2024-2025学年北京市某校七年级（下）期中数学试卷及答案解析

2024-2025学年北京市十一学校七年级（下）期中数学试卷

一、填空题：本题共20小题，每小题3分，共60分.

3.（3分）下列条件中能确定△力8C的形状与大小的有.

①44=3,8C=7,CA=\\,

②N/1=3O°,N4=7O",AC=3；

③N4=30°,AB=7,8C=ll：

④N4=30°,4B=14,BC=9.

4.（3分）如图，在UUNCQ中，E是3c边上一点，AB=AE,AD=DE,若N8=68°,则/COE的度数

为__________

5.（3分）如图，在△相。中，4c8=90“，将△4C8绕点C顺时针旋转70°,使点8的对应点。恰

好落在边力4上，得到△£1（?£）,则NEFC的度数为.

6.（3分）如图，Z/1+Z5+ZC+Z£>+Z£+ZF=度.

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AF

BE

D

7.（3分）如图，在中，AB=AC,直线E尸是"的垂直平分线，。是3C的中点，“是样上一个

动点，4ABC的面积为12,BC=4,则8W+DM的最小值为,|8M-。加）的最大值为

8.（3分）计算273-2V2+V17-12V2=

9.（3分）如图，在△48C中，E为/C的中点，平分/A4C,CD：DB=4：3,4D与BE交于点O,

已知△。力E的面积为7,则△48C的面积为

10.（3分）如图，已知：N84C的平分线与8。的垂直平分线相交于点。，DEVAB,DFLAC,垂足分别

为E,F,//=6,AC=4,则4E=

11.（3分）如图，在RtZ\48C中，。为斜边4c的中点，E为BD上一点、,/为CE中点.若AE=4D,

DF=2,则BD的长为

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12.（3分）如图，在正方形/16CD中，将线段绕点Z逆时针旋转a（0°<a<180°）得到线段/。,

连接CD'.若△力BC是等腰三角形，则。=

13.（3分）如图，在ZVl/C中，和N/1C3的平分线以八相交于点O,过点。作O例_L4c于点

M,则下列结论：①若N4=50°,则NBOC=115°；②;；；=二；；；③若OM=m,AB+BC+AC=n,

ECBC

贝USy8c=%〃：④平面内到三条直线48、/IC、8。距离相等的点有3个.正确的有.（只

填写序号）

14.（3分）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的

图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青

方是两个正方形.为便于叙述，将其绘成图2,若记朱方对应正方形GQ〃7的边长为小青方对应正方

形力8CQ的边长为从已知力-a=3,。2+〃2=29,则图2中的阴影部分面积为.

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H

图1图2

15.（3分）如图，在RtZ\48C中，ZACB=90a,CO_L48于点。，N历1C的平分线力尸交CO于点£,

交8c于点尸，CM_L4”于CM的延长线交力4于点N,下列四个结论：®AC=AN；（2）ZABC=

45°：③加〃8G④连接8M,若力C=8,BC=6,则旌/知=12,其中正确的结论有.

16.（3分）如图，AB工BC,ZACB=20a，/CBD=40°,AC=4,BD=2,则N4CO=

17.（3分）如图，将长方形纸片48CQ沿折叠（折线交力。于E,交BC于F）,点、C、。的对应

点分别是。，。1，上功交于G,再将四边形CiQiG产沿尸G折叠，点。、。|的对应点分别是。2、

。2，GD2交EF于H,若NFEG=32°,则NEFC2=

18.（3分）如图，在△力4C中，Z5JC=100°,48C=20°,以点4为圆心，适当长为半径作弧，分

别交氏4,BC于息E,F,再分别以点心产为圆心，大于gEF的长为半径作弧，两弧相交于点R作射

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线8R点。是射线8P上一点，连接力。，CD.若/BDC=50°,则NC4）=

19.（3分）如图，已知/BCD=90：/ADB=2NDBC,若40=2,则8。的长度为

20.（3分）如图，在等腰直角三角形"C中，ZBAC=90Q,点。，E分别是4C,力。上的动点，且AE

=CD,当/O+8石最小时，N/匹的大小是度.

