2026年贵州省铜仁某中学九年级数学第一次学情诊断检测卷（试卷+解析）

九年级下学期第一次数学模拟测试卷

（时间：120分钟总分：150分）

一、选择题（每小题3分，共36分，每小题力、B、C、O四个选项中，只有一个选项正

确）

1.-2026的绝对值是（）

A.2026B.-2026----D.------

20262026

2.植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线.能解释这一现象的数学道理是

A,直线是向两个方向无限延伸的B.两点确定一条直线

C.经过一点有无数条直线D.两点之间，线段最短

冉3.卜.图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（）

4.2025年11月14H,中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新

方法，让锲铝原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅0.7纳米的超精细界面，一款具备“负

能界面”的新型M.（加）合金正式亮相.0.7纳米=0.0000000007米，这个数据用科学计数法表示为（）

A.0.7x10-9B.O.7xlO-10C.7x10^D.7xl0-,°

5.下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是()

A.2,3,4B.4,7,5C.6,7,8D.5,12,13

6.下列计算正确的是()

A.a+a=a2B.2(a+3)=2。+3

C.(6Z+3)2=a2+9D.(a+3)(a-3)=a2-9

7.学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图（黄、蓝、蓝、红、蓝、

红）.若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（）

黄

红w蓝

11\_

A.—B.-D.

236

8,下列从左到右的变形一定正确的是（）

anIaacaa2a+\_a

---=-B.-=—D.

5ab5bbe.广官~b7\~~b

9.如图，直线481|CQ,直线分别交力4,CD于点E,尸，点G在射线上，且EG=EF,

C.65°D.70°

10.设〃、人是一元二次方程2/一4工一5二0的两个根，则2/+5〃+8的值为（）

5

A.-3B.5C.3D.-

2

11.如图，在中，AB=6,40=4.以点力为圆心，。力的长为半径画弧，交力3于点已再

分别以点。，E为圆心，大于［Z）石的长为半径画弧，两弧交于点尸，作射线力/，交CO于点G,则CG

的长为（）

5

A.1B.72C.2D.

2

12.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形045的顶点力在V轴的正半轴上，双曲线>=幺（2>0）在

入

第一象限内的图象经过边的中点C.若。力=4,则左的值为（）

B.3百C.6D.4g

二、填空题（每小题4分，共16分）

13.因式分解：ah-a1=

14.一次函数y=+6的图象如图所示，则不等式米+6>0的解集是

15.2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥麟”“驰驰”“挎骋”四匹骏马.如图是马的小篆字体，将

其放在平面直角坐标系中，4,8两点的坐标分别为（2,1）,（-1,2）,则点。的坐标为

16.如图，在边长为4的正方形为8co中，对角线力C、80相交于点。.点E在线段上.连接

BE,作于点尸，交OB于点、P.给出下面四个结论：

①NOCP=NOBE、

②OE=OP：

③当CE=C8时，BP=EF；

④点A与点F之间的距离的最小直为26-2.

上述结论中，正确结论的序号有

D

三、解答题（共9小题，共98分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.解决下列问题：

（1）计算：|1一例+2cos45。一遍

⑵先化简：fl--2:2J再从（）、I、2中选一个合适的数代入求值.

Ix-1）厂—2x+l

18.如图2,小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100米的匀质木杆，用细绳绑在木杆

的中点。并将其吊起来.在中点。的左侧距离中点O为30cm处挂一个重10N的物体，在中点。的右侧用

一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态.改变弹簧秤与中点0的距离Z（单位：cm）,观察弹簧秤的示

图1

（1）表中々的值是；

（2）小明通过分析表格数据发现，用函数可以刻画尸与乙之间的关系，在如图1所表示的平面直角坐标

系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图像；

（3）根据以上数据与图像判断，当L增大时，R是增大还是减小？请说明理由.

19.2025年1（）月31日晚，神舟二十一号载人£船发射成功，某中学为了解本校学生对航天知识的了解情

况，对全校学生进行了航天知识测试（百分制），并对A、B两班学生的成绩进行统计分析，过程如下：

【收集数据】

A班学生的成绩：

78,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93,94,99,95：100,95,95,93,86,89.

