2026年高考数学总复习突破：函数的图象与性质

板块一专题突破练

专题六函数与导数

微专题35函数的图象与性质

［考情分析］函数的图象与性质是商考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象

的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性的综合应用，难度属于中等及以上.此部分

内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合来命

题.

微点一函数的概念与表示

1.(2025・沈阳模拟)设函数段)的定义域为(-1,3),则函数g(x)喘软的定义域为()

A.(-2,1)B.(-2,0)U(0,1)

C.(0,1)D.(-8,0)U(0,1)

答案B

解析要使g(x)嗡瑞有意义，

—1V1+xV3,—2Vx<2,

只需1一%>°，即XVI，

11—xH1,5H0,

解得-2vx〈0或0<x<l,

则函数g(x)的定义域为(-2,0)U(0,1).

2.(2025•昆明模拟)函数/(x户『二£>二寸的值域为()

A.［-l.+8)

C.RD,［-l,一乡

答案A

解析当x<-2时,J(x}=2x-1,

因为函数尸2x在(-8,・2)上单调递增，

所以Ov2y2-2三，

即於)=2，-1在(-8,-2)上的值域为(-1,—^)；

当x2-2时，因为函数{x)=/-l在卜2,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故/(.¥)2火0)7,即.危)"-1在［-2,18)上的值域为口，|8).

综上所述，函数火x)的值域为［-1,+8).

3.(多选)狄利克雷(1805-1859)是德国数学家，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的

创始人之一.1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名的狄利克雷函数

。(力牖鼠翻:下列叙述中正确的是()

A.D(j4-l)=D(.r)B.D(x+V3)=Z)(x)

C.D(Z)(x))=lD.O(x)是偶函数

答案ACD

解析对于A,当x为有理数时，x+1也为有理数，满足。(x)=O(x+l尸1,

当x为无理数时，x+1也为无理数，满足。(刈=。。+1)=0,所以。(x+1尸。(x)成立，所以A正确；

对于B,例如，当尸1时，1+V5为无理数，所以。(1)=1,。(1+痣)=0,

可得D(1)KQ(1+V5),所以B不正确；

对于3当x为有理数时，可得。2=1,则。(O(x))=l,

当x为无理数时，可得。(x尸0,则O(O(x)尸1,所以。(O(x)尸I,所以C正确；

对于D,Z)(x)的定义域为R,关于原点对称，当x为有理数时，也为有理数，满足。(-x)=Z)(x尸1,

当x为无理数时，-x也为无理数，满足。(・外=。(工)=0,所以。(x)=D(・x)成立，

所以函数。(x)为偶函数，所以D正确.

4.已知实数q£R,函数./U尸1'若则实数。的取值范围是.

答案(-2,-l)U(0,+8)

解析由题意知aHO,

①当0Vo时，

J-(1-〃)>(1+4+2。，

化简得qjBa+ZvO,解得-2v〃<-1,

又a<0,；・a£(-2,-1)；

②当〃>0时，1+心1,

・・・(l-a)2+2a>-(l+a),

化简得〃+4+2>0,解得a£R,

又。>0,£7(0,+°°),

综上，实数。的取值范围是(-2,-l)U(0,+8).

微点二函数的图象

3\x<1,

5.己知函数/x)=logi%,%>1,则函数y=f(1㈤的大致图象是()

、3

AB

答案D

解析方法一作函数4r)的图象关于y轴对称的图象,得到函数4-X)的图象，再把函数人7)的图象向右

平移I个单位长度即可得到函数的图象，如图.

方法二因为函数y(x)=logy,不>i,

3

(31T,X>0,

所以函数火1-X)=|logi(l-x),x<0,

当尸0时，>可(1)=3,即y=/(l・x)的图象过点(0,3),排除A；

当尸-2时，y=A3)=-l,即尸=/(l-x)的图象过点(-2,・1),排除B；

当x<0时,l-x>l,j(\-x)=logi(1-v)<0,排除C.

