解三角形大题归纳【7大题型】（期中复习讲义）解析版-2025-2026学年高一数学下学期期中（人教A版必修第二册）

解三角形大题归纳【7大题型】

内容导航

明♦期中考清把握命题趋势，明确备考路径

记•必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区

破•重难题型题型分类突破，方法技巧精讲

题型01解三角形中求边长及周长

题型02解三角形中求面积

题型03解三角形中求中线

题型04解三角形中求角分线

题型05解三角形中求高线

题型06解三角形中有关四边形的计算

题型07正余弦定理的应用

过•分层验收阶梯实战演练，验收复习成效

.明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

求边长及周长熟练运用正余弦定理求边；掌握周长表达基础必考，常与面积、最值并列考查，注意

为函数的方法；能根据条件直接建立周长单位统一和结果化简，是后续综合题的第一

方程并求解步

求面积掌握面积公式及变形式；能根据已知条件高频考点，常与正余弦定理结合，面积公式

灵活选择两边及其夹角求面积的灵活选择是得分关键

求中线掌握向量法（中线向量等于两边向量和的中等难度，常在解答题第二问出现，向量法

一半）和补角余弦法（邻补角余弦值互为是高一重点掌握的方法，需结合三角形存在

相反数）求中线长；能处理中线取值范围性约束

问题

求角分线熟练运用角平分线定理（分对边成比例）中等难度，角平分线定理是转化比例关系的

和面积法建立方程；能求角分线长及取值关键，常与余弦定理结合考查，注意比例方

范围向

1/54

求高线掌握面积法（等面积求高）和直角三角形基础题型，常作为求面积或最值的中间步

法（已知角的正弦直接求高）；能求高线骤，面积法最通用，需注意钝角三角形高在

长及取值范围外部的情形

有关四边形的计将四边形分割为两个三角形，分别解三角踪合题型，需具备图形分解能力，公共边

算形；能通过公共边或公共角建立方程联立（或公共角）是建立联系的关键，注意选择

求解哈当的三角形求解顺序

正余弦定理的应掌握实际应用问撅（测曷、航海、几何图应用类题型，注重数学建模素养，需将实际

用形等）中的建模方法；能准确理解角度术问题转化为解三角形模型

语（仰角、俯角、方向角）；能结合图形

建立三角形并求解

■记•必备知识.

知识点01三角形的面积公式

111

SABC=-absinC=-besinA=-acsinB

A乙乙乙

SAABC=^=4-b+C）.r（r是三角形内切圆的半径，火是三角形外接圆的半径.）

SAABC=5h（三角形的底乘高）

愎知识点02求三角形周长、边长或面积的最值

I、利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等

式来求最值。

2、利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角

的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。

愎知识点03解三角形中的中线模型

1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：

121212

换成三角形的中线，则有|40|2=]/1阴+\\BC\-^\BC\

2、可以通过向量法而'=^（AB+AC）,两边平方后可得|初2=；（|附2+\AC\2+2\AB\\AC\cosA'）

2/54

及知识点04解三角形中的角分线模型

1、面积法：如图三角形中，S^ABC=S^ABD+S^ADC<=>^\AB\\AC\sinA=^\AB\\AD\sina+^\AD\\AC\sinp

化简有sin（a+0）=|力0（前+湍）

2、角分线张角定理：若4。为角分线，则a=6，则化简上式有cosa=5力。|（击+焉）

4|ZIUI

3、斯库顿定理：若4。为角分线，^AD2=ABAC-BD-DC,

强知识点05解三角形中的高模型

1、如图AD为BC边上的高线，则有=AB-sizi48=ALs出ZC

2、利用面积公式有：AD-BC=AB-AC-sin/-BAC

.破•重难题型.

