九年级上册数学《圆中线段长度计算》专项练习题集

《圆中的求线段长度的相关计算》必考经典题型专项分类专题练习

（专题分类练习+详细解析）

题型一：垂径定理中的线段长度计算

1.如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在而上,且不与M,N重合,

当P点在冰上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值（）

A.逐渐变大B.逐渐变小

C.不变D.不能确定

2.如图,AB是00的直径,AB=6,0D_LAB,弧BC为30°,P是直径AB上的点，则

PD+PC的最小值是.

3.00过等边AABC的各个顶点，且AB=2,则00的半径为（）

A.1B.V3C.—D.今

32

4.如图，点A,N在半圆0上，四边形ABOC,DNM0均为矩形,BOa,MD=b,则a,b的关

系为（）

A.a>bB.a=bC.a<bD.aWb

5.已知,如图,00的弦AB,CD相交于点P,P0平分NAPD.求证:AB=CD.

题型二：和圆周角、圆心角相关的线段长度计算

1.如图，在00中，弦AC=2g,点B是圆上一点，且NABO45。，则00的半径

R二

2.如图所示，00的两条弦AB,CD交于点P,连接AC,BD,若SAACP:SADBP=16:9,则

AC:BD二

3.如图，小正方形的边长均为1,则N1的正切值为（）

A.-B.iC.iD.l

5432

4.如图，的半径为4,AABC是。0的内接三角形,连接OB,0C,若NBAC和N

BOC互补，则弦BC的长度为（）

A.3V3B.4V3C.5V3D.6V3

5.正方形ABCD的四个顶点都在上，点E是。0上的一点.

（1）如图①,若点E在如上，点F是DE上的一点,DF二BE.求证：ZXADF且ZiABE.

⑵在⑴的条件下，小明还发现线段DE,BE,AE之间满足等量关系:DE-BE;&AE.

请你说明理由.

⑶如图②,若点E在俞上.写出线段DE,BE,AE之间的等量关系.（不必证明）

题型三：和切线有关的线段长度计算

1.如图，一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为（）

A.32B.34C.36D.38

3.如图,RtAABC中，NACB=90°,AC=4,BO6,以斜边AB上的一点0为圆心所作的

半圆分别与AC,BC相切于点D,E.则AD为（）

A.2.5B.1.6C.1.5D.1

3.如图，小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB

处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E两点,经测量发现

AD和BE的长恰是方程X?-25x+150=0的两根（单位:cm）,则该自来水管的半径为

4.如图,已知:射线P0与。0交于A,B两点,PC,PD分别切00于点C,D.

（1）请写出两个不同类型的正确结论.

（2）若CD=12,tanZCPO^,求P0的长.

2

D

题型四：扇形、多边形中的线段长度计算

1.已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为()

A.1B.V3C.2D.2V3

2.粉笔是校园中最常见的必备品.现有一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50

支.如图是它的横截面;矩形ABCD),已知每支粉笔的直径为12mm,由此估算矩形

ABCD的周长约为mm.

3.如图，正方形ABCD内接于OO,M为筋的中点,连接BM,CM.

(1)求证：BM=CM.

(2)当。0的半径为2时,求丽I的长.

M

4.如图，已知等边AABC内接于O0,BD为。0内接正十二边形的一边,CD=5&cm,

求0（）的半径R.

《圆中的求线段长度的相关计算》必考经典题型专项分类专题练习

（专题分类练习+详细解析）（解析版）

题型一：垂径定理中的线段长度计算

1.如图，四边形PA0B是扇形0MN的内接矩形,顶点P在冰上,且不与M,N重合,

当P点在冰上移动时,矩形PA0B的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值（）

A.逐渐变大B.逐渐变小

C.不变D.不能确定

【解析】选C.连接0P,,・・在直角三角形PABAB2=PA2+PB2,

又「在矩形PAOB中，OP=AB,

.•.PA2+PB2=AB2=OP2.

2.如图,AB是00的直径,AB-6,OD_LAB,弧BC为30°,P是直径AB_L的点，则

PD+PC的最小值是.

【解析】作C点关于AB的对称点C',连接DC'交AB于P点，过I）点作直径DE,

连接EC',如图，

=靛'=30°,PC=PC/,

・・・DC'是PD+PC的最小值.

又•・,弧EC'的度数=90°-30°=60°,AZD=30°,

而DE=AB=6,在RtZ\DEC'中，EC'=-DE=3,

2

DC'=V3ECy=3V3.即PD+PC的最小值是373.

答案：3迎

3.。0过等边AABC的各个顶点，且AB=2,则00的半径为（）

A

A.1B.V3C.—D.-

32

(解析］选C.连接OB,OC,过点0作OD±BC于点D.

VAABC为等边三角形，

AAB=BC=AC,

AAB=BC=ffi,

・・.NB()C为120°.

又ODJ_BC,OB=OC,

AZC0D=60°，/COD=30。,CD=1BC=1,

rn

・•・cosNOCD上，

oc

.八八CD12%/3

■・0C=----------=-77=——.

coszOCDV33

2

4.如图，点A,N在半圆0上，四边形ABOC,DNMO均为矩形,BC=a,MD=b,则a,b的关

A.a>bB.a=bC.a<bD.a〈b

【解析】选B.连接0N,0A,如图,

・・•点A,N在半圆上,

AON=OA,

・・♦四边形ABOC,DNMO均为矩形，

AON=MD,OA=BC,

ABC=MD,即a=b.

5.己知，如图，00的弦AB,CD相交于点P,P0平分NAPD.求证:AB=CD.

【证明】过点。作OM.AB于点M,ON±CD于点N.