B班学生的成绩：

81,82,83,85,87,96,87,92,94,95,87,93,95,92,97,88,82,90,85,89.

【分析数据】

班级平均数众数中位数方差

A9295a34.2

B89b88.524.4

根据以上信息，解决下列问题.

(1)填空：a=,b=；

(2)已知本次测试成绩在班级排名前50%的学生有机会参与学校举办的航天知识竞赛，A班的小宁同学

本次测试成绩为94分，请你判断她是否有机会参与航天知识竞赛；

(3)A班和B班都计划从甲、乙、丙、丁四个有关航天的科普视频中，随机选取一个给学生播放，请用

画树状图或列表的方法，求甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率.

20.如图，在V48C中，D、E分别是4c的中点，尸是延长线上的点，且EF=DE.

(1)求证：四边形3C五。是平行四边形；

(2)若△力"的面枳是7,求四边形5CFD的面积.

21.为迎接六安市第九中学建校50周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日

高唱凯歌归》采购道具包.现有两种道具包A(乐器+舞具)和8(戏服+头饰).已知每个8道具包的单

价比A道具包的单价高5元，且用1200元购买A道具包的数量是用650元购买B道具包数量的2倍.

(1)求力、8两种道具包的单价；

(2)在实际采购中，学校预算不超过6200元，计划购买力、S两种道具包共1()()个，且/道具包数量不

高于4道具包数量的3倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？(请用函数

知识解答)

22.【综合与实践】

烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情

况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.

如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头力航行，小组同学收集到以下信息:

码头A在灯塔B北偏西14。方向

位置信

14：30时，渔船航行至灯塔8北偏东53。方向的。处

息

15：0()时，渔船航行至灯塔8东北方向的。处

天气预受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头力附近海域将出现浓雾天气.请

警注意防范.

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)求渔船在航行过程中到灯塔8的最短距离；

(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头/(参考数据：

sin37°«0.60»cos37°«0.80,tan37°»0.75»sin14°«0.24,cos14°«0.97,tan14C«0.25).

23.如图，力3是。。的直径，。是延长线上的一点，点厂是鹰的中点，4。_1_。/于0,与。。

交于点石，连接力E,BF.

D

(1)写出一个与/相等的角：；

(2)求证：CO是。。的切线；

(3)若4C=8,3=12,求力上的长.

24.赵州桥的历史距今已有1400多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度

最大、保存最完整的单孔阳弧敞肩石拱桥，闵桥体全部用石料建成,，当地称作“大石桥”.如图，桥拱的拱

形看成二次函数，建立平面直角坐标，此时水面48的宽为36米，水面48离桥拱顶点。的高度18米.

（1）请你求出二次函数的表达式.

（2）春夏之季，河水上涨，汶河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14

米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点C的高度7米，游船是否能顺利

通过赵州桥，请计算说明.

（3）若桥拱经过两点E（〃?，必），/（〃?+2,%），桥拱在七，尸之间的部分为图象G（包括£,F两

点），图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为乙当，=2时，求〃，的值.

25.在矩形ABCD中，点E在边8c上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点4的对应点片恰好落在CD

上.

BECBECBEC

图1图2图3

（1）如图1,求证：CE=CD；

（2）连接加L作N8CQ的平分线交力产于点P,交EF于点、M.

①如图2,判断点P是否为线段//的中点，并说明理由；

②如图3,连接P8交AE于点M若DF=CF=l,求PN的长.

九年级下学期第一次数学模拟测试卷

（时间：120分钟总分：150分）

一、选择题（每小题3分，共36分，每小题力、B、C、O四个选项中，只有一个选项正

确）

1.-2026的绝对值是（）

1

A.2026B.-2026C.-------D.

20262026

【答案】A

【解析】

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可.

【详解】解：负数的绝对值等『它的相反数，且-2026<0,

|-2026|=2026.

2.植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线.能解释这现象的数学道理是

（）

A.直线是向两个方向无限延伸的B.两点确定一条直线

C.经过一点有无数条直线D.两点之间，线段最短

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳直线的基本性质，根据题十描述匹配对应的直线基本事实即可得到答案.