再题型一解三角形中求边长及周长

:看商j卷i病

j1、求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。

:其问题的本质为Q+匕（周长相关），。力（面积相关）,於+川（余弦相关）这三者之间的关系，知二求一。

”、若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法

:（1）若已知面积，则可利用基本不等式Q+bN2病可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时,

:看是否满足取等条件。

i（2）若能根据余弦定理，则可利用基本不等式早工pp把周长的最大值与余弦值挂钩。

：3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数

:求范围问题来解决

：4、若遇到边长齐次式求比值的范围向题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值

3/54

问题。

5、对三角函数比值求最值的问题可采用的方法：

统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角曲数的形式，则可以根据三角曲数有界性来

判断最值。

统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。

【典例1】（25-26高一下・云南曲靖・月考）已知a/lA。的角4&C所对的边分别为。也c,且

⑴判断的形状；

（2）若a=2,求△NBC周长的取值范围.

【答案】（1）直角三角形,且。=90，

(2)[4,+8).

【分析】（1）利用8ym=L!等且化简，代入余弦定理推导得/=/+从，判断为直角三角形.

（2）通过三角换元将周长表示为L=2+2•—一，变形为正切函数并利用单调性求范围.

cos9

…加八241+cos/b+cb+c.b

【详解】（1）111cos—=------------=-------，f.'1+cosJ=--------,即Encos/i=-.

222ccc

।ATA.,b~—Q"।,.b~+c"-Q~b

由余弦/EJ1!cosA=----------------,故r----------=",

2bc2bcc

化简得廿+。2-。2=2从,即c2=/+〃，

所以△力8c为直角三角形，且NC=90".

(2)由NC=90"，。=2,设8=夕，，则Z?=2tan。，c=--—

12/cos夕

cc八2sin0+2

周长£=2+8+c=2+2tan0H--------=24----------------

cos0cos0

令/⑺七，同。,会,

.00(.00\

1Isin61=sm~\cos-l2sincos=smlcos

2222I22)

A0.0(0.0\(0.*

cos0-cos2——sin2—=cos—+sin—cos——sin—

22122人22)

oe

因°，g,故sin—+cos—>0,所以易得f(e)=

22

分子分母同除以cosp并利用正切和角公式：

4/54

0।

tan—+1

071.八（7TA.zi兀（TV兀、

/（。）=—，=匕n由Oe0,-W,得e+丁,7

【24）

1-tan—k2；4<41）

2

因此/（此«*）,故£=2+2/（e）w（4收）.

【典例2】（25-26高一下•云南曲靖•月考）在△X8C中，角4瓦C所对的边分别为。,膜，且满足

acosC+也asinC-/>-c=0.

（1）求角4的大小:

（2）若。=2,△ZBC的面积为6,求力，c的值.

【答案】（1）4=方

（2）b=c=2

【详解】（1）由正弦定理得sin/lcosC+VJsin/sinC-sin8—sinC=0,

乂sin8=sin（J+C）=sin/lcosC+cos/IsinC,

R^3sinJsinC-cosAsinC-sinC=0.

由Cw（0,;r）,sinCw。，得VJsin/-cos4=1,

即2sin（4-2）=1,sin（力-菅=；.

由4e（0"）,所以易得力一£=£,故/=g.

oo3

（2）S=—ftcsinA=\[^,即_1从2^=百，得A=4.

222

由余弦定理/=〃+d-2bccos4，^4=b2+c2-be，即〃+。？=8.

、（be=4

联立122O，得（b-C）~=0,故b=c=2.

+c=o

【变式1】(2026•浙江嘉兴•二模)已知△AAC内角力，B,C的对边分别为a,b,c,若/+/-/=_岫,

fiAsinC=2V3sin5.

(1)求角C及边c的值；

(2)求。+力的最大值.

【答案】(l)C=g,c=20

(2)4

222

【详解】(1)ti]a+h-c=-ab,

5/54

1

根据余弦定理，得cosC=a-+”一。--a-b=--

2ab2ab2

因为0<C<7T,则。=学.

if1AsinC=2>(3sin8，得-Ar=，

sinnsine

hr

根据正弦定理，得「=一不，则。=2G.

sinlisine

(2)由(1)知，a2+b2-\2=-ab,

则（4+»2—12=。〃4（管，即a+bK4,

当且仅当a=6=2时等号成立，

则a+b的最大值为4

【变式2］（2026•淅江•模拟预测）已知"8C的外接圆半杼为2,△力8c的内角力.B,。的对边分别为

a,b,c,且avccosB.

