初中数学练习-专项18-中点四边形-综合问题（培优）

中点四边形-综合问题-专题培优

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（木兰县期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

2.（七星区校级模拟）如图，平行四边形八中，对角线AC,8。相交于点O,且E,F,G,H分别是

AO,BO,CO,。0的中点，则下列说法正确的是（）

A.EH=HG

B.四边形EFGH是平行四边形

C.AC1BD

D.XABO的面积是△EFO的面积的2倍

3.（顺德区期末）顺次连接平行四边形各边中点所得四边形一定是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

4.（乐山期末）如图，在菱形A3C。中，点E,F,G,〃分别是边A从BC,CQ和D4的中点，连接ER

FG,GH和HE,若EH=2EF=2,则菱形A8CQ的边长为1）

A.V5B.2遍C.2D.4

5.（丰台区期末）如图，点E,F.G,，分别是四功形ABCOi力48,BC,CQ,D4的中点.若

C.菱形D.正方形

6.（孝义市期中）如图，依次连接边长为1的小正方形各边的中点，得到第二个小正方形，再依次连接第

二个小正方形各边的中点得到第三个小正方形，按这样的规律第2019个小正方形的面积为（）

4038-4036

7.（高新区校级月考）顺次连接矩形ABC。各边中点，所得四边形的形状是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

8.（岐山县期中）如图，任意四边形A4CO中，点七，F,G,"分别是边AB,BC,CD,DA的中点，连

接AC,BD,对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结

论，其中错误的是（）

A.若AC=BD,则四边形石FG”为菱形

B.若AC_L3Q,则四边形EFG〃为矩形

C.若AC=BD,且AC_LBO,则四边形EFGH为正方形

D.若AC与8D互相平分，且4c=8。，则四边形EFGH是正方形

9.（荥阳市期中）如图，在RtAABC中，NC=60°,点。是斜边8c的中点，分别以点A,B为圆心，

以｝BC的长为半径画弧，两弧交于点E,连接£4,EB,E。得到四边形EBD4,依次连接四边形E8D4

四条边中点得到四边形GH/J,若AC=2,那么四边形G”〃的周长为（）

10.（徐州期中）如图，是一组由菱形和矩形组成的图案，第1个图中菱形的面积为S（S为常数），第2

个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类

推…，则第2020个图中阴影部分的面积可以用含S的代数式表示为（）（S22且S是正整数）

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（中山市校级月考）如图，四边形4BC。的两条对角线AC、BO互相垂直，Ai、与、。、。是四边形

A8CO的中点.如果AC=n，BD=4V3,那么四边形Ai81clz）|的面积为

12.（江阴市期中）若顺次连接四边形ABC。的四边中点得到的四边形为菱形，则四边形ABCZ）需满足条

件.

13.（曲阳县期末）如图，在四边形人8C。中，E、F、G、”分别是48、BC、CD.D4边上的中点，连结

AC、BD,回答问题

（1）对角线AC、8。满足条件时，四边形EFG”是矩形.

（2）对角线AC、8。满足条件时，四边形EFG〃是菱形.

（3）对角线AC、8。满足条件时，四边形E尸G”是正方形.

14.（新泰市期中）如图，E、F、G、，分别是B。、BC、AC.八。的中点，且A8=CO,下列结论:

①EGLFH；②四边形£FGH是矩形；③”产平分N£”G；④£G=2（8C-A。）；⑤四边形£FG”是

菱形.

其中正确的是

15.（江干区校级期末）已知：如图，在△ABC中，NACB=60°,AC=3,BC=5,分别以4B,AC为边

向外侧作等边三角形A8M和等边三角形4cM连结MMD,E,F,G分别是MB,BC,CN,MN的

中点，则四边形OEFG的周长为.