【详解】解：•・•两棵树的位置对应平面内两个点，确定两个点就能确定这条直线，

・•・能解释该现象的数学道理是两点确定一条直线，因此选B.

冉3.下图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（）

A.।P]।B.C.|_[_|D.R

【答案】D

【解析】

【详解】解：从该儿何体的左侧看，一共一列，高度为二，故D选项符合.

4.2025年11月14日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新

方法，让锲铝原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅0.7纳米的超精细界面，一款具备“负

能界面”的新型折（物）合金正式亮相.0.7纳米=0.0000000007米，这个数据用科学计数法表示为（）

A.0.7x10-9B.0.7x10-1°C.7X10-9D.7xlO~10

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是熟练应用知识点解题：科学记数法的表示

形式为"10〃，1二同＜10,〃为整数，据此表示即可.

【详解】解：••・0.0000000007=7x0.0000000001=7x10-10

•••故选：D.

5.下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（）

A.2,3,4B.4,7,5C.6,7,8D.5,12,13

【答案】D

【解析】

【分析】先找出每组边长中的最大边，再验证两条较短边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否

构成直角三角形.

【详解】解：A选项,22+32=13,4?=16,•••13。16,•..不能构成直角三角形.

B选项，42+52=41，7?=49，:41工49..不能构成直角三角形.

C选项，62+7=85，8?=64,•185。64,...不能构成直角三角形.

D选项，5?+12?=169，132=169，5?+12?=13?,•.・能陶成直角三角形.

6.下列计算正确的是（）

A.a+a=a2B.2（a+3）=2。+3

C.（tz+3）2=a2+9D,（〃+3）（"3）="_9

【答案】D

【解析】

【分析】根据整式运算的法则计算即可.

【详解】A、a+a=2a,计算错误，该选项不符合题意；

B、2（。+3）=2。+6,计算错误，该选项不符合题意;

C、伍+3）2=/+6。+9,计算错误，该选项不符合题意；

D、计算正确，该选项符合题意.

7.学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图（黄、蓝、蓝、红、蓝、

红）.若指针固定不动,转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（)

11_

B.-D.

36

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结具数，再根据

概率公式计算概率.

【详解】解：•・•转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2

个，

・••获奖的概率为：=

63

故选:B.

8.下列从左到右的变形一定正确的是（）

ab1aac7=%1a

A.-----=—B.­=—D.------二一

5ab5bbeb+\b

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

根据分式的基木性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的值不变，逐项判断即

可.

【详解】解：A、工=:，故该选项符合题意；

5ab5

B、当c=0口，手口故该选项不符合题意：

bbe

C、当4=2,6=3口，y=-,^-=-,故该选项不符合题意;

b3b?9bb2

D、当。=21=3口，==~工£故该选项不符合题意：

b+\4〃3〃+1b

故选：A.

9.如图，直线48IIC。，直线痔分别交43,CD于点E,尸，点G在射线尸。上，且EG=EF,

若乙4£尸=65。，则/在'G=()

A.35°B.50°C.65°D,70°

【答案】B

【解析】

【分析】先根据两直线平行，内错角相等可得NEFG的度数，再根据等边对等角可得/EGP的度数，最

后根据三角形的内角和定理即可求得NPEG的度数.

【详解】解：...4刚|。。，/AEF=65。,

AEFG=NAEF=65°,

EG=EF,

:"EGF=NEFG=65。,

:"FEG=180°-4EGF-ZEFG=50°.

10.设4、6是一元二次方程2/一41一5二0的两个根，则2a2+5a+。的值为()

5

A.-3B.5C.3D.-

2

【答案】C

【解析】

【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可.

【详解】解：・。是一元二次方程2/+4工-5=0的根，

••・2/+4。-5=0，整理得2/=5-4。，

将2a2=5-4a代入2a2+5a+Z>得:

原式=（5-4。）+5a+b=a+b+59

♦：a，b是方程2,/+4¥-5=0的两个根,

4

根据一元二次方程根与系数的关系，得a+〃=-]=-2,

二原式=-2+5=3.

11.如图，在口48co中，AB=6,AD=4.以点力为圆心，。力的长为半径画弧，交力B于点E,再

分别以点。，E为圆心，大于gDE的长为半径画弧，两弧交于点凡作射线力尸，交CD于意G,则CG

2

的长为（）

5

A.1B.C.2D.