（1）试判断△/!«。的形状；

（2）?7acosB+hcosA=26，求“BC周长的最大值.

【答案】（1）钝角三角形

（2）4+2^

【分析】（1）根据余弦定理，可得则ssCvO,故。为钝角，可得413。为钝角三角形.或

使用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得cosC<0,从而得到△/AC为钝角三角形：

（2）由正弦定理进行边角互化，可求得sinC,从而得C.由此可用力表示利用正弦定理将。+6表示成力

的函数，根据正弦函数的最值，可求得。+人的最大值，再求出c,即可得到△48。周长的最大值.

【详解】（1）因为a<ccos8,由余弦定理得,即力+从一^^

2ac

故2<0,所以ccsC<0,故r为钝角.

2ab

所以△48C为钝角三角形.

另解:因为acccosB，由正弦定理得sin4vsinCcosB,

因为<+8+0=汽，所以sin力=sinl兀一（〃+C）］=sin（8+C）vsinCeos8,

即sinBcosC+cos8sinCvsinCcos5,即sinBcosC<0,

因为0<3<兀，所以sin8>0,

6/54

所以cosC<0,故C为钝角,

所以为钝角三角形.

（2）△力5c的外接圆半径为??.

由题acos3+68S.=25由正弦定理扁=熹=崇=2H=4,

得4sin/cosB+4sinBcosA=2G，

即sin(4+4)=sinC=T

由（1）知C为钝角，所以。=3■.

又

邛in"正1

a+b=4sin4+4sin8=4cos^-—sinJ=4—sinJ+cosJ=4sinA+—

2222I3

因为所以/卜--,

。JJJ

所以当4+9=1，即/=?时，sin（4+?］取得最大值1,4sin［4+f］取得最大值4,即“+/>的最大值为

326\3J13）

4.

又c=2RsinC=4x且=2>/j,

2

所以48C的周长。+6+c的最大值为4+2百.

3题型一解三角形中求面积

善i套i痴后

通常根据面积公式SdABC=^absinC=^bcsinA=^acsin8来求值。

1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积

2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。

关于面积的最值问题，通常有以下两种方法

1、利用基本不等式Q+b>2友或Q2十垓之2Q》可以求面积的最大值。

2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解

决

【典例1】（25-26高一下•江苏无锡・月考）在△/AC中，角4队C的对边分别为。也c,满足

a1+b，-ab=c?.

（1）求角。的大小；

⑵若“+〃=8,求△/夕。周长的最小值；

7/54

（3）若ZU4C是锐角三角形，且。=26，求ZU4C面积S的取值范围.

【答案】（呜

(2)12

⑶（2百,3伺

【分析】（1）由余弦定理计算即可求解;

（2）由题意可得。2=64-3岫,根据基本不等式计算即可求解;

（3）由正弦定理将帅化为关于角力的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解.

【详解】（1）因为牛2+〃一而=/，所以。2+〃一。2

由余弦定理可得8SC二色，

因为Ce（o,兀），所以c=g；

J

(2)因为。2+从=(。+6)2-2砧=64-2岫,

所以c?=a2+b~-ah=64-3ab>

由基本不等式可知8=1+622疝，当且仅当。=6=4时等号成立,

所以MW16,c?216即cN4,

所以当a=b=c=4时，△力8C周长杓最小值为12；

⑶由正弦定理可得焉=卷=^，所以“4si”,5=4疝5,

因为力+8+。=兀,所以8=—A,

则ab=16sinzlsin(午一

16sinJsin—cosJ-cos—sin>4

33

=16sinAcosJ+—sinA=85/3sin/lcos^+8sin2A

2

=4>/3sin2/l-4cos2/i+4=8sinf2J-^-+4,

0<A<-

因为是锐角三角形，有4、2,即

八2八，兀62

0<-----A<—

32

月「以2V2力一过,—<sin2J——1<1,8<aZ?<12,

6662I67

因为S=—«Z)sinC=^-ab,

24

8/54

所以＜SK36，即LABC面积S的取值范围是仅石3万］.