二、解答题：本题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

a24-3a-4\/a2+2a+l

21.（6分）求代数式+的值.

a-12a2+2a

22.（6分）如图，BE工AC于E,CFL4B于F,CF、相交于点。，且BD=CD.求证：AB=AC.

23.（6分）如图，在△力8。中，ZACB=90°,。为8。边上一点，D4平分NCQE,^AB=AE,若CD

=2,BD=3,求£>£的长.

A

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24.（6分）如图所示，正方形48CD,DEFG,FHLK共顶点D、F,且七为。〃的中点，延长K尸至点P,

使得KF=FP,连接GP.

（1）请写出GP与E〃的数量关系与位置关系并说明理由.

（2）求证：。/〃4K且。『=

乙

25.（6分）已知：如图，Rt△力8C中，Z5JC=90°,延长8C到点。，使CD=BC,延长C4到点E,

使力E=2Oh连接/D,BE.求证：AD=BE.

26.（10分）如图，四边形48co中，AB>AD,CD>CB,£在线段8。上，且4E_L8。，ZBAC=ZDAE,

ZACB=ZACD.求证：BE+BC=DC+DE.

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2024-2025学年北京市十一学校七年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本题共20小题，每小题3分，共60分.

1.（3分）如图，ZAOB=\60Q,NDOB=90：若。。平分/4OC,则/CO8的大小为20°

【分析】利用角的和差倍分关系求得/力。。的度数，然后求差即可得到NCO4的大小.

【解答】解：NAOD=NAOB-NDOB,

4OB=160°，

NDOB=9Q°,

/.ZAOD=\GO°-90°=70°,

••,0。平分N/OC,

AZAOC=2ZAOD=JOaX2=140°,

AZCOB=ZAOB-ZAOC=\60°-140°=20°.

故答案为：20°.

【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和差倍分关系是解题的关键.

2&V6LLL

2.（3分）7^一^^=—-西+鱼—.

【分析】先进行分母有理化，然后再进行计算，即可解答.

2日V6

【解答】解：7T而一赤石

2疙（一+国）________-（2百一3疙）

一函一同）函+国）-（2&+34）（2乃一3七）

反十国,2>/18-3>/12

=----2—+-6—

=-V3—\/54-V2—V3

=-2V3-V54-V2,

故答案为：-2百一的+四.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关

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键.

3.（3分）下列条件中能确定△48C的形状与大小的有⑵.

①44=3,8c=7,CA=}\,

②/4=30°,ZZ?=70°,AC=3；

③/4=30°,AB=7,5C=11；

④4=30°,AB=\4,BC=9.

【分析】根据三角形的判定和性质进行判定即可求解.

【解答】解：①力8=3,BC=1,CA=\\,3+7V11,不能画出三角形；

②N4=30°,N4=70°,AC=3,根据“41S”能画出唯一的△48C；

③4=30",AB=7,8c=11,“SS/l”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的△/4C；

④乙4=30°,48=14,8c=9,“SS/”不能确定三角形的性质,即不能画出唯一的△/5C；

综上所述，能画出唯一的△4EC的有②，

故答案为：②.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

4.（3分）如图，在018。。中，E是BC边上一点,AB=AE,AD=DE,若N8=68°,则NCOE的度数

为24°.

【分析】根据题意等边对等角得出//EB=N8=68°,根据平行线的性质可得NO/E=N』EB=7（）°,

根据等边对等角以及三角形内角和定理可得//。石=40°,进而根据NCOE=N4）C-N/1QE,即可求

解.

