O为等边三角形/18C的中心，则在+元=（）

A.AdB.OAC.3AOD.3OA

【变式2-2］（25-26高一下•福建莆田•月考）（1）化简：（而一册丽-反卜

2卜£_35）+产1（617可；

（2）化简：-

（3）在LABC中，点G为重心，点P在线段AG上，且满足AP=2PG，若布三，沅=九请用a，b表示~BP.

）题型3三点共线问题

【例3】（25-26高一下•北京平谷・月考）已知,，［是两个不共线的向量，若％=1+2］，CB=-S7］+6^,

砺=71-2小则48c。中共线的三点是（）

A.A,C,DB.4B,CC.B,C,DD.A、B、D

【变式3-1］（24-25高一下•甘肃兰州•期中）若［、B是两个不共线的向量，若赤=2々+k，~BC=a+b>

而=23+九且/、C、。三点共线，则实数〃的值等于.

7/21

【变式3-2］（25-26高一下•河北石家庄•月考）平面内力（0,1）,8（2,4）,4（,7）三点共线，则|力。|=

»题型4向■共线问题

【例4】（24-25高一下•广东茂名•期末）已知I，［是同一平面内两个不共线的向量，则的是（）

C.a=et-2e2,b=e}+2e2D.a=e}-e2,b=2e1-4e2

【变式4-1］（24-25高一下•四川遂宁•期中）设瓦为两个非零向量，则“1=2025『'是"/方’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式4・2】（24-25高一下•安徽合肥•月考）设a,B为非零向量，则“£=9'是“小区”的（）

kl161

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

»题型5平面向量基本定理的应用

【例5-1］（25-26高一下•河南盾口•月考）如图所示，在中，。是线段上的靠近乂的三等分点,

贝ij历=（）

A

A.-C/?——C/fB.2瓦」5

3333

2—1一

C.+D.-CB+-CA

33

【例5-2】（2例26高一下•广东佛山月考）如图,正方形48CQ中，E为OC的中点，若诟=4万+〃而,

则』-〃的值为（）

8/21

B.y

D.2

【变式5-1](25-26高一下•北京•月考)下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是

()

A.5=(-2,l),b=(2,-l)B.2=(2,3)出=(4,6)

C.万=(2,3)J=(3,2)D.1=(1,0),5=(0,0)

【变式5-2](25-26高一下•重庆•月考)如图，设方=工而，沅=y7E(x>0,y>0),线段。E与4c交于

I4x

点F,且而=5而，则一+-的最小值为()

x5y

》题型6向■的坐标运算

【例6】(2026•广东佛山•二模)已知平面上两点力(2,1),8(-1,2),若2而=瑟，则。的坐标为()

A.(-5,2)B.(5,1)C.(-6,0)D.(-7,4)

【变式6-1](2025高一上•浙江温州•专题练习)如图，在平面直角坐标系中，四边形力8。0是正方形，已

知点C的坐标为(石』)，则点3的坐标为()

9/21

A.(V3-1,V34-1)B.(V3-l,l)

C.(1,6+1)D.(6-1,2)

【变式6-2】（2026•北京朝阳•模拟预测）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底｛①碍表

A.c=2a-3bB.c=-2a-3b

C.c=-3a+2bD.c=3a-2b

》题型7向■的数・积运算

【例7】（25-26高一下•陕西宝鸡・月考）已知菱形48CO的边长为a,/D4B=6（T,石为直线8上的一点,

EC=2OE,则荏.而的值为.

【变式7】（25・26高一下・河南•月考）在△/AC中，48=3&"。=6,。是边8c的中点，O是△/AC的外

接圆圆心，则标.芯=.

»题型8向量的夹角问题

【例8】（25-26高一下•河南周口•月考・）已知向量1、或为单位向量，且（4-2砍则[、1的夹角

为（）

A.30,B.45。C.60°D.120,

【变式8-1]（25-26高一下•黑龙江哈尔滨•月考）已知平面内两个不共线的向量2和心同=2问=2,且G

和6的夹角为。，若2+5与2序-1的夹角为钝角，则实数〃的取值范围为（）

15

A.一双—B.C.—,+00D..一；卜

22^J42,4)

10/21

【变式8-2］（25-26高一下•江苏苏州•月考）设非零向量£和区的夹角为氏则”』+石卜根一是“。为锐角”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

，题型9向量的模长问题

【例9】（2026・陕西•二模）已知句量瓦B满足同=1"5=归-4当不与B的夹角最大时，时=（）

A.25/2B.2C.73D.应

【变式9-1］（25-26高一下•湖北武汉・月考）已知平面向量5,且同=1.己知向量B与0所成的角为

60°,且%-同平-目对任意实数/恒成立，则|。+2a+|1-可的最小值为（）

A.V3+1B.273C.石D.4

【变式9-2］（25-26高二下•江苏苏州•月考）如图，棱长为2的正四面体P48C中，G是底面△力8。的重心,

E是棱PC中点，且有苗=3而，则线段力/的长度为

»题型10向■的垂直问题

【例10】（25-26高一下•北京平谷•月考）设非零向量入b，则“£=否或£=—5"，是+—B卜的

（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【变式10】（25-26高一下•河南周口•月考）已知向量£,刃满足同=1,忖+2+2,且2同1B,则件