3

6.(2024•全国甲卷)函数於)=-x2+(e'-e-x)sinx在区间［-2.8,2.8］的图象大致为()

答案B

解析/(-x)=-x2+(e-'-c')sin(-x)

=-x2+(er-e'r)sinx=f(x),

又函数危)的定义域为[28,2.8],

故该函数为偶函数，可排除A,C,

又HD=-l+(e_：)sini>_l+(eV)sin泠1去g>0,

故可排除D.

7.(2025•天津)已知函数产/(x)的图象如图所示，则/(x)的解析式可能为()

A於）=总

B於）,

C/的

DJ（x）*

答案D

解析由题图可知，该函数为偶函数，而函数次、）=总和函数人x）缶■为奇函数，故A,B错误；

又当工£（0,1）时，x2-l＜0,此时/（X户鸟＞0,火外=悬＜0,

由题图可知当x£（0,1）时，_/（x）＜0,故C错误，D正确.

2

8.（多选）设函数危尸mid也-2|,xf|x+2|},其中mid{x,yfz}表示x,y,z中的居中者.下列说法正确的

有（）

A：/（x）只有一个最小值点

B/（x）的值域为［1,+8）

C：/U）为偶函数

DJ（x）在（0,1）上单调递减

答案BCD

解析由已知在同一坐标系中分别画出力（x尸仇-2|,£（x）=/与力（x）=|x+2］的图象（虚线），根据mid{x,y,z］

表示从y,z中的居中者知函数/（.x）的图象（实线）如图：

对于A,由图知当尸土1时，人r）取到最小值1,所以/（X）有两个最小值点，故A错误；对于B,由图知，函

数人幻的值域为［1,+8）,故B正确；对于C,由图知，函数人》）的图象关于y轴对称，又函数人x）的定义

域为R,关于原点对称，所以函数yw为偶函数，故C正确；对于D,由图知，函数,/U）在（0,1）上单调

递减，故D正确.

微点三函数的性质

则乂-乡等

9.（2025•全国I卷）已知是定义在R上且周期为2的偶函数，当2WxW3时,危）=5办,

于（）

clpl

Ju'2

答案A

解析由题意知J(x)=J(-x),/(x+2)=/(x)对一切x£R成立，

于是4一虱抄5-2X^=-i.

10.(2024•新课标I卷)已知函数尸｛「f丫藁刍1°,在R上单调递增，则a的取值范围是()

A.S,0]B.[-l,0]

C.[-h1]D.[0,+8)

答案B

解析因为人外在R上单调递增，

且x20时，./(K)=er+ln(x+l)单调递增，

(——‘一＞0,

则需满足23一？

解得-iWaWO,

即。的取值范围是[-1,0].

11.(多选)已知函数/(x)的定义域为R,y=/(x-1)的图象关于直线x=l对称，且对任意的x£R都有/(-

x)t/O+2)=2,/(0尸・1,则下列结论正确的是()

AJ(x)为偶函数

C.2是/(x)的一个周期

2025

D71/(6=2025

答案AD

解析因为函数/(X)的定义域为R,尸式》一1)的图象关于直线A1对称，所以火X)的图象关于y轴对称，

即火-r)=/W，所以段)为偶函数,故A正确；

因为汽一乃优％+2)=2,令尸“，可得火1)+/(1)=2,则｛1)=1,因为贝x)为偶函数,所以火“月(1尸1,故B

错误；

由八一功切＞+2)=2,」0尸・1,令x=0,可得/(2)=3,/(0)壬/(2),2不是危)的一个周期,故C错误;

因为j(・x)=/(x),JI-x)+Ax+2)=2,所以/(x)+/(x+2)=2,

所以/(x+2)4/0+4)=2,则/(x)g(x+4),即火x)是以4为一个周期的周期函数；

2025

所以2/k)=506[/(-l)t/(0)Ml)tA2)RAl)=506X4+l=2025,故D正确.

k=1

12.(2022•全国乙卷)若/(x)=h，Q+9+b是奇函数，则a=,b=.