16.（高淳区期末）/XABC中，AB=AC=\3,BC=IO,。在△ABC内，且BD=CQ,ZBDC=90°,E、

F、G、，分别是AB、AC.BD、C。的中点，则四边形EFHG的面积为

17.（新乐市期末）对于任意矩形ABC。，若M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,0A上的中点，下面

四个结论中，

①四边形MNPQ是平行四边形；

②四边形MNPQ是矩形；

③四动形WNPQ是菱形：

④四边形MNPQ是正方形.

所有正确结论的序号是.

18.（通州区一模）如图，点A,B,C为平面内不在同一直线上的三点.点D为平面内一个动点.线段

AB,BC,CD,D4的中点分别为M,N,P,Q.在点。的运动过程中，有下列结论：

①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；

②存在尢数个中点四边形MNPQ是菱形；

③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形;

④存在两个中点四边形MNPQ是正方形.

所有正确结论的序号是.

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（工业园区期末）已知：如图，在四边形A8CO中，人8与CD不平行，E,F,G,”分别是人。，BC,

BD,AC的中点.

（1）求证：四边形EGF”是平行四边形；

（2）①当AB与。。满足条件时，四边形EGP”是菱形：

②当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是矩形.

20.（伊通县期末）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”.

如图1,在四边形ABCO中，4C_L8O,四边形ABC。就是“对角线垂直四边形”.

（1）下列四边形，一定是“对角线垂百•四功形”的是.

①平行四边形②矩形③菱形④正方形

（2）如图2,在“对角线垂直四边形"A3C。中，点£、RG、”分别是边A3、BC、CD、DA的中点.

求证：四边形EFGH是矩形

（3）小明说：“计算对角线垂史四边形的面积可以仿照菱形的方法，面积是对角线之积的一半小明

的说法正确吗？如果正确，请给出证明；如果错误，请给出反例.

21.已知△AO6和△COZ）都是等腰直角三角形固定△AO8,将△CO。绕点O旋转，E、F、G、〃分别是

AB、BC、CD、D4的中点.

（1）如果△COO转至如图①点3、。、。共线的位置，判断并证明四边形EFG”是怎样的四边形.

（2）如果△C。。转至如图②两边不共线的位置，以上结论还成立吗？请说明理由.

22.（龙岩期末）如图，己知四边形是矩形，点E,F,G,〃分别是AB,BC,CQ,D4的中点.

（1）求证四边形EFG〃是菱形；

（2）若A8=3,8C=4,求四边形£FG”的面积.

23.（相城区期末）如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC、BO相交于点O,E、F、G、"分别是线

段BC、A。、OB、。。的中点，连接F"、HF、FG、GE.

（1）求证：四边形GE〃尸是平行四边形；

（2）当律和BD满足条件时，四边形GE/V是矩形；

（3）当E尸和4。满足条件时，四边形GE/7F是菱形.

24.（高新区期末）（1）如图1,四边形ABC。，AC=BD,M,N,G,”分别为四边形ABCD各边中点,

则四边形MNGH的形状是

发现：对角线相等的四边形，连接各边中点所得四边形一定是

（2）若将（1）中的“AC=3。”改为“AC_L3。"，其他条件不变，则四边形MNGH的形状是；

用文字语言叙述你发现的结论

（3）直接利用（1）（2）中的发现，解决下列问题：如图2,XAPC,ZX8尸。均为等腰直角三角形，PA

=PC,PB=PD,NAPC=NBPD=90°,连接CD,点M,N,G,"分别是AC,AB,BD,CO的中

点，判断四边形MNG”的形状，并证明.

中点四边形-综合问题-专题培优（解析版）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（木兰县期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【分析】连接AC、BD,根据三角形中位线定理得到EH=&BD,EH//BD,EF//AC,根据

正方形的判定定理解答即可.

【解析】如图，连接AC、BD.

,:E、F、G、H分别为AB、BC、CD.D4的中点，

••・£/是△A8C的中位线，EH是AABD的中位线，

：.EF=^AC,EH=^BD,EH〃BD,EF//AC,

•・•四边形为正方形，

:.EH=EF,

:・AC=BD,

*：EH〃BD,EF//AC,NHEF=9（）°,

：.AC±BDf

・••四边形ABC。的对角线相等且互相垂直，

・•・四边形A8CD可能是正方形，

故选：D.