（）

A.7B.—C.—D.1

222

11/21

»题型11向・的投影问题

［ft111（2026•陕西西安•模拟预测）已知同=1,网=2,2乂2"见则1+25在5上的投影向量为

（）

-31—3T

A.3bB.—bC.6bD.—h

24

【变式11-1］（25-26高一下•海南・月考）已知向量刀=。,2）,丽=（4,3）,反=（3,〃?）.若砺_L反，则向量

就在向量幅上的投影向量的坐标为（）

D68i\

・/

【变式11-2］（2026・河北廊坊•一模）已知向量4c=（1,2）,3（2,1）,向量存在刀上的投影向量的坐

标为（-2,-4）,而在布上的投影向量的坐标为（4,2）,则网=（）

A.20B.105/2C.10D.如

»题型12向量在物理中的应用

【例12】（25-26高一下•河北石家庄•月考）已知力冗=（-4,1）,耳=（7,3）作用于同一质点,使之由点力（5,2）

移动到点8（3,4）,则力耳，豆的合力户对质点所做的功为（）

A.2B.-2C.4D.-4

【变式12-1］（25-26高三下•湖南长沙•月考）一条河的宽度为d,一船从/处出发到河的正对岸4处，船

速的大小为水速的大小为|马|，则船行到4处时，行驶速度的大小为（）

2222

A.Iv,l+lv2lB.Iv,l-lv2l

22

C.J|匕F+l岭|2D.7lv,|-|v2|

【变式12-2］（25-26高三下•安徽•开学考试）2025年1（）月，茶国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创

举一横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行,

宽度约为1000米.若汽车从力地出发，以58km/h的静水速度向对岸航行，水流速度为5km/h,要使航程

最短，大约需要（）时间（单位：min）

12/21

A.4GB.6>/2C.6D.12

》题型13向量的新定义题

【例13】（25-26高三上•上海•期中）我们把由平面内夹角成60。的两条数轴Qi、构成的坐标系，称为“广

义坐标系”.如图所示，1、W分别为Qx、Qy正方向上的单位向量.若向量而=x[+y^,则称有序实数对

%,力为向量方的“广义坐标”，可记作0A={x/},a={x]1yl}fb={x2,y2}f下面表述正确的个数（）

②]石二斗芍+兄力；

③万〃B的充要条件是X1％72M=0.

A.0B.1C.2D.3

【变式13-1]（25-26高三上•江西赣州•期末）已知平面上的非零向量/、八定义运算：企^7=也也

nn

对干平面上任意非零向量£、B、3则（）

A.a®h=a

B.若B与工不垂直，则（，的B）③X③

C.区。=a®c+8位c

D.若a®c=b®c，则〃=B

【变式13-2]（25-26高一上♦河北保定•期中）对于一组向量HW，…五（〃eN*且〃23）,令

13/21

s0=%+%+%+…+凡，如果存在《"£{1,2,3」\〃}),使得k以那么称q是该向量组的“长向量”.

⑴设向量1=(〃X+1,〃+1),〃€N",若乙是向量组■4W的“长向量”，求实数x的取值范围；

/Ijr/77Tq_1,»".,.・_—

(2)若向量4=(cos~psin3"),〃e、，向量组q,%,外，…，-25是否存在“长向量”《？若存在，求出正整数，

的取值集合；若不存在，请说明理由；

⑶己知勺,外,4均是向量组巴,外的“长向量”,且q=(sinx,-5cosx),%=(5cos.v,7sinx),设在平面直角坐标

系应V中的点集仍小,…满足而=[,且&与心一关于点4对称，七7与七+2关于点2对称

(AwN),求|田惠|的最小值.

高频易错归因清单

»易错点1对平面向量的基本概念理解不到位

[例I](25-26高三上•湖南益阳•开学考试)关于向量。出下列说法中，正确的是()

A.若同=|可，则2=5

B.若万〃5万〃己，则1〃己

C.若同〉|可，则

D.若1=则7〃5

【变式1-1](25-26高一下•广东汕头・月考)关于平面向量，下列正确的是()

A.若3是单位向量，6零向星，则同=忡=0

B.若向量£与B不共线，则存在一对实数孤儿使‘=国+卜石

C.海拔、温度、角度都是向量

D.若而=而，则四边形力3co是菱形

14/21

，易错点2忽略平面向■夹角的范围与方向性

【例2】（24-25高三上•广东•月考）已知向量1=（加,-1）,5=（1,2）,则是“。与B的夹角为钝

角”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-1］（25-26高三上•北京顺义•期中）设点A,B,C不共线，贝旷而与衣的夹庠为锐角''是