2

【答案】C

【解析】

【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记平行四边形的性质

是解决问题的关键.依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，等腰三角形的判定，即可得到

DG=DA=4,再根据CG=C。一。G进行计算即可.

【详解】解：•.•四边形48CQ为平行四边形，

:.CD=AB=6,AB\\CD,

:ZBAG=NDGA,

根据作图可得力/平分N8/Q,

NBAG=/DAG,

ADAG=NDGA,

DG=D4=4,

:.CG=CD-DG=6-4=2.

12.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形。48的顶点/在y轴的正半轴上，双曲线y=A（%>0）在

第一象限内的图象经过边的中点C.若。4=4,则A的值为（）

y

丁

A.4B.3石C.6D.45/3

【答案】B

【解析】

【分析】如图，过C作轴于点。，由等边三角形的性质可得4?=04=4,/8/。=60。，即

得,4C=g/8=2,进而得到4Z)=g/C=l,CD=^AC2-AD2=73«再求出点C坐标即可求解

【详解】解：如图，过C作轴于点。，

•・•等边三角形。48的顶点4在N轴的正半轴上，0/=4,

・•・，48=04=4,ZBAO=60°,

•・・C是45边的中点,

：.AC=-AB=2,

2

在RtZX/C。中，NACD=90°-ZCAD=90°-60°=30°,

：.AD=-AC=\,

2

***CD=y)AC2-AD2=V22-l2=>/3»OD=OA-AD=4-\=3,

・・・C(0,3),

•・•点。在双曲线y=A上，

x

・・・£=VJX3=3』.

二、填空题(每小题4分，共16分)

13.因式分解：ab-a

【答案】a（b-a）

【解析】

【分析】直接提取公因式。分解因式即可.

【详解】解：ab-a2=a[b-aY

14.一次函数y=Ax+b的图象如图所示，则不等式米+6>0的解集是

【答案】x<-3

【解析】

【分析】结合函数图象求解即可.

【详解】解：根据函数图象可知，当x<—3时，^>0,

所以不等式kx+b>U的解集为x<-3.

15.2026年总台马年春晚吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋聘”四匹骏马.如图是马的小篆字体，将

其放在平面直角坐标系中，4,8两点的坐标分别为（2』），（-1,2）,则点C的坐标为

【答案】

【解析】

【分析】本题考查图形与坐标，用坐标确定位置.，掌握好相关知识是关键.

根据力，3两点的坐标建立平面直角坐标系，然后写出点C的且标即可.

【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，

・••点。的坐标为

故答案为：(0,-1).

16.如图，在边长为4的正方形为8c。中，对角线4C、8。相交于点。.点E在线段。力上.连接

BE,作CFLBE于点F,交。8于点尸.给出下面四个结论：

①/OCP=NOBE；

②OE=OP；

③当CE=C3时，BP=EF；

④点力与点尸之间的距离的最小道为2-2.

上述结论中，正确结论的序号有.

DC

【答案】①②④

【解析】

【分析】根据正方形的性质可得NCOP=90。=/4b尸，结合4CPO=/BPF,可得

NOCP=N()BE,故①符合题意：证明可得。尸=OE,故②符合题意：当

CE=CB时，CFtBE,可得EF=BF,ZBFP=90°,可得BP>BF=EF,故③不符合题意；如

图，取8c的中点R,连接力/,R/7,可得尸在以及为圆心，8c为直径的圆上，当共线时，

力?最小，再进一步可判断④.

【详解】解：•・•正方形48CQ,

:・AB=BC=CD=AD,NDAB=/ABC=/BCD=/ADC=90。，AC1BD,

OA=OB=OC=OD,

•・,CF1BE,

・•・/COP=9M=/BFP,

■:乙CPO=NBPF,

・•・ZOCP=NOBE,故①符合题意：

•；/COP=900=NBOE,OC=OB,

:・ACOPABOE,

・・・。尸=。£,故②符合题意；

当CE=C3时，CF1BE,

:・EF=BF,^BFP=90°,

:・BP>BF=EF,故③不符合题意；

如图，取8c的中点我,连接力RR/7,

•・,ZCF5=90°,

・•・/在以R为圆心，8C为直径的圆上,

当共线时，力/最小，

•：4B=BC=4,

:・RF=RB=2,

••AR=y]42+22=275»

・•・AF=2亚-2,

・•・点A与点F之间的距离的最小道为2遥-2.故④符合题意；

故答案为：①②④

本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，

等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关

键.