【解答】解：•・•四边形48CZ）是平行四边形，

：,AB//CD,AD//BC,ZADC=ZB=6S°,

・・・/8+NA4Q=180°,//。。+/8力。=180°（两直线平行，同旁内角互补），

•:AB=AE,

:・NAEB=NB=68°,

•：AD//BC,

；・ND4E=N4EB=68°（两直线平行，同位角相等），

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•：AD=DE,

AZAED=ZDAE=6S°,

AZADE=\SO0-2X68°=44°,

ZCDE=ZADC-ZADE=6^-44°=24°,

故答案为：24°.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握平行四

边形的性质是本题解题关键.

5.（3分）如图，在△力8c中，ZJC5=90°,将△力。8绕点C顺时针旋转70°,使点8的对应点。恰

好落在边48上，得到△ECQ,则N£FC的度数为.

【分析】由旋转的性质可知，BC=CD,/B=/EDC,NA=NE,ZACE=ZBCD,NBCD=70°,

所以N8=N83C=55°,NACE=70°,由三角形内角和可得，N4=90°-N8=35°,所以NE=

35°,再由三角形内角和定理可知，ZEFC=\^°-ZECF-ZE=75°.

【解答】解：•••将〃绕点C顺时针旋转70°,使点〃的对应点力恰好落在边力8上，得至

:,BC=CD,/B=NEDC,NA=/E,NACE=NBCD,ZBCD=70°,

1ono_7f）。

：,LB=Z,BDC=2=55°,Z/4CE=7O°,

VZJC5=90°,

AZJ=90°-N8=35°,

・•・/£=35°,

AZEFC=1800-NECF-NE=75。.

故答案为：75：

【点评】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，正确进行计算是解题关健.

6.（3分）如图，N4+NB+NC+ND+NE+NF=360度.

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【分析】首先根据三角形外角的性质可知，这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和

即可求解.

【解答】解：设.AC与BE交点、为M,。尸与8E交点为M

♦：NA+NF+/BNF+NAMN=360°,

X+N8+/C+NZHNE+N尸=360°.

故答案为：360.

【点评】本题考查了三角形外角性质和四边形内角和定理，解题关键是利用三角形外角性质将所求的六

个角转化为四边形的四个内角.

7.（3分）如图，在△44。中，AB=AC,直线EF是/出的垂直平分线，。是4C的中点，M是火上一个

动点，△49C的面积为12,BC=4,则的最小值为6，区M-DW］的最大值为2.

【分析】连接“）,由二线合一及线段中点的定义可得力。I口仁/?D=1/?C=2.由二角形的面积公式

可得S△制7=*BCTD=*X4XAD=12,由此即可求出4D的长，由"直线加•是43的垂直平分线”

可得点B关于直线EF的对称点为点A,由“轴对称的性质一一最短路线问题”可知,力。的长即为4M+DW

的最小值；由三角形三边之间的关系可得4M-OMW8O=2,DM-BM=-（BM-DM）&BD=2,进

而可得-2W4A/-QMW2,由绝对值的意义可得I8M-OMW2,由此即可得出的最大值；综

上，即可得解.

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【解答】解：在△48。中，AB=AC,直线E尸是48的垂直平分线，。是8C的中点，如图，连接40,

iI

•S.ABC=•40=x4xAD-12,

.AD=6,

・直线EE是48的垂直平分线,

•点B关于直线EF的对称点为点4

•的长为BM+DM的最小值,

•8M+OM的最小值为6；

*BM-DMWBD=2,DM-BM=-(BM-DM)WBD=2,

・••-2WBM-DMW2,

・・・|8M-OMW2,

的最大值为2：

故答案为：6,2.

【点评】本题主要考查了轴而称-最短路线问题，绝对值，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，

等腰三角形的性质，找出点8关了直线所的对称点为点力以及熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是

解题的关键.

8.（3分）计算2」3-2&+J17-12&=1.

【分析】首选把被开方数写成一个式子的平方的形式，然后根据必=同，即可化简求值.

【解答】解：原式=21（或一1尸+J（3-2鱼尸

=2（或-1）+（3-2V2）

=2V2-2+3-2V2

=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，关键是被开方数写成一个式子的平方的形式.