2.（七星区校级模拟）如图，平行四边形A4CO中，对角线AC,3。相交于点O,且E,F,G,〃分别是

AO,BO,CO,。。的中点，则下列说法正确的是（）

AD

7H

R

A.EH=HG

B.四边形是平行四边形

C.ACLBD

D.aAB。的面积是△EF。的面积的2倍

【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决.

【解析】、：E,F,G,，分别是A。，BO,CO,。。的中点，在团ABCZ）中，AB=2,AD=4f

：.EH=^AD=2,HG=^CD=1/AB=1,

:・EH丰HG,故选项A错误；

,:E,F,G,”分别是A。，BO,CO,。。的中点，

：,EH=^AD=&BC=FG,

••・四边形EFG”是平行四边形，故选项8正确；

由题目中的条件，无法判断AC•和6D是否垂直，故选项C错误；

■:息E、-分别为OA和08的中点,

；・£尸=切3,EF//AB,

.S^OEF_1

••—，

S^0AB4

即aABO的面积是的面积的4倍，故选项D错误，

故选；B.

3.（顺德区期末）顺次连接平行四边形各边中点所得四边形一定是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【分析】可连接平行四边形的对角线，然后利用三角形中位线定理进行求解.

【解析】如图；四边形4BC。是平行四边形，E、F、G、，分别是13ABe。四边的中点.

连接AC、BD；

，：E、尸是43、BC的中点，

...Er是△ABC的中位线；

:.EF//AC；

同理可证：GH//AC//EF,EH//BD//FG-,

••・四边形E/G”是平行四边形.

故顺次连接平行四边形各边中点的图形为平行四边形.

故选：A.

AEB

H,

DGC

4.（乐山期末）如图，在菱形A8CO中，点E,F,G,，分别是边A8,BC,C。和D4的中点，连接EF,

FG,GH和HE,若EH=2EF=2,则菱形ABCD的边长为•）

A.V5B.2向C.2D.4

【分析】连接AC、8。交于0,根据菱形的性质得到AC_La）,0A=0C,0B=0D,根据三角形中位

线定理、矩形的判定定理得到四边形£FGH是矩形，根据勾股定理计算即可.

【解析】连接AC、6。交于0,

••・四边形4BCQ是菱形，

：.AC1BD,OA=OC,0B=0D,

•:点E、F、G、，分别是边43、BC.C。和D4的中点，

：,EF=|AC,EF//AC,EH=\BD,EH//BD,

EH=2EF=2,

・•・0B=20A,

22

：.AB=>JOB+OA=>/50At

：,AB=V5EF=V5,

故选：A.

AHD

3

BFC

5.（丰台区期末）如图，点E,F.G,〃分别是四边形ABC。边48,BC,CD,OA的中点.若AC_L8Z）,

则四边形EFG”的形状为（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【分析】证E尸是△ABC的中位线，G〃是△ACD的中位线，FG是△8CQ的中位线，E”是△AB。的

中位线，则E尸〃G〃，尸G〃E从证出四边形EFG”是平行四边形，证ERL/G,则/E尸G=90°,即

可得出结论.

【解析】•:点E、F、G、H分别为四边形ABC。的边AB、BC、CD、04的中点，

，£厂是△A8C的中位线，GH是△ACO的中位线，FG是△8CQ的中位线，是△A3。的中位线，

J.EF//AC,GH//AC,FG//BD,EH//BD,

:.EF//GH,FG//EH,

••・四边形E/G”是平行四边形,

又・・乂。_1_8。，

:.EF上FG,

，NE尸G=90°,

・•・四边形EFG"是矩形；

故选：B.

6.（孝义市期中）如图，依次连接边长为1的小正方形各边的中点，得到第二个小正方形，再依次连接第

二个小正方形各边的中点得到第三个小正方形，按这样的规律第2019个小正方形的面积为（）

4036

【分析】观察可得，后一个止万形的对角线是前一个止万形的边长，根据止方形的曲积等;边长的半方，

也可以利用对角线乘枳的一半求解，所以后一个正方形的面枳等于前一个正方形的面积的一半，依此类

推即可求解.