【典例2］（25-26高一下•江苏无锡・月考）在△/出C中，角4,B,C的对边分别为。，b,c,若

4=20，b=2,8=30。.

⑴求边c；

⑵求△力AC的面积S.

【答案】⑴#+&或

⑵方+1或百-1

【分析】（1）根据余弦定理求解即可.

（2）根据三角形面积公式求解即可.

【详解】（1）由余弦定理得22=9&『+,2-2・2五0日，

整理得c?一2"c+4=0,解得c=A土&.

所以边c的值为&+&或"-6.

（2）当°+&时，SM8c=gacsin8=g-28•（6+0）・；=6+1；

当'=逐_&时，S^BCB=g・2也,（娓一1.

所以△力BC的面积为行+1或百-1.

【变式1】（2026•广东梅州•一模）在△XBC中，角48,。所对的边分别为Ac,已知

,5/3..「

b=——csinA+acosC.

3

（1）求角4的大小;

（2）若。为边8c上一点，满足8Q=2C。，且力。=2,求△48C的面积最大值.

【答案】（1）力=三

⑵”

2

【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，化简得到cos4sinC=@sinCsinZ,求得tan4=6,进而求得4

3

的值;

（2）根据题意，得到而=2反，得到通=；刀+|就，结合向M的运算法则和基本不等式，求得

9/54

bc<6,结合三角形的面积公式，即可求解.

【详解】(1)解:因为匕=3^csin4+4C0S。，

3

由正弦定理得2/?sin5=­2/?sinCsin/i+2/?sin/icosC»

3

所以sinB=—sinCsinJ+sin4cosc，

3

又因为/?=TT_(4+U),可得sin(Z+C)=¥sinCsinJ+sinAcosC,

所以sinAcosC+cosAsinC=—sinCsinJ+sin^cosC，

3

所以cos^sinC=—sinCsin力，

3

因为0〈Cv7t,所以sinCrO,可得cosZ=-sinZ，所以tan-=G，

3

又因为05v叫故4号

（2）解：因为。为边6C上，满足8O=2CQ,

所以丽=2万，所以而-而=2（就-而），所以而=］而+§衣，

所以而2］万荏衣，

即有|浙.I画2+:研+才福.尔喈，

即2?=—c2+—b2+-c-hcos—,

9993

所以4=3/+1/+；5622乂：乂弓+£0.6=16°,所以42gA,即bc<6,

当且仅当时，即c=2b=2£时，取等号，

所以SARC=—Z）csinA=—bcs\n—=-bc<—x6=^^-，

“8c223442

即△力AC的面积最大值为毡.

2

【变式2】（2026•山东德州•一模）已知△力8c为锐角三角形，sin（4-8）=立,sinC=述.

V71010

（1）求siMcosB；

（2）求tan4；

⑶若△48C外接圆的周长为5兀，求△48C的面积.

【答案】（l）sinJcos8=2^Z

10/54

4

(2)tanJ=—

(3)7

【分析】（1）根据sinC=sin（/l+B）,再结合条件、利用两角和差的正弦公式，即可求解:

（2）首先根据（1）的过程求得tan力与lan〃的关系，再根据tanC=-tan（4+8）,再根据两角和的正切公

式，即可求解;

（3）根据圆的周长公式求半径，再根据正弦定理求边长，最后代入三角形的面积公式，即可求解.

【详解】（1）因为sinC=sin（4+3）=

10

所以sinJcosi?+cos/si118=———

10

又sin(公8)=也，所以siMcosB-cos/sin8=也

V710~10

“关立得siii/lcusS=j>ii15=台五；

510

(2)因为sinC=^2，且三角形为锐角三角形，

10

所以8§。=哥，tanC=7,

一3tanJsirUcosB4,4

由(1)可得----=--------=—,即tanJ=-tanj?,

tan5cosZsinB33

4

,.—tan5+tanfi

taM4+tanD8_3

所以tanC=-tan(月+6)二=7,

tanJtan^-11

3

所以4taifB-tan8-3=0，

3

解得tanB=1或tanB=一一,

4

4

因为角〃为锐角，所以tan8=l,taM=§,

(3)因为△48C外接圆的周长为2兀R=5兀.即2A=5.