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9.（3分）如图，在中，£为AC的中点，4。平分NA4C,CD：08=4：3,4。与8£交于点。,

已知△。力£的面积为7,则△.48。的面枳为35

【分析】根据角平分线的性质得到点。到/1C和/也的距离相等，则利用三角形面积公式得到Sa/co：S

△ABD=AC：AB,所以AC：AB=DC：DB=4：3,则4E：4B=2：3,从而得到S^OAB=AE：

71

AB=2：3,接着可求出片号，然后利用E为nC的中点得到SJ%=2SJ8E.

【解答】解：:力。平分N8/1C,

・•・点D到AC和AB的距离相等,

:'S&ACD：S^ABD=ACXAB,

"：SAACD：SdABD=DC：DB,

：.AC：AB=DC：DB=4：3,

•・,■为/C的中点,

：,AE：AB=2：3,

,：O点到AE和AB的距离相等，

**•S^OAE'S&OAB=AE：AB=2：3,

3321

••S^OAB=2^AO/1£=2x7=r，

•s_^21_35

••o^ABE-l-r=~2~f

•・•£•为AC的中点，

.35

S^ABC=2S^ABE=2x=35.

故答案为：35.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形面积.

10.（3分）如图，已知：NH4c的平分线与8c的垂直平分线相交于点。，DE1.AB,DFLAC,垂足分别

为E,F,AB=6,AC=4,则BE=1.

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c

G

AE3

【分析】首先连接CO,BD,由NH4c的平分线与8c的垂直平分线相交于点。，DELAB,DFLAC,

根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD,DF=DE,继而可得力产=力应易证得

RtACDF丝RtABDE,则可得8E=CF,继而求得答案.

【解答】解：连接。，BD,

•・1。是N84。的平分线，DEVAB,DFVAC,

:.DF=DE,NF=NDEB=90°,NADF=NADE,

：.AE=AF,

・・・OG是8c的垂直平分线，

:・CD=BD,

在RtACDF和RtABDE中，

（CD=BD

lDF=DE'

•••RtACDE/RtABDE（HL）,

:・BE=CF,

:,AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,

•:AB=6,AC=4,

:・BE=\.

故答案为：1

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

11.（3分）如图，在RtZ\4BC中，。为斜边4C的中点，E为BD上一点、,F为CE中点.若AE=AD,

DF=2,则BD的长为4.

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【分析】根据三角形中位线可以求得的K,再根据<E=/1O,可以得到71。的K,然后根据直角三

角形斜边上的中线的性质求得月。的长.

【解答】解：・・・。为斜边力。的中点，F为CE中点、,

・・・。/是△彳CE的中位线，

：,AE=2DF,

，：DF=2,

：,AE=4,

♦：AE=AD,

，力。=4,

在RtZ\/18C中，力为斜边力C的中点，

：.BD=^AC=AD=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查直角三角线斜边上的中线的性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是求出4。

的长.

12.（3分）如图，在正方形力4c。中，将线段45绕点4逆时针旋转a（0°<a<180°）得到线段47,

连接8。、CD'.若△QBC是等腰三角形，则。=30°或6。°或150。.

【分析】分。’8=8。或。8=8C或三种情形，分别画出图形，利用正方形和等腰三角形的

性质即可得出答案.

【解答】解：如图，

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D'

当。归=8C时，

•・•四边形/4CQ是正方形，

:・AB=BC=AD,

由旋转的性质得力。'=力。=48=8。=。9，ND4B=9（T,

・•・△48。是等边三角形，

；・NB4D=60°,

AZDJZ）'=150o,

即a=150°；

如图,当。归=8。时，

•・•四边形/BC。是正方形，

；・AB=BC=AD,

由旋转的性质得力。=%。=48=8。=。8',ZDAB=90°,

・•・△48。是等边三角形，

・・・/B4D占60°,

AZDAD'=30°,

即a=3（）°；

如图，当。归=77C时，连接D/7,

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B

・・・。在线段BC的垂直平分线上,

：.D'D=AD',

由旋转的性质得AD,=AD=DD\

・•・△40。是等边三角形，

，/。力力'=60°,

即4=60°,

当C0=8C=4O时，此种情况不存在，

综上所述，a的值为：30°或60°或150°,

故答案为：30°或60°或150°.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，运用分类思想是解题

的关键.