【解析】第1个正方形的边长是1，所以面积是1,

第2个正方形的对角线是第一个正方形的边长，是1,所以面积是］xlXl=}

第3个正方形的对角线是第2个正方形的边长，所以面积是:X?一三,

2222

依此类推，后一个正方形的面积是前一个正方形的面积的一半,

1

・•・第〃个正方形的面枳是布，

1

・•・第2019个小正方形的面积为二谕.

22018

故选：B.

7.（高新区校级月考）顺次连接矩形4BCO各边中点，所得四边形的形状是（）

A.矩形R.菱形C.正方形D.等腰梯形

【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=FG=EH=3BD,再根据矩形的对

角线相等可得AC=8。，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱

形解答.

【解析】如图，连接AC、BD,

,:E、F、G、”分别是矩形ABCD的A3、BC、CD、AD边上的中点，

：,EF=GH=^AC.FG=EH=（三角形的中位线等于第三边的一半），

•・•矩形ABCD的对角线AC=BD,

:.EF=GH=FG=EH,

••・四边形EFG〃是菱形.

故选:B.

8.（岐山县期中）如图，任意四边形八88中，点E,F,G,H分别是边人从BC,CD,ZM的中点，违

接AC,BD,对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结

论，其中错误的是（）

A.若AC=BD,则四边形EPGH为菱形

B.若AC上BD,则四边形EFGH为矩形

C.若AC=B。，月.4CJ_8。，则四边形EFGH为正方形

D.若AC与8。互相平分，且AC=8。，则四边形EFG”是正方形

【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可.

【解折】A.当K,F,G,〃是四边形A3CO各边中点，且AC=8。时，存在E"=〃G=G〃=〃£,故

四边形EFG”为菱形，故本选项不符合题意；

B、当E,F,G,”是四边形A8CO各边中点，且AC_L8O时，4i£/EFG=/FGH=NGHE=90°,

故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；

C、当E,F,G,”是四边形4BC。各边中点，且AC=8D,且AC_LBO,存在EF=FG=GH=HE,

NEFG=NFGH=NGHE=90：故四边形EFG”为正方形，故本选项不符合题意；

。、当E,F,G,"是四边形A8CO各边中点，且4c与互相平分，且AC=B。，故四边形EFG”

为菱形，故本选项符合题意；

故选：。.

9.（荥阳市期中）如图,在RtAABC中,NC=60°,点。是斜边BC的中点,分别以点A,8为圆心,

1

以鼻8。的长为半径画弧，两弧交于点E,连接EA,EB,ED得到四边形E3D4,依次连接四边形E8OA

四条边中点得到四边形G”〃，若AC=2,那么四边形G”〃的周长为（）

A.2+V3B.2+26C.4+2V3D.4+4V3

【分析】在中，ZCAB=90°,AC=2,ZC=60°,推出8C=2AC=4,AB=yf3AC=2yf3,

由8。=。。，推出AO=OB=DC=2,由作图可知,四边形AO8E是菱形，推出中点四边形G”〃是矩

形，求出〃./"，即可解决问题.

【解析】在RlZvlBC中，NCAB=90°,AC=2,ZC=60°,

.\BC=2AC=4,AB=V3/\C=2V3,

'：BD=CD,

:.AD=DB=DC=2,

由作图可知，四边形404后是菱形，

・••中点四边形G”"是矩形，

,：AD=AC=DC,

/.ZADC=60°,

'JAE//DB,

••・NE4O=N4OC=60°,

*：AE=AD,

•••△AEO是等边三角形，

."。=。£=2,

^AJ=JE,AI=ID,

1

：.IJ=沙E=I,

*：BH=DH,AI=/D,

・•・/〃=y6=V3,

工四边形G”〃的周长=2(1+V3)=2+2V3,

10.（徐州期中）如图，是一组由菱形和矩形组成的图案，第I个图中菱形的面积为S（5为常数），第2

个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类

推…，则第2020个图中阴影部分的面积可以用含S的代数式表示为（）（S22且S是正整数）

A，42018B.42019C.4202042021

【分析】观察图形发现第2个图形中的阴影部分的面积为J,第3个阴影部分的面积为餐.依此类推,

416

得到第〃个图形的阴影部分的面积即可.