三、解答题(共9小题，共98分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.解决下列问题：

(1)计算：1—+2cos45°—+(万：

X2

(2)先化简：I1--i-U2~,再从0、1、2中选一个合适的数代入求值.

Vx-\)X--2X+1

【答案】(1)1

(2)x-1,-1

【解析】

【分析】(1)先计算绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负整数指数鼎，再计算乘法，最后

计算加减即可得出结果：

(2)括号内先通分，再将除法转化为乘法，最后选择合适的x的值，计算即可得出结果.

【小问1详解】

/1

解：卜—囱+2cos45。—通+匕

=V2-l+2x--272+2

2

=拒-1+&-2夜+2

=1：

【小问2详解】

解:(1--a"；?

、X-1yX—2x+1

_j-1-1x-2

=111)2

x-2(x-l)2

=x-1'x-2

=x-\,

「x-1工()，x-2工()，

••工1工2,

・••当x=0时，原式=0—1=-1.

18.如图2,小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100米的匀质木杆，用细绳绑在木杆

的中点。并将其吊起来.在中点。的左侧距离中点。为30cm处挂一个重10N的物体，在中点。的右侧用

一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态.改变弹簧秤与中点0的距离£（单位：cm）,观察弹簧秤的示

数/（单位：N）的变化情况.得出如下几组实验数据：

图1

（1）表中〃的值是;

（2）小明通过分析表格数据发现，用函数可以刻画尸与心之间的关系，在如图1所表示的平面直角坐标

系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图像；

（3）根据以上数据与图像判断，当L增大时，R是增大还是减小？请说明理由.

【答案】（1）12

（2）函数图象如图（3）当心增大时，/是减小，理由见解析

【解析】

【小问1详解】

解：由表格发现儿=300,

.•.当L=25时，25。=300,

解得。=12；

【小问2详解】

解：先根据表格描点，再依次连接各个点即可画出这个函数的图像：

【小问3详解】

解：根据以上数据与图像判断，当£增大时，月是减小，

理由：根据函数图象发现随着£值的增大，/对应的值越来越小：或由五£二300可得当L增大时，月是

减小.

19.2025年10月31日晚，神舟二十一号载人飞船发射成功，某中学为了解本校学生对航天知识的了解情

况，对全校学生进行了航天知识测试（百分制），并对A、B两班学生的成绩进行统计分析，过程如下：

【收集数据】

A班学生的成绩：

78,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93,94,99,95,100,95,95,93,86,89.

B班学生的成绩：

81,82,83,85,87,96,87,92,94,95,87,93,95,92,97,88,82,90,85,89.

【分析数据】

班级平均数众数中位数方差

A9295a34.2

B89b88.524.4

根据以上信息，解决下列问题.

（1）填空：",b=；

（2）已知本次测试成绩在班级排名前50%的学生有机会参与学校举办的航天知识竞赛，A班的小宁同学

本次测试成绩为94分，请你判断她是否有机会参与航天知识竞赛；

（3）A班和B班都计划从甲、乙、丙、丁四个有关航天的科普视频中，随机选取一个给学生潘放，请用

画树状图或列表的方法，求甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率.

【答案】（1）93.5,87

（2）她有机会参与航天知识竞赛

【解析】

【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可;

（2）由题意可得A班学生的成绩在前10名有机会参加，将A班学生的成绩按照从大到小排列为100,

100,99,98,97,95,95,95,94,94,93,93,90,89,89,87,86,85,83,78,其中94分位于第

9名和第10名，由此判断即可得出结果；

（3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.