44

rhlag=—,得sinJ=—,

35

巴==5

因为a号=-£7=2R,所以37V2,解得a=4,c=*7F)，

sinJsiney2

由(2)可知tan8=l,且角8为锐角，所以8=3，sinB=*,

42

所以的面枳为,acsin8=—acx^-=7

222

11/54

团题型三解三角形中求中线

善诲「谓|福

解三角形中求中线可以应用以下两个性质：

1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：换成三角形的中线，则有|AD|2=/力用2+2阳。|2

12

一泅C|

2、可以通过向量法而=^（AB+m）,两边平方后可得|AD|2=+MCI2+2\AB\\AC\cosA）

在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角

的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。

【典例1】（25-26亩一下•福建宁德•月考）在△川完?中，角4B,C的对边分别是〃，b,c,满足

67COSC+—C=Z）.

2

⑴求力；

（2）若。=布，△/BC的面积为且求6、c；

⑶在（2）的条件下，。为8c的中点，求中线4。的长.

【答案】（1）4=^

（2）5=4.c=1.

（3）AD=—

2

【分析】（1）根据正弦定理化简等式，进而求得结果.

（2）根据三角形面积公式和余弦定理计算即可.

（3）先根据余弦定理求出cos。，然后根据余弦定理计算结果.

【详解】（I）因为角力，B,C的对边分别是a,"c,满足acosC+；c=8,

根据正弦定理得sin4cosc+gsinC=sin4,因为8=兀一/一（7,

所以sin3=sin(4+C),所以sin4cosC+；sinC=sin(1+。),

化简得,sinC=cos4sinC,又sinCxO,所以cos/=L

22

又0<4〈兀，所以力=1.

(2)由/=1,S.ABC=；bcsh\A=&,得be=4.

12/54

由余弦定理，=b'+c'-2/?ccosJ=(/?+c)~-2bc-2bccosA=13.

则仅+c)~=25,所以b+c=5.又则b=4,c=1.

（3）由于a=力=4,c=l,所以根据余弦定理得cosC=M+，「三=13+9二匕坐.

2ab2x713x426

在AACQ中，/C=4,CQ=，4=姮，所以根据余弦定理得

22

AD2=AC2+CD1-2ACxCDxcosC=\6+--2x4x-x-^^=—

42264

所以力。=立L

2

【典例2】（2026,四川•模拟预测）记M8C的内角/,B,。的对边分别为。,b,c,已知

cos24-20cos（8+C）=2.

⑴求4

（2）若〃=3/，cosC=—»求力夕边上中线的长.

5

【答案】（呜

（2）5

【分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于cos力的二次方程，求解角N：

（2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算48边上的中线长.

【详解】（1）在。中，B+C=n-A,故cos（〃+C）=一cos/.

由cos24-141cos(8+C)=2,得2cos2A-\-2应(-cos4)=2,

即2cos2A+2V2cos/-3=0，

无

cos4=-宜马(舍去，因ICOS川41).

即cosA2

2

&

T

由cos4Ae(0,n)t得4=1

4

13/54

(2)llfcosC=—»Ce(0,7c),得sinC=Jl-cos?C

55

sin5=sin(J+C)=sinJcosC+cosJsinC=—x—+—x—=

252510

,3&旦

由正弦定理得"二黑"F、=5,

lfubs\nC

同理'-而

设48的中点为。,

在AACQ中，CD2=AC2+AD2-2-AC-ADcosA

=(3>/5)2+(Vi0)2-2x35/5xVi0x^=25，

2

故CO=5,即边上的中线长为5.

【变式1】（2026・陕西•二模）在△力8C中，内角4'C所对的边分别为。也c,Z5JC=120\AD为NBAC

的角平分线，且月。=2.

（1）若5皿8=25皿。，求。的大小；

（2）设“为4c中点，连接4W,△力BC面积取得最小值时，求线段4W的长度.

【答案】（1）3行;

（2）2

【分析】（1）由正弦定理得到8=2c,根据同用='心+%"，结合三角形面积公式建立关J%力的方程,

再结合余弦定理求解。；

（2）同（1）建立关于c/的方程，再结合基本不等式求解从最值，进而根据等腰三角形性质求解即可.