【解析】观察图形发现：

第2个图形中的阴影部分的面积为U

4

S

第3个图形中的阴影部分的面积为二，

第〃个图形中的阴影部分的面积为R.

4〃一人

故第2020个图中阴影部分的面枳可以用含S的代数式表示为方［，

4，UAx

故选：B.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（中山市校级月考）如图，四边形A3CO的两条对角线AC、3。互相垂直，Ai、&、。、是四边形

4ACT）的中点.如果4C=后，BD=4V3,那么四边形A/iQDi的面积为二在_.

【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形44。。I是矩形，从而根据矩形的面积进行计算.

【解析】VAi,Bi,C1,。1是四边形486的中点四边形，且AC=V5,BD=4VG,

二.AIQI是△43。的中位线，

：.A\D\=驯）=|X4V3=2百，

同理可得48i=14C=当，

根据三角形的中位线定理，可以证明四边形481az）1是矩形，

那么四边形A\B\C\D\的面积为A\D\XAiBi=苧x2V3=3鼻.

故答案为：3夜.

12.（江阴市期中）若顺次连接四边形A8CZ）的四边中点得到的四边形为菱形，则四边形ABC。需满足条

件对角线相等.

【分析】根据中点四边形的性质即可求出答案.

【解析】由于顺次连接四边形48C。的四边中点得到的四边形必为平行四边形，

・••该中点四i力形为菱形时，其四i力形A8CO的对角线必定相等.

故答案为：对角线相等.

13.（曲阳县期末）如图，在四边形48CQ中，E、F、G、”分别是A3、BC、CD、D4边上的中点，连结

AC.BD,回答问题

（1）对角线AC、BD满足条件ACL8D时,四边形EFGH是矩形.

（2）对角线AC、8£＞满足条件AC=8。时,四边形EFG”是菱形.

（3）对角线AC、6D满足条件AC1BDIA.AC-BD时，四边形^尸G”是正方形.

【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边

形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形;

（1）所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直；

（2）所得四边形要成为菱形，则需有一组邻边相等，故对角线应满足相等；

（3）联立（I）和（2）,所得四边形要成为正方形，则需对角线垂直且相等.

【解析】连接AC、BD.

・：E、F、G、”分别是A8、BC、CD、D4边上的中点，

：,EF//AC,EF=FG//BD,FG=*BD,GH//AC,GH=EH//BD,EH=

：.EF//HG,EF=GH,FG//EH,FG=EH.

，四边形EFGH是平行四边形；

（I）要使四边形EFGH是矩形，则需EFLFG,

由（I）得，只需ACJ_8D；

（2）要使四边形是菱形，则需EF=FG,

由（1）得，只需八。一

（3）要使四边形EFG"是正方形，综合（1）和（2）,

则需AC_LB。旦4c=8。.

故答案是：ACLBDxAC=BDiACLBDAC=BD.

14.（新泰市期中）如图，E、F、G、〃分别是B。、BC、AC、a。的中点，且4B=C。，下列结论：

②四边形EFGH是矩形；③〃尸平分NE”G：®EG=^BC-AD）,⑤四边形KFG〃是

菱形.

其中正确的是①⑶⑸.

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱

形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断.