13.（3分）如图，在△N8C中，/44C和N/C4的平分线8E、CO相交于点O,过点。作O”_L4C于点

M,则下列结论：①若/4=50°,则/8OC=U5°；②二==；③若OM=〃?，AB+BC+AC=n,

ECBC

则&/品=热〃：④平面内到三条直线/4、力。、4。距离相等的点有3个.正确的有①②⑶.（只

填写序号）

【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理可以判断①正确；根据三角形的面积即可判断②正确;

过。点作于〃，OGJ_4C于G,根据角平分线的性质得OH=OG=OM=，〃，再利用三角形的

面积即可判断③正确；平面内到三条直线48、AC.8c距高相等的点有4个，其中三角形内部1个，

三角形外部有3个，进而可以判断④错误.

【解答】解：：/力台。和Z/1C6的平分线相交于点O,

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AZABO=ZOBC,NOCB=/OCA,

VZABC+ZACB=\SO°-ZJ,

/.2ZOBC+2ZOCB=1800-ZJ,

••・/O8C+NOC8=90°-1ZJ,

・・・/8OC=180°-(NO8C+NOC8)=180°-(90°-1zj)=90°+^ZA=900+25°=115°,

所以①正确；

•••8到力£、£C的距离相等,

.S^ABE_竺

S&BEC鼠

•:BE、C。平分/14c和/力。?，

・・・£到48、5C的距离相等,

,S&ABE_丝

S&BECBC,

AEAB〜—一A

•・77=G7，所以②正确；

过。点作■48于〃，OG_L/C于G,如图，

,/4BC和4CB的平分线相交于点O,OMtBC,

：.OG=OH,OG=OM,

：・OH=OG=OM=m,

即点。到△彳8c各边的距离楣等，

连接O/I,如图，

SAABC=SMB6S&BCO+S/、CAO=^OH*AB+#M・8C+^OG*AC=%](4B+BC+CA)=；〃〃?，所以③正确；

平面内到三条直线48、4?、8C距离相等的点有4个，分别是△/8c的内心和三个旁心，所以④错误.

・•・正确的有①②③，

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性

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质.

14.（3分）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的

图形，该图中的两个青入的三甬形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青

方是两个正方形.为便于叙述，将其绘成图2,若记朱方对应正方形GD"/的边长为〃，吉方对应正方

形48co的边长为6,已知6-4=3,/+房=29,则图2中的阴影部分面积为W.

【分析】根据题意可得/可以求出S»JC=S△QM，即可得到图2中的阴影部分面积为1

GDC^S2BCM,用。，b表示后计算即可.

图2

••・朱方对应正方形GDJH的边长为a,青方对应正方形ABCD的边长为b,

:・GD=GH=a,CD=BC=b,

•・•朱入与朱出的三角形全等，

:.△FNKm/\GHl,

:・FN=GH=a,

•・•两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，

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丝△心A，，△GFNm4CMB,

••SNJC=S&KAM，BM—FN=a»

，阴影部分面积为S四边形GDJ廿S汁SABCM

=S四边形GCmSaA/cFSaBCW

=SAGDC^S4BCM

=^GD-CD+^BM-BC

1,,1,

=々ab+2ab

=ab,

♦：b・a=3,/+后=29,

・5=3+旅）”-。）2=第=]0,

即阴影部分的面积为10,

故答案为：10.

【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题.