答案In2

2

解析方法一（奇函数定义域的对称性）

若。=0,则火刈的定义域为{x|xWl},不关于原点对称,

・・"0,

若奇函数/（x尸In,+占卜6有意义，

则冲1且叶占#0，

・，.xWl且xWlg,

・・・函数兀0为奇函数,定义域关于原点对称，

/.1+^=-1,解得4=J,

由/（0）=0得，1成+6=0,

・・・b=1n2.

方法二（函数的奇偶性求参）

〃、I.1“Ia-ax+l...ax-a-l\,,

/（x）=lna+—+b=\n+b=\n+>,

JL人JL人JL人I

•・•函数兀。为奇函数，

，/WM-x尸川岩留:26=0,

胃等Y,26=0,

・・.守限=2肝1=0=。=，，

-2Z>=ln7=-2ln2=>Z>=ln2,

«=-2»〃=ln2.

［总结提升］

1.一是要熟练掌握基本初等函数的国象与性质，二是准确识记函数图象变换的规律，三是掌握函数图象识

别的一些技巧，如利用图象的对称性、函数的符号等排除干扰项，从而得到正确选项.

2.函费的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通

过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

专题突破练

［分值：63分］

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2025・潍坊模拟）已知函数/（X尸管+懿贽）,=>0,则/（/（⑴）等于（）

A.OB.1

C.2D.3

答案D

解析因为-l<0,所以尺1尸(-1)2+(-1)=0,

所以用(・l))yo)=e°+ln1=1.

2.下列函数中，既是偶函数乂在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.尸f+xB.尸cosx

C.y=2xD.产唾2仅|

答案D

解析对于选项A,令人M-x)=x2-x壬及丫)，所以选项A不满足题意；

对于选项B,因为产cosx在区间(0,+8)上不单调，所以选项B不满足题意；

对于选项C,因为尸2、的图象不关于y轴对称，所以选项C不满足题意；

对于选项D,因为尸log2|x|的定义域为(-8,0)U(0,+8),关于原点对称，令〃(x)=log2bI，

则/?(-x)=log2|-x|=log2|x|=/?(x)，所以y=log2|x|为偶函数,

当x>。时，y=log2|x|=log2x,又)=lcg2X在区间(0,+8)上单调递噌，所以选项D满足题意.

3.(2025•厦n模拟)函数的图象大致为()

答案A

解析因为函数的定义域为R,排除C,D,又/(・x)=/(x),即/㈤为偶函数，图象关于y轴对

称，排除B

4.(2025,北京)已知函数/(x)的定义域为。，则“函数/(x)的值域为R”是“对任意MWR,存在死£。，使

得lAxo)|>M"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若函数火外的值域为R,则对任意M七R,一定存在为七。，使得人修尸|同|+1，

取Xo=X],则充分性成立；

取/(幻=2'Z)=R,则对任意A/£R,一定存在X]£。，使得/(为户|必+1,

取XO=X|,则但此时函数加)的值域为(0,+8),必要性不成立；

所以“函数人》)的值域为R”是“对任意MUR,存住xo亡D,使得|Axo)|>M”的充分不必要条件.

5.已知函数/(x)=sinx十上，则()

2>111A

A：/U)的最小值为2

B：斯)的图象关于y轴对称

C：/(x)的图象关于直线尸冗对称

DJ(x)的图象关于直线可对称

答案D

解析•当(一］,0)时，於)<0,

・・・加林〈0,故A错误；

^X.v)=sin.什白的定义域为

{x\x^kn,%£Z},

斤x尸可㈤飞后-sin、W

=企)，

・・・凡丫)为奇函数，图象关于原点对称，故B错误；

,.7(7i-x)=sinx-H^t

仆+x)=・sinx-高，

.\/(x)的图象不关于直线尸九对称，故C错误；

•・•_/&-x)=cosx七,

府+x)=cos七总

，点-%)=启+工)，

・・J(x)的图象关于直线后对称，故D正确.