【解析】：E、F、G、H分别是8D、BC、AC.A。的中点，

：,EF=^CD,FG=^AB,GH=|cD,HE=%B,

'：AB=CD,

:,EF=FG=GH=HE,

••・四边形EFG，是菱形，

：.@EGLFH,正确；

②四边形EPGH是矩形，错误；

③HF平分NEHG,正确；

④当AQ〃8C,如图所示：E,G分别为8Q,AC中点,

・•・连接CD,延长EG到CD上一点N,

:,EN=^C,GN=

1

：・EG=5(BC-AD),只有人。〃BC时才可以成立，而本题4。与BC很显然不平行，故本小题错误;

⑤四边形EWH是菱形，正确.

综上所述，①③⑤共3个正确.

故答案为：①③⑤

15.(江干区校级期末)已知：如图，在△ABC中，N4CB=60°,AC=3,BC=5,分别以AB,AC为边

向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACM连结MMD,E,F,G分别是MB,BC,CMMN的

中点，则四边刷DEFG的周长为14

【分析】连接BMCM,作NP_L8c于尸，证△C4Mg/\N4B(SAS),得CM=NB,由三角形中位线定

理证出四边形DEFG是菱形，得DE=DG=EF=FG=2BN,由直角三角形的性质得PC=|c7V=PN=

yf3PC=则4夕=竽，由勾股定理求出BN=7,进而得已答案.

【解析】连接8N、CM,作NP_L8C于P,如图所示：

•JZXABM和△4CV是等边三角形，

：.AB=AM,AN=AC=CN=3,/A4M=NC4N=NACN=60°，

：.ZRAM+ZRAC=ZCAN+7RAC,

即NCAM=NMW,

(AC=AN

在△C4M和△N4B中，l^CAM=Z.NAB,

14M=AB

・••△CAM也△NA8(SAS),

:.CM=NB,

•:D,E,F,G分别是MB,BC,CN,MN的中点，

•••OG是△BMN的中位线，E尸是△BCN的中位线，。石是ABCM的中位线，

:・DG〃BN,DG=%N,EF〃BN,EF二BN,DE=gcM,

:.DG//EF,DG=EF,DG=DE,

・•・四边形DEFG是平行四边形，

又,：DG=DE,

・••四边形。EFG是菱形，

：・DE=DG=EF=FG=4BN,

VZBAC=60°,

，NNCP=1800-ZACB-ZACN=60°,

VNP1BC,

，NCNP=90°-60°=30°,

APC=|CN=1,PN=V5PC=孥，

313

：,BP=BC+PC=5+^=芋

22

:.BN=y/BP+PN=J鸟尸+(3/3)2=7,

17

・•・DE=DG=EF=FG=^BN=g,

乙乙

，四边形DEFG的周长=4xg=14,

故答案为：14.

16.（高淳区期末）△ABC中，AB=AC=13,4c=10,。在△A4C内，且4。=。。，NBDC=90°,E、

35

F、G、”分别是AB、AC.BD、CO的中点，则四边形EFHG的面积为—.

-2—

【分析】连接人。并延长交8C于点P,根据线段垂直平分线的定义得到8P=CP=5,APA.BC,根据

勾股定理求出4P,根据直角三角形的性质求出PQ，得到AO的长，根据三角形中位线定理、矩形的判

定定理得到四边形EFHG为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案.

【解析】连接AD并延长交8c于点P,

*：AB=AC,BD=CD,

・・・AP是线段BC的垂直平分线，

：.BP=CP=5,APLBC,

在RtZ\8OC中，ZBDC=90°,BP=CP,

:.DP=%C=5,

在RtAAPB中，AP=>JAB2-BP2=12,

：.AD=\2-5=7,

■:E、尸分别是48、AC的中点,

是△ABC的中位线，

：・EF=/c=5,EF//BC,

11

同理，GH=/C,GH//BC,EG=/C=35,EG//AD,

AGH=EF,GH//EF,

・•・四边形EPHG为平行四边形，

YEF//BC,EG//AD,APLBC,

••・四边形EF〃G为矩形，

・•・四边形EFHG的面积=5x1=^

35

故答案为：—.