15.（3分）如图，在RtZUBC中，N4C8=90°,CD上AB于点D,/比1C的平分线4E交CO于点£

交BC于点、F,CW_L力厂于CM的延长线交月8于点M下列四个结论：®AC=ANx@ZABC=

45°：③EN〃BC；④连接8W,若力。=8,BC=6,则品4加=12,其中正确的结论有①⑶⑷.

【分析】由/4C8=90°,C7）_L48于点。，得N/lOC=N/IC8=90°,推导出N4CZ）=N/8C,因为

NCAF=NBAF,所以/CEF=/CAF+NACD=NBAF+/ABC=NCFE,则。£=C/，而CMJ_力/于

,W,则NOCN=N4CN,可证明N/CN=N4YC,则，。=<N,可判断①正确；因为是任意直角

三角形，所以N力4c不一定等于45°,可判断②错误；因为力“垂直平分CM所以EN=EC,则/

ENC=NDCN=NBCN,所以EN//BC,可判断③正确；连接QV,可证明凡得CF=NF,

N/NF=N/1CF=9（）°,因为力C=8,BC=6,所以44=10,由$△"（?=④x8b+④xION/=去x8X6,

求得CF=NF=*则S^ABF=AF=吗。,由S“CF=JX处等CM=x8x*求得CM=吗。,则

AM—所以:△力8M―空^_田,求得显皿讣/一磊Sy尸=12,可判断④正确，于是得到问题的答

5S&ARFAp10一1U

第19页（共35页）

案.

【解答】解：VZJC5=90°,CD上＜8于点D,

AZADC=ZACB=90°,

ZACD=/45c=90°-NBAC,

:力/平分NR4C,

:・NCAF=NBAF,

・•・ZCEF=NCAF+NACD=ZBAF+ZABC=ZCFE,

：.CE=CF,

•・・CA/_L力产于M,CM的延长线交月8于点M

/.ZDCN=ZBCN,

：.4ACN=NACD+NDCN=NABC+NBCN=/ANC,

:,AC=AN,

故①正确；

・•・△48。是任意直角三角形，

・・・N/BC不一定等于45°,

故②错误：

":AC=AN,AF1CN,

垂直平分CM

：、EN=EC,4MC=90°,

工ZENC=/DCN=4BCN,

:.EN〃BC、

故③正确；

连接FN,

在△，3和△/AT7中，

AC=AN

Z-CAF=乙NAF,

AF=AF

:,△ACF/4ANF(SAS),

:,CF=NF,NANF=NACF=90°,

:・NFLAB,

VZACB=90^,力C=8,3c=6,

第20页（共35页）

:・AB=7Ad+8c2=V82+62=10,

111

丁S/、ABC=SMC卢S/.ABL2X8CF4-2x10NF=讶x8义6,

o

:.CF=NF=V，

:.SyBLi-x10x2AF=\/AC24-CF2=Id24-(?)2=如

乙JJ、JJ

18

・・.CM=嘤

：,AM=7Ad-CM?=

12V10

•S/X/18A4_也_5_9

••豆嬴=京=蟠=而‘

•*•SAABM=而S△月60=YQx-2-=12»

故④正确，

故答案为：①③④.

【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、全等

三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长夏等知识与方法，推导出NCM=NCFE,

进而证明CE=CF是解题的关键.

16.（3分）如图，ABLBC,/ACB=20°,NCBD=40°,AC=4,BD=2,则N8CO=30°.

【分析】在《。上取一点E，使连接E。，得到N4C'8=NE〃C=20°,再由垂直得到//=

NEBA,推出CE=〃£=/1E=BO=2,再结合NEBD=NCBD+NEBC=60°得到aBOE是等边三角形，

则。£=8D=2=C£,NOE8=60°,由外角及等边对等角得到NECD=NEDC=50°,最后根据

第21页（共35页）

=ZECD-NEC8求解即可.