VPO平分NAPD,OM±AB,ON±CD..\OM=ON,

连接OA,0D,在RtAAOM中，AM=VOA2-OM2,

在RtADON中，DN=VOD2-ON2,

XV0A=0D,OM=ON,

.e.AM=DN,.\2AM=2DN,BPAB=CD.

题型二：和圆周角、圆心角相关的线段长度计算

1.如图，在。0中，弦AO2△点B是圆上一点，且NABC=45°,则。0的半径

R=

【解析】VZABC=45°,

・・・NAOC=90°,

V0A=0C=R,/.R2+R2=(2V3)2,解得R二遍.

答案:瓜

如图所示，的两条弦交于点连接若ACP则

2.00AB,CDP,AC,BD,SA:SADW.=16:9,

AC:BD二

【解析】由题干图可知NONB,NA=ND,

.,.△ACP<-ADBP,

•••ft第篇，即儒）J，AC：BD=4：3.

答案：4：3

3.如图，小正方形的边长均为1,则N1的正切值为（）

【解析】选D.如图，VZ1=Z2,AtanZl=tanZ2-.

2

4.如图，。0的半径为4,ZXABC是。0的内接三角形,连接OB,0C,若NBAC和N

BOC互补，则弦BC的长度为（）

A.3V3B.4V3C.5V3D.6V3

【解析】选B.过点0作0D1BC于点D,则BD=CD郎C.

VZBAC+ZB0C=180°，/BAC』NBOC,

2

AZB0C=120°,ZBAC=60°,ZB0D=60°.

在RtABOD中,BD=0Bsin60°=2V3,ABC=4V3.

5.正方形ABCD的四个顶点都在OO上,点E是00上的一点.

⑴如图①,若点E在如上，点F是DE上的一点，DF=BE.求证：z\ADF^4ABE.

⑵在⑴的条件下，小明还发现线段DE,BE,AE之间满足等量关系:DE-BE=&AE.

请你说明理由.

⑶如图②,若点E在俞上.写出线段DE,BE,AE之间的等量关系.（不必证明）

【解析】（1）在正方形ABCD中,AB=AD.

VZ1和/2所对的弧都是@・・・N1=N2,

(AD=AB,

在aADF和aABE中，/I=42,

(DF=BE,

.,.△ADF^AABE(SAS).

⑵由(1)得AADF也△ABE,

・・・AF=AE,N3=N4.

在正方形ABCD中,/BAD=90°,

AZBAF+Z3=90°,AZBAF+Z4=90°,

・・・/EAF=90°..・.AEAF是等腰直角二角形.

AEF2=AE2+AF2,/.EF2=2AE2.

AEF=V2AE.

VDE-DF=EF,

.\DE-BE=V2AE.

(3)BE-DE=V2AE.

题型三：和切线有关的线段长度计算

1.如图,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为（）

A.32B.34C.36D.38

【解析】选B.如图,根据切线长定理可知,

GC

D

H

AB

E

AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH.

所以AE+DG=AH+DH=AD,BE+CG=BF+CF=BC,

所以AB+BC+CD+DA=AE+BE+BC+CG+DG+DA=2AD+2BC=2X7+2X10=34.

3.如图,RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点0为圆心所作的

半圆分别与AC,BC相切于点D,E.则AD为（）

A.2.5B.1.6C.1.5D.1

【解析】选B.连接0D,OE,OC,设OD=r,

VAC,BC切00于D,E,

.-.Z0DC=Z0EC=90°,OD=OE,

•SAAOC+SABOC~SAABC>

即10D・AC+iOE•BC=1BC・AC,

ir-4+lr-6=ix6X4,

222

r=2.4,AD=AC-r=l.6.

3.如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观,准备用木板从AB

处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E两点,经测量发现

AD和BE的长恰是方程X2-25X+150=0的两根（单位:cm）,则该自来水管的半径为

cm.

【解析】连接OD,OE.

解方程x-25x+150=0,得x尸10,X2=15,

・••设AD=10,BE=15,半径为r,

AAB=AD+BE=25,

A(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,

即(10+r)2+(15+r)2=252,解得:r=5.

答案：5

4.如图,己知:射线P0与00交于A,B两点,PC,PD分别切OO于点C,D.

(1)请写出两个不同类型的正确结论.

⑵若CD=12,tanZCP0=1,求P0的长.

【解析】(1)不同类型的正确结论有：

①POPD,②NCP0=NDP0,③CD_LBA,④NCEP=90°,⑤PC?二PA・PB.

⑵连接0C,

•・・PC,PD分别切00于点C,D

APC=PD,ZCP0=ZDPA,ACD±AB,

VCD=12,.e.DE=CE=1CD=6.

•••tanNCPOJ,,••在RtAEPC中，PE=12,

2

・•・由勾股定理得CP=675,

・・・PC切OO于点c,

/.Z0CP=90°.

在RtAOPC+,VtanZCPO=i

:•号I，・・.OC=3倔

.-.OP=VOC2+PC2=15.

题型四：扇形、多边形中的线段长度计算

1.已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为（）

A.1B.V3C.2D.2V3

【解析】选B.如图，

由正六边形的性质知,三角形AOB为等边三角形,所以,0A=0B三AB=2,AO1,由勾股

定理,得内切圆半径0C二

2.粉笔是校园中最常见的必备品.现有一盒刚打开的六角形粉笔,总支数为50

支.如图是它的横截面:矩形ABCD）,已知每支粉笔的直径为12mm,由此估算矩形

ABCD的周长约为mm.

【解析】作B'M'IICD',C'M'_LB'W于点M'.

CD,

粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.

V