17.（新乐市期末）对于任意矩形A8CQ,若M,N,P,Q分别为边A8,BC,CD,OA上的中点，下面

四个结论中，

①四边形MNPQ是平行四边形；

②四边形MNPQ是矩形；

③四边形MNPQ是菱形；

④四边形MNPQ是正方形.

所有正确结论的序号是一①③.

【分析】连接AC、BD,由三角形中位线定理得出MN〃ACMN=24C,PQ//AC,PQ=\AC,MQ//

1

BD,MQ=/D,MMN//PQ,MN=PQ,MN=MQ,证出四边形MNPQ是平行四边形，四边形MNPQ

是菱形；①③正确；当AC_LB。时，MN1MQ,四边形MNP。是矩形，四边形MNP。是正方形，②④

不正确，即可得出结论.

【解析】连接AC、BD,如图：

•・•四边形A8CO是矩形，

：,AC=BD,VM,N,P,。分别为边A3,BC,CD,D4上的中点，

二.MN是△A3C的中位线，尸。是△AC。的中位线，MQ是ZkAB。的中位线，

：.MN//AC,MN=|AC,PQ//AC,PQ=MQ//BD,MQ=^BD,

:.MNHPQ,MN=PQ,MN=MQ,

・•・四边形MNPQ是平行四边形，

，四边形MNPQ是菱形；

故①③正确；

当AC_L8O时，MALLMQ,匹边形MNPQ是矩形，四边形MNPQ是正方形.

故②④不正确；

故答案为：①③.

18.（通州区一模）如图，点A,从C为平面内不在同一直线上的三点.点D为平面内一个动点.线段

BC,CD,DA的中点分别为N,P,Q.在点。的运动过程中，有下列结论:

①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；

③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；

④存在两个中点四边形MNPQ是正方形.

所有正确结论的序号是一①②③④.

【分析】连接AC、BD,根据三角形中位线定理得到尸Q〃AC,PQ=^AC,MN//AC,MN=^AC,根据

平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.

【解析】①当4c与不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形；

故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；

②当AC与8。相等H.不平行忖，中点四功形MNPQ是菱形：

故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；

③当AC与互相垂直（B,。不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形；

故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形：

④如图所示，当4C与8。相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形.

AA.

Q

拉

QD

D

故存在两个中点四边形M/VPQ是正方形.

故答案为：①②③④.

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（工业园区期末）已知：如图，在四边形A4C。中，/W与C。不平行，E,F,G,〃分别是A。，BC,

BD,AC的中点.

（1）求证：四边形EGF"是平行四边形；

（2）①当A8与CQ满足条件AB=CD时,四边形EGFH是菱形；

②当AB与CD满足条件ABLCD时,四边形EGFH是矩形.

【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EG=%B,EG//AB,FH=\AB,FH//AB,根据平彳丁四边形

的判定定理证明结论；

（2）①根据邻边相等的平行科边形是菱形解答；

②根据矩形的判定定理解答.

【解析】（1）证明：•・•£G分别是AO,的中点，

二•EG是△O/W的中位线，

8

EG//AB,

同理，FH=^AB,FH//AB,

：,EG=FH,EG//FH,

・•・四边形EGF”是平行四边形；

（2）①•・/,G分别是BC,8。的中点,

••・R7是△OC6的中位线，

:.FG=』CD,FG//CD,

当A8=CO时，EG=FG,

・•・四边形EGF”是菱形；

②•：HF〃AB,

；・NHFC=NABC,

'JFG//CD,

:,NGFB=/DCB,

AZABC+ZDCB=90a,

：・/HFC+NGFB=90°,

/.ZGFH=90°,

・•・平行四边形EGF”是矩形，

故答案为：®AB=CD；@ABLCD.

20.（伊通县期末）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做''对角线垂直四边形”.

如图1，在四边形A8CQ中，AC_L8。，四边形A8C。就是“对角线垂直四边形”.

（1）下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是③④.

①平行四边形②矩形③菱形④正方形

（2）如图2,在“对角线垂直四边形"ABC。中，点E、F、G、"分别是边人乐BC、CD、D4的中点.