【详解】（1）因为sin6=2sinC,由正弦定理得力=2c.

因为N84C的角平分线交8c卜点。，所以/历1。=/。。=60。，

由8c=S、ADB+S&CCX，^-bcs\nZ.BAC=-cADs\n^BAD+-bADs\nZ.CAD,

222

则』2从亩60+，2cJSin60'=』•方.csinl20,

222

即be=2c+2b,所以。=3,b=6.

14/54

在△NBC中，由余弦定理得/=h2+c2-2/)<?cosl20'=36+9-2x3x6xf-ij=63,

即A=A/63=3y/1:

(2)由S48c=S,谊8+S、CDA,得;bcsin/B/C=-^c-ADsin^BAD+g加ADsinZ.CAD,

得L•2•6sin60>+1•2♦c•sin60>=--bcsin120",

222

化简得6c=2c+2b,即,+1=’，

bc2

所以_L+_L=_!_22jLJ,即!=

bc2\bc47be

当且仅当b=c=4时等号成立，be取得最小值，△/8C面积取得最小值，

此时△月5C为等腰三角形，M为BC中点,则既是中线也是角平分线.

即D,M重合，故4必=力。=2.

【变式2】（2026・四川绵阳・模拟预测）在△48。中，角46,C的对边分别为a",c.已知〃sinB=®cos/，

。=6，a=y/7b.

（1）求人的值；

（2）若。是8c边的中点，求力。的值.

【答案】（1）2

⑵而

【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得力，利用余弦定理列方程求得人

（2）利用向晟法列方程，化简后求得40.

【详解】（1）已知〃sinA=®cos,4,由正弦定理，~7=占.

sinJsinn

得asinB=Z?sinJ=V3Z>cosJ，显然cos4二0,

得tanJ=石，由0<4<兀，得力=1，所以cos4=],

因为c=6,a=，由余弦定理.a?=〃+/-2bccosA♦

则依）2=〃+62-2Z）x6xg=〃+36-6b,

15/54

〃+6-6=伍+3）伍—2）=0,

解得6=2,6=-3（舍去）.

（2）因为。是8C边的中点，

所以2万=荏+配M而（=|J^|:+|JC|?+2J5-JC,

所以4回=36+4+2x6x2xcos,4,

|阿二二£,所以3疝

团题型四解三角形中求角分线

SiiTSiffi

1、利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。利用角平

分线性质，将大二角形面积拆分为两个小二角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平分线长

度。

2、求角分线的范围：将角平分线长度表示为某个变量（如边或用）的函数，再结合三角形约束条件求该函

数的值域。

【典例1】（2026・湖北,一模）在△力8c中，内角力，B,C所对的边分别为叫b,c,△力BC的面积为

S,。是线段力。上一点，且2氏osC=2a-c.

（1）求角8：

（2）若S=b=2jJ，BD平分N4BC,求45.

【答案】⑴

⑵迫或还

33

【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得cos8=g,故可求4=］；

（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得关于见。的方程，求出其解后结合角平分线的性质可求40.

【详解】（1）由条件26cosc=2a-C,利用正弦定理可得2sin38sC=2sin/-sinC,

因为力=兀一8-。，所以sin/4=sin（8+C）=sinZ?cosC+cos8sinC,

代人上式：2sin^cosC=2sin^cosC+2cos5sinC-sinC,

整理得：2cos8sinC-sinC=（2cosB-l）sinC=0,乂sinC/0,

16/54

故2cos8-1=0即cosB=—,又0<8<兀，所以8=工.

23

（2）由三角形面枳公式知S='〃csin8=^ac=2G，灯得好=8,

24

Z/>=2A/3»由余弦定理〃=/+c，-2occos5,得12=/+c，-ac，

「是可得［：：；或a=4

c=2

ADAfi

因为8。平分/力〃C,由角平分线性质，能=黑二£r,

DC,BCa

^AD+DC=AC=b=2y/3,所以/。=上b=^c

a+c3

故4。的长度为毡或速.