【小问1详解】

解：将A班学生的成绩按照从小到大排列为:78,83,85,86,87,89,89,90,93,93,94,94,95,

93+94

95,95,97,98,99,100,100,处在中间位置的两个数为93,94,故中位数4二-------二93.5；

2

B班学生的成绩中87出现的次数最多，故6=87：

【小问2详解】

解：20x50%=10,

故A班学生的成绩在前10名有机会参加，

将A班学生的成绩按照从大到小排列为：100,100,99,98,97,95,95,95,94,94,93,93,90,

89,89,87,86,85,83,78,其中94分位于第9名和第10名，

故A班的小宁同学本次测试成绩为94分，她有机会参与航天知识竞赛；

【小问3详解】

解：列表可得：

\B

甲乙丙T

A

年（甲，甲）（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，乙）（乙，丙）（乙，丁）

庆（丙，甲）（丙，乙）（丙，丙）（丙，丁）

T（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）（丁，T）

由表格可得，共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两个视频恰好同时被播放的情况有2种,

1

故甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率为N

8-

16

20.如图，在V/18C•中，D、七分别是力8、4c的中点，尸是QE延长线上的点，且EF=DE.

（1）求证：四边形8CFD是平行四边形；

（2）若■的面积是7,求囚边形8CFD的面积.

【答案】（1）见解析（2）28

【解析】

【分析】（1）证明四边形NQC/7是平行四边形，可得4Q〃C/，AD=CF,即可求证；

（2）根据平行四边形的性质可得^^=54a0=5力防=7,即可求解.

【小问1详解】

证明：；点E是4C中点，

?.AE-CE.

又;DE=EF,

.•.匹边形力是平行四边形.

AD//CF,AD=CF.

•••点。是中点，

AD=BD,

:.BD=CF,BD//CF,

•••匹边形BCFD是平行四边形.

【小问2详解】

解：由（1）知四边形力。3是平行四边形，四边形6CF。是平行四边形，

-c-c-<?-7

••‘ACEF."dCED一°4AEF~'，

**•S^BCD=S4CFD=SMED+^CEF=7+7=14.

.■•平行四边形BCFD的面积是28.

21.为迎接六安市第九中学建校50周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日

高唱凯歌归》采购道具包.现有两种道具包A（乐器+舞具）和8（戏服+头饰）.已知每个8道具包的单

价比A道具包的单价高5元，且用1200元购买A道具包的数量是用650元购买B道具包数量的2倍.

（1）求月、3两种道具包的单价：

（2）在实际采购中，学校预算不超过6200元，计划购买力、5两种道具包共100个，且力道具包数量不

高于8道具包数量的3倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数

知识解答）

【答案】（1）力道具包的单价为60元，4道具包的单价为65元：

（2）购买4道具包75个，B道具包25个，总采购成本最低，最低成本是6125元.

【解析】

【分析】（1）设4道具包的单价为x元，则△道具包的单价为（工+5）元，用120（）元购买力道具包的数量

是用650元购买B道具包数量的2倍为相等关系列出方程求解即可

（2）设购买总成本为w元，购买力道具包。个，4道具包个，卬=/道具包的总采购价格+4道

具包的总采购价格，进而根据学校预算不超过6200元，4道具包数量不高于8道具包数量的3倍可得自变

量的取值范围，那么根据函数的增减性和自变量的取值范围可得最低采购成本.

【小问I详解】

解：设4道具包的单价为T元，则8道具包的单价为（x+5）元，

1200r650

-------=2x--------,

xx+5

解得：x=60,

经检验：x=60是原方程的解.

，x+5=65.

答：/道具包的单价为60元，4道具包的单价为65元；

【小问2详解】

解：设购买总成本为卬元，购买,4道具包。个，8道具包（100-。）个，

得：w=606/+65（100-67）=-5c?+6500,

••・M，随〃的增大而减小，

由题意得：|心3（100-。），

解得：60<4?<75,

••・当。=75时，w最小，卬最小=6125,

•・」00—〃=25.

答：购买4道具包75个，8道具包25个，总采购成本最低，最低成本是6125元.

22.【综合与实践】

烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往后只提供导航服务.为了解渔船海上作业情

况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.

如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头4航行，小组同学收集到以下信息:

码头4在灯塔8北偏西14。方向

位置信

14：30时，渔船航行至灯塔〃北偏东53。方向的C处

息

15：00时，渔船航行至灯塔3东北方向的。处

天气预受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头力附近海域将出现浓雾天气.请

警注意防范.