22

6.(2022・新高考全国H卷)已知函数")的定义域为R,且仆之力皿丫-刃=/a次办小尸1,则Z欢)等于

〃二T

()

A.-3B.-2

C.OD.1

答案A

解析因为/(I尸1,

所以在/(xtv)W-^)=/WOO中，

令尸1,得/(A-+i)+/(x-i)=/uy(i),

所以e+i)t/a-i)=za),①

所以,"+2)+/U)=/U+l).②

由①②相加，得儿叶2)十几。1)=0,

故.(什3)+儿[尸0,所以人什3)=火)

所以/("6尸汉叶3)=/"),

所以函数/*)的一个周期为6.

在兀(.可)=/(x)/S)中，

令E产0,得火1)吠1月0M0)，

所以逃0尸2.

令尸产1,得X2)M0)=/(l)/(l)，

所以,火2尸-1.由凡什3尸如)，

得人3)=成0尸-2,{4)=41尸-1,

火5户42)=1,<6)=也3)=2,

所以义1)+/(2)+…+/(6尸1-1-2-1+1+2=0,

22

根据函数的周期性知，Sf[k)=J[1)+A2)+A3)+A4)=1-1-2-1=-3,故选A.

k=1

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

7.(2025•郴州模拟)已知函数/(、)={寓)>06,则下列结论正确的是()

A/W是奇函数

B段)是增函数

C.不等式/(x)>0的解集为(-8,0]U(l,+8)

D.若函数y=/(x)・4恰有两个零点，则实数。的取值范围为(0,1]

答案CD

解析/(X)的大致图象如图所示，

由图象可知，人工)的图象不关于原点对称，所以人幻不是奇函数，故A错误；

/(X)在定义域内不单调，故B错误；

若")>0,则xwo或*>1,即不等式yu)>o的解集为(-8,o]u(i,+8),故c正确;

令广小)-。=0，则7W=a，

原题意等价于产/(x)的图象与直线产。有2个交点，则O〈aWl,

所以。的取值范围为(0,1],故D正确.

8.欧拉函数是初等数论中的重要内容.对于一个正整数人欧拉函数以〃)表示小于〃且与〃互质的正整数的

数目.换句话说，。(〃)是所有不超过〃且与〃互素的数的总数.如：夕(5)=4,以14)=6.则以下是真命题的有

A.M〃）的定义域为N*,其值域也是N*

B©（〃）在其定义域上单调递增，无极值点

C.不存在〃o£N”,使得方程8（〃尸物有无数解

D.姒〃）,当且仅当〃是素数时等号成立

答案ACD

解析对于A,根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为N",其值域也是NJ故A正确；

对于B,欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如以5）=4,仪6）=2,故B错误；

对于C,由于w（〃）的值域为N*,所以不存在〃o，使方程9（〃）=〃（，有无数解，故C正确；

对于D,由欧拉函数的定义可知，9（〃）W〃-1,当且仅当〃是素数时等号成立，故D正确.

9.（2025•广州模拟）已知偶函数/（X）的定义域为R,为奇函数，且＜x）在［0,1］上单调递增，则下列

结论正确的是（）

A;/（-|）＜0B:/@＞0

cy（3）＜oD：/（等）＞0

答案BD

解析因为/（X）为偶函数，所以H-x）=/（x）;

因为;（—+1）是R上的奇函数，所以/⑴=0,

/（-1x+l）=X|x+l）,

所以4-x+l尸次什1），

即＜1出）=次1-入）

所以/+2）=火1+（1+灯）=汉1-（1+x））=：/（-x尸;危），所以.危+4尸八什2）=危）.所以函数,危）是周期函数，且周期为

4,

又/"）在［0,1］上单调递增，

所以在［0,1］上，有危）＜0.

所以函数的草图如图所示，由图可知,/（一3＞0,故A错；./（3＞0,故B对；,/（3）=0,故C错：

心豹=/（674+1）=/（4x168+2+1）

=/（2+1）＞0,故D对.

三、填空题（每小题5分，共15分）

10.（2023•全国甲卷）若./CXx-Djor+sinG+同为偶函数，则。=,

答案2

解析1)2+ax+sin(x+

=(x-1)2+ax+cosx=x2+(