【解答】解：在4c上取一点£,使CE=BE,连接£Q,如图,

由条件可知NZC8=NE8C=20°,

・•・NAEB=/ACB+/EBC=40°,

*：ABLBC,

：.ZABC=90°,

AZACB+ZA=9（）°=NEBC+NEBA,

：.N4=NEB4,

:・BE=AE,

:,CE=BE=AE,

*：AC=4=AE+BE,

：.CE=BE=AE=2,

:,CE=BE=AE=BD=2,

VZCBD=40°,

:・NEBD=NCBD+NEBC=4D°+20°=60°,

•••△8OE是等边三角形，

:,DE=BD=2=CE,/DEB=60°,

AZJEZ）=600+40°=100°,ZECD=ZEDC,

由条件可得/£。。=/£。。=50°,

:・/BCD=NECDN£C4=50°20°=30°,

故答案为：30。.

【点评】本题考杳等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角与内角，熟练掌

握以上知识点是关键.

17.（3分）如图，将长方形纸片48co沿EF折叠（折线E/交4）于E,交BC于F）,点C、。的对应

点分别是Ci，Di,91交AC于G,再将四边形CIQIG/7沿/G折叠，点。、。|的对应点分别是Q、

。2，GD2交EF于H,若乙FEG=32°,则/月尸Q=84°.

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【分析】由折叠得，则NG产石=/产石力=32°，/DiGF=NGED=2NFED=64",

求得/6八72=6尸。［=180°-ZPiGF=116°,所以NEFC2=NGFC2-NGFE=84°,于是得到问题

的答案.

【解答】解：由折叠得N尸石。=/尸曰7=32°,

BC//AD,

:•/GFE=/FED=32°,ND、GF=NGED=2NFED=64,,

♦:FC\〃GD\,

；・NGFC2=GFCT=18O0-NQIG产=180°-64°=116°,

:,/EFC2=/GFC2-NGFE=116°-32°=84°,

故答案为：84。.

【点评】此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质等知识，推导出NG照=/在。=32°及NG“2

=GFCI=116°是解题的关键.

18.（3分）如图，在△力8C中，Z5JC=100°,ZABC=20°,以点8为圆心，适当长为半径作弧，分

别交从1,BC于点、E,F,再分别以点£,尸为圆心，大于;E尸的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射

线8P,点。是射线8尸上一点，连接力。，CD.若NBDC=50°,则NOO=40°.

【分析】如图，延长8c到以延长从1到K.过点。作。M_LBK于点M,QN1A7于点MDG1AC

于点G,证明DM=QG,推出力。平分NOK,求出NCK可得结论.

【解答】解：如图，延长8C到人延长84到K.过点。作DM_L8K于点M,DN1BJ干点、N,OG_L

第23页（共35页）

由作图可知8。平分/48C,

AZABD=ZCBD=^ABC=10°,

•：DM±BK,DN1BJ,

:・DM=DN,

VZDCJ=ZBDC+ZDBC=5^+10°=60°,Z/1CD=180°-100°-20°=60°,

・•・ZACD=ZDCJ,

■:DN1CJ,DGtCA,

:,DG=DN,

:・DG=DM,

・・・4。平分NC4K,

VZC^=180°-100°=80°,

：,ZCAD=^ZCAK=40°.

故答案为：40。.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题.

19.（3分）如图，己知力A=/C,NBCD=90°,NADB=2/DBC,若力力=2,则一6的长度为4.

【分析】延长以、CD交于点M延长QC至点M,使得CM=CQ,连接8W,由等边对等角可得N48C

=NACB,由N8CO=9()°可得N/C8+N/CO=90°,由直角三角形的两个锐角互余可得N/18C+N

AND=90°,进而可得/力。。=/力即，由等角对等边可得/C=4V,进而可得力4=力N,由线段之间

AN1

的和差关系可得8N=/8+4N=24V,于是可得二一=二，由N8CO=90°可得8C_LDW,再结合CM=

BN2

CD,于是可得8c是。”的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得8M=〃。，由三线合一可得/

DBC=/MBC,则NDBM=NDBC+NMBC=2NDBC,再结合N4Q8=2NO8C,于是可得/力。8=/

/WAN1

DBM,由内错角相等两直线平行可得力。〃8河，由此可证得△A"OS\N6M,于是可得力=荔=彳,

ZBMBN2

进而可得8M=240=4,然后根据8。=8M即可求出BD的长度.