求讦：四动形EFG”是矩形

（3）小明说：”计算对角线垂直四边形的面积可以仿照菱形的方法，面积是对角线之积的一半小明

的说法正确吗？如果正确，请给出证明：如果错误，请给出反例.

【分析】（1）根据“对角线垂直四边形”的定义求解;

（2）根据三角形中位线的性质得到HG〃ERHE//GF,则可判断四边形EFG"是平行四边形，再证

明NE"G=90°,然后判断四边形EFG”是矩形；

（3）利用三角形面积公式可判断小明的说法正确.

【解析】(1)解；菱形和正方形是“对角线垂直四边形”.

故答案为③④；

(2)证明：•:点E、尸、G、”分别是边A8、BC、CD、D4的中点.

:.HG//AC,EF//AC,

:.HG〃EF,

同理可得”石〃GF,

J四边形EFGH是平行四边形，

•・・QB_LAC,

:・HE上HG,

AZEHG=90G,

・•・四边形EFG”是矩形：

(3)解：小明的说法正确.

1111

SVWHABCD=SAADC+S^BAC=乙y*AC*OD+y乙*AC*BO=y乙*AC(OD+OB)=-乙^*AC*BD,

即对角线垂直四边形的面积是对角线之积的一半.

21.已知AAOB和△COO都是等腰直角三角形固定△AOB,将△C。。绕点。旋转，E、F、G、”分别是

AB.BC、CD、0A的中点.

(1)如果4。。。转至如图①点仄0、。共线的位置，判断并证明四边形EFGH是怎样的四边形.

(2)如果△COD转至如图②两边不共线的位置，以上结论还成立吗？请说明理由.

【分析】(1)根据和△CO。都是等腰直角三角形，点8、0、。共线，得出AC=8D，AC1BD,

再根据三角形中位线定理，得到四边形第灯”是菱形，且NE/G=90°,最后得出四边形EFG”是正

方形；

（2）先连接AC、BD,交于点，〃。与CO交于点Q,根据SAS判定△AOC92XAOD,得出AC=〃£>,

且AC_L8D,再运用（1）中的方法，判定四边形EFGH是正方形即可.

【解析】（1）如图，四边形EFG"是正方形.

理由：和△C。。都是等腰直角三角形，

：.CO=DO,BO=AO,ZCOD=ZAOB=90°,

又•・•点B、0、。共线，

，点A、0、C共线，

:・AC=BD,AC1BD,

：£、F、G、〃分别是A8、BC、CD、D4的中点，

・•・根据三角形中位线定理，可得

EF=GH=1AC=^BD=EH=FG,KEF//AC,FG//BD,

・•・四边形EFG”是菱形，/EFG=9U°,

••・四边形EFG"是正方形；

（2）△COD转至两边不共线的位置，四边形是正方形.

理由：如图，连接AC、BD,交于点P,8。与CO交于点Q,

•••△AO3和△COO都是等腰直角三角形，

ACO-DO,BO-AO,ZCOD-ZA0B-9Q0,

・•・ZAOC=ZBOD,

•••△A08ZXB。。（SAS）,

：,AC=BD,/PCQ=NODQ,

又,：NCQP=/DQO,

，NCPQ=NOOQ=90°,

*：E、F、G、〃分别是48、BC、CD、D4的中点，

・•・根据三角形中位线定理，可得

EF=GH=%C=%D=EH=FG,且EF〃AC,FG//BD,

・•・四边形EFG”是菱形，NEFG=90“，

・•・四边形MG”是正方形.

G

V、

22.（龙岩期末）如图，已知四选形A4CO是矩形，点、E,F,G,〃分别是44,BC,CD,OA的中点.

（1）求证四边形EFG”是菱形；

（2）若A8=3,BC=4,求四边形£打;〃的面积.

【分析】（1）连接AC、BD,由三角形中位线定理和矩形的性质证出Er=R7=GH=〃凡即可得出结

论；

（2）连接EG、HF,则EG=8C=4,HF=A