33

【典例2】（2026•辽宁大连•模拟预测）已知锐角△力8C中，。为边8c上一点，力。平分且

cosB_cosC-cosB

bb-c

（1）证明：DA=DB；

（2）若。=2,求/。长度的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

（2）退、

【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出sin28=sin/1,再结合角的范围得出乂=28,最后

应用等角对等边即可证明;

sin3B

（2）先应用正弦定理结合角平分线性质计算化简，再换元设8Z）=x,/,结合正弦函数值域及单调

sinZ?

性计算求解.

…即、，、、I.c°s4cosC-cosB_cosC-cos4

【详解】（1）11：——=——；---------

bb-cnmm—sinS-sinC

展开得cos^sinB-cosBsinC=sinficosC-sinBcosB，

所以2cosBsin^=sin（8+C）=sinJ,即得sin28=sirU,

由干ZUSC为锐角三角形，8和/均在（0,g）内，则力=24或4+28=4，

当"28二不时，因/+8+。=不，则5=C,即得b=c,此时题设条件不满足，舍去.

故,4=28,又4D平分/B4C,所以/8月。"C=N8.

2

故DA=DB.

17/54

A

（2）由（1）知4=28,则。二兀一力一8二兀-38.

因为△力4c为锐角三角形,

所以0＜4＜色,0〈力二24〈工,0＜。=兀-38〈巴,

222

解黑＜5昔

h2sin42sinC2sin34

已知。=8C=2,由正弦定理,得6=

sinJsinZ?sinCsin24'sin24sin24

＞十八BDABcsin38

m因g平分4,则niI诙=前=广三加

设BQ=x,则0C=2-x,且由（1）知。力=。8=%,

则得六=驾（*）

2-xsinZ?

因sin38=sin(8+28)=sin5cos25+cos8sin28=3sin8-4sin'8,

匚=3皿-4刖、8=3_4加8,

则一

2-xsinB

设/=3-45"4,由8/,得sinBw,则Vl,2).

由六=，可得x=3，

2-x\+t

又函数3=2-在E«l,2）上单调递增,

1+/1+/

故2t二^—4\,l'|J.

1]++t/I「33)I3j

【变式”（2。25・陕西榆林一模）已知M8C的内角”,6,C所对的边分别为且味泻=芥

（1）求角4的值;

⑵若△力8c的面积为百，/力8c的平分线8。交力。于Q,求线段的最大值.

【答案】（1）3=5

J

⑵6

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得cosB,进而求得8.

18/54

（2）利用三角形的面积公式列方程，求得"，再根据面积列方程，利用基本不等式求得8。的最大值.

【详解】⑴由止弦定叱力熹sinJ-sin5_a-c

sinCa+b

ZfJa—bCl—Crjri2212

=------r»H|Ja'+c~-b^=ac>

c--a+b

由余弦定理得COS8=C±J±=_L,0<8<兀，所以8=：.

2ac23

(2)如因所示，伙I为S——acsinB—B

tficac--Ji，所以ac=4,

2

因为BD为/ABC的平分线，S△.=S2BD+S△冽

所以—）皿如怨^盘=第=5

当且仅当。=c=2时，等号成立，所以线段8。的最大值为百.

【变式2］（25-26高三上•河北邢台月考）已知锐角△N5C的内角4瓦。的对边分别为。也c,

acos8+Z）cos/=4cosC,c=2.

⑴求C;

（2）若角。的平分线交，伤于点。，求力。的取值范围.

【答案】⑴方

⑵图）•

【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得cosC,由此可得C：

（2）利用面积可求得桨=2,利用正弦定理边化角，结合tan.4的范围可求得&的范围，进而构造不等式

BDaa

求得月。的取值范围.

【详解】（1）,/c=2,acos8+方cos4=2ccosC,

由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,

/.sin（^+i?）=sinC=2sinCcosC,

vCef0,^-,/.sinC^O,/.cosC=^-,C=—.

I2；23

(2)

19/54

1c

BDSg-BCCDsxn-BCa

22

(J+C)_sinJcosC+cosJsinC_2^s'n'+亍c°s'