而+》忸益一%「的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-2］（多选）25-26高三上•重庆沙坪坝•期中）已知平面向量5=（23=则下

列说法正确的有（）

A.若d，则=7

4

B.若。区，则，二-；

C.若，与月的夹角为锐角，则实数1的范围为

1（\1A

D.当，=;时，5在G上的投影向量的坐标为

2144J

》易错点3忽略向■共线时的两种情况

【例3】（25-26高二上•安徽马鞍山•阶段练习）己知单位向量值与向量否=（1,2）共线，则向量值的坐标

是.

【变式3・1】（多选）（25-26高一上•广东广州•期末）下列命题中，正确的是（）

A.若万.石=0,则万一。或/?—（）

B.若一由共线，则小5=土同W

c.若,石=）.［且）则

D.若向量aB满足同=W，且5在”B上的投影向量为单位向量，则|"同=2

【变式3-2］（24-25高一下•江苏连云港•阶段练习）已知向量1方=（2,2）,则与万共线且反向的单位向

量为（）

15/21

A型乌

c.D.(2,2)

隹2*2M岑阁

＞易错点4错用平面向量的运算律

【例4】（24-25高二上•山东青岛«期中）已知/书=忘却下列关系一定正确的是（）

A,^=6B.Q=CC.（a-c）1bD.（a-c）〃族

【变式4-1］（多选）（25-26高二上•四川南充•期中）已知空间向量3=（3,-2,2）,》=（4,3,〃?），下列说

法正确的是（）.

A.若2G卜3=（10,-1,0）,则加=-4

B.若万工B，则m=-3

C.若不在方上的投影向量为则加只有一个实数解

D.若一与B的夹角为钝角,则加＞-3

【变式4-2］（多选）（2025全国高三第一次模拟）已知口反3为非零平面向量，则下列说法正确的有（

A.A_L50d•5=0B.d//boBAeR,b=Ad

C.若GN=BN，则1=5D.(ab)c^a(h-c)

方法技巧速通清单

»方法1基向量法

适用：求线段的长、角的大小及向量的模长、夹角问题.

【例I】（25-26高一下•全国•课堂例题）如图，在平行四边形月8C。中，已知力。=1,48=2,对角线

80=2.则对角线力C的长为.

16/21

DC

【变式1-1］（2025•山东临沂•三模）在平行四边形力8CQ中，AB=3tAD=2,ABAD=60,P为边CD

上一点，若力尸_L〃Q,则线段月户的长为（）

A.—B.V5C.3D.2石

2

【变式1-2】（25-26高三上•浙江阶段练习）如图，在。中，CACB=\,~AC=3AE»反=3瓦,F

为AD与BE的交点、,则向量方在3上的投影向量的模的最小值为（）

»方法2坐标化法

适用：适用于垂直、平行、夹角、长度、交点等问题，思路直接、计算规范.

【例2】（25-26高三上•浙江杭州•期中）已知在MAC中，2.荔=（）,|荔-衣卜2,〃是线段8C上的

动点，且而,（而+衣）=1,则|而|的取值范围为.

【变式2・1］（24・25高一下•新疆哈密•期末）在菱形NBC）中,乙4BC=120。,E是5c的中点，若

~AE~AD=3＞菱形的边长为.

【变式2-2］（25-26高三上•四川成都•月考）在△4中,=2〃C=1,NB4c=60°,D为BC的中点,

AC=3AE＞力。与的相交于点尸，则tanNObE=.

方法3极化恒等式法

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适用：用于数量积、模长、中点问题，快速将转化为模平方差，尤其适合三角形中线、向量数量积定

值、最值题型.

【例3】（25-26高三下•湖南长沙•阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形

的“和对角线''与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，。》=/1而『一1就『），我们称为极化恒等

式.已知在△4BC中，M是BC中点，AM=3,BC=10,则而•标=（）

A.-16B.16C.-8D.8

【变式3-1]（2026高三・全国•专题练习）己知加9为圆。的直径，M为圆。的弦CQ上一动点，

AB=8,CD=6,则而.血的取值可以是（）

A.-9B.-2C.0D.4

【变式3-2]（2025•天津津南•模拟预测）如图，在四边形力8。中，”为的中点，且A8=2,

MC=MD=CD=1.若点N在线段CO（端点除外）上运动，则涌•标的取值范闱是（）

A.[-]。）B.[。，？[1,1）D-[一强）

》方法4等和线法

适用：平面向量中求参数和或差的取值范围、最值等.

L--1--

【例4】（25-26高三上•四川成都・期末）如图,圆O的内接四边形的面积为4点.己知小=3,DC=-AB,

若而=x而+＞茄，则x+3y=（）