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【解答】解：已知力8=力。，/8CZ）=90°,/ADB=2/DBC,AD=2,如图，延长版、CD交于点M

延长OC至点使得CW=C。，连接8”，

:,NABC=/ACB,ZACB+ZACD=90°,N4BC+N4ND=90°,

NABC=N/CB,

JZACD=ZAND,

：.AC=AN,

：.AB=AN,

VBN=AB+AN=2AN,

•AN__1

••__，

BN2

•：NBCD=900,

:.BCLDM,

又“M=CD,

••・8。是0M的垂直平分线，

:・BM=BD,

又,：BCLDM,

・•・/DBC=/MBC,

，/DBM=/DBC+NMBC=2/DBC,

又：NADB=2NDBC,

/.NADB=NDBM,

:•丛NADs丛NBM,

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,ADAN1

・,丽=丽=3

：.BM=2AD=2X2=4,

:.BD=BM=4,

BP：8。的长度为4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等

腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键.

20.（3分）如图，在等腰直角三角形力8C中，/BAC=90：点、D,E分别是8C,NC上的动点，且4E

=CD,当力O+8E最小时，N/E8的大小是67.5度.

【分析】过点。作。尺1_8。，KCF=AB,连接。凡AF,设4F交8c于点H,证明△CFQ和

全等得DF=BE,ZCDF=ZAEB,则力。+8£=4。+。£根据“两点之间线段最短“得/1D+QPW/4R

进而得当点4D,尸在同一条直线上时，力D+BE为最小,此时NCOb=NCH/=N/£?,然后根据N

力6=135°,CF=AB=AC,NCAF=NCFA=22.5°,则NCH/=67.5°,由此即可得出答案.

【解答】解：过点C作CTJ_3C,且。尸=48,连接OF,AF,设力厂交8C于点，，如图所示：

:・/FCD=NBAC=90°,

在△C77)和△48E中，

CF=AB

乙FCD=/.BAC=90°,

AE=CD

:ACFD@"BE(SAS),

:・DF=BE,/CDF=/AEB,

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：.AD^BE=AD\DF,

根据“两点之间线段最短“得：AD+DFWAF,

・•・当点4D,歹在同一条直线上时，〃为最小，即4H8E为最小,

当点/,D,尸在同一条直线上时，NCDF=NCHF=N4EB,

•••△力5。是等腰直角三角形，NB4C=90°,

：・NABC=NACB=45°,AB=AC,

VCF15C,

AZJCF=135°,

：.CF=AB=AC,

/.ZCJF=ZC/^=1(180°-NACF)=22.5°,

：・NCHF=NACB+NCAF=45°+22.5°=67.5°,

・•・当力〃+4上为最小时，/AE8=NCH*67.50.

故答案为：67.5.

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性

质，理解两点之间线段最短是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点.

二、解答题：本题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

1Q2+3Q—4Ja^+2a+l

21.（6分）当a=一行，求代数」弋'H--2in的值.

3+，7a-12a”+2a

【分析】根据分母有理化把a化简，根据分式的加法法则、二次根式的性质把原式化简，把”的值代入

计算得到答案.

13-413-47

【解答】解：a=―3+/7~(3+7)(3-⑺=2

则“+]=—汨2+1=与1>0,

J甲式一(aT)(a+4)a+1

夙八一a-1十2a(a+l)

=a+4+

=-等二反1

3,773用

=-2+T+4-2-T

=1.

【点评】本题考查的是分式的化简求值、二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键.

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22.（6分）如图，BELAC^E,CFL4B于F,CF、8E相交于点。，且BD=CD.求证：AB=AC.

【分析】由8£_L4C于£,CFUB于F,得NAEB=