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）求渔船在航行过程中到灯塔8的最短距高;

（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头4（参考数据：

sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,sin14°«0.24,cos14°«0.97,tan14c®0.25）.

【答案】（1）渔船在航行过程中到灯塔8的最短距离为15海里

（2）不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头/

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；

（1）过点8作4c于点七.设=根据题意得出EC=£O+QC=x+5,解RsBCE,得

4

出EC=-x,建立方程，即可求解；

3

（2）求得力石的距离，计算力。的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解.

【小问1详解】

解：如图，过点8作8EJ.4C于点

设=

依题意，ZEBC=53°,/EBD=45。,CD=\0x-=5

2f

AZC=90°-ZE^C=37°,ED=x,

・'.EC=ED+DC=x+5»

BExx4

在RtABCE中，EC=-----«------=—x,

tanCtan37°0.753

4「

；・一x=x+5,

3

解得：x=15,

・•・洵船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里;

【小问2详解】

解：在RtZUBE中，^ABE=14°,BE=15,

/.AE=5Etanl4°«15x0.25=3.75,

・,・,4C=力E+OE+QC=15+3.75+5=23.75,

23.75+10=2.375小时=142.5分钟,

从14：30,经过142.5分钟是16:52:30,在17:30之前到达，

・•・不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头力.

23.如图，力8是。。的直径，。是延长线上的一点，点少是前的中点，力D工CF于D,与。。

交于点E,连接力/，BF.

D

(1)写出一个与/£4/相等的角：

(2)求证：CO是00的切线；

(3)若"。一8,CF-12,求以上的长.

【答案】(1)/FAB

(2)见解析(3)AE——-

13

【解析】

【分析】(1)根据点/是砺的中点，得出球=砺，进而由等弧所对的圆周角相等，即可求解.

(2)连接。尸，先根据直径所对的圆周角是直角得到必=90。.再根据等边对等角得到

ZCFB=AOFA,进而可得NCR。=90。，根据切线的判定可得结论；

(3)作OGJ_4。于G,则力£=2ZG.设。9=工，则O8=x,OC=8+x,在RtZ^C。77中，利用

勾股定理求得x值，则。b=5,OC=13,AC=\S.证明△CORsaCNQ,利用相似三角形的对应边

90

成比例得到力。二一，证明四边形OQG是矩形求得OG=Ob=5,进而求得4E即可求解.

13

【小问1详解】

解：,•,点E是前的中点，

•**EF=BF，

**•Z.EAF=NFAB；

【小问2详解】

证明：连接Ob,

•••48是0。的宜径，

：.NAFB=90°.

•：OF=OA,

."OAF=NOFA.

vZ.CFB=NCAF,

:"CFB=40FA,

ZCFB+4BF0=AGFA+ZBFO=AAFB=90°,

即/CTO=90°,

・••OFLCD,又0尸是。。的半径，

・••CQ为O。的切线：

D

F

【小问3详解】

C

o

在RtZXCO/7中，oc?=OF、CF，

.-.（8+X）2=X24-122.

解得x=5,

••.OF=5,0C=13,AC=\S.

VADLCF,

.-.Dn=90°,

:"CFO=ND,

：.0F〃AD,

.MCOFS©D.

OF_PC

,~AD~^C'

5「13

,,而一注

,3t

•:ZOFD=ZOGD=ZD=90°，

匹边形OQG是矩形,

：.DG=OF=5.

25

AG=AD-DG=——

13

：.AE=2AG=—

13

24.赵州桥的历史距今已有1400多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度

最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”.如图，桥拱的拱

形看成二次函数，建立平面直角坐标，此时水面4B的宽为36米，水面48离桥拱顶点C的高度18米.

(1)请你求出二次函数的表达式.

(2)春夏之季，河水上涨，汶河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船(水面上的部分近似的看成长14

米，宽4米，高2.5米的长方体)行驶在河面匕此时的水面离桥拱顶点。的高度7米，游船是否能顺利

通过赵州桥，请计算说明.

(3)若桥拱经过两点E(〃?，