【核心素养】小学数学四年级上册知识清单-用“四舍”法试商

【核心素养】小学数学四年级上册知识清单——用“四舍”法试商一、课程标准与核心素养定位【基础】【重要】本知识点属于“数与代数”领域，是整数除法计算的进阶内容。课程标准要求学生能在真实情境中理解除数是两位数的除法的意义，掌握必要的运算技能，并能运用所学知识解决简单的实际问题。本知识清单旨在通过系统梳理，帮助学生达成以下核心素养目标：（一）数学眼光：能够在具体情境中，敏锐地发现并提出与除法相关的问题，理解除法运算的现实意义，如平均分、包含除等。能够从数量关系中抽象出除法算式，体会数学模型的力量。（二）数学思维：深刻理解除法运算的本质是“连续减去相同减数”的简便运算。在试商过程中，能够运用“四舍五入”等方法将除数看作整十数，进行合理的估算与调整，发展学生的推理意识、运算能力和数感。通过分析“商为什么会偏大”，形成严密的逻辑思维习惯。（三）数学语言：能够准确、流畅地表达试商的过程与方法，例如“因为除数19接近20，把它看作20来试商，20乘4等于80，小于84，所以商4合适”。能够运用数学术语（如“除数”、“被除数”、“商”、“余数”、“试商”、“调商”）进行交流与辨析。（四）数学品格：在不断的试商、调商过程中，培养耐心、细致、严谨的学习态度和克服困难的意志品质。在解决实际问题的过程中，感受数学的实用价值，增强学习数学的兴趣和自信心。二、除数是两位数的除法知识体系概览【基础】在深入学习“用‘四舍’法试商”之前，我们必须对除数是两位数的除法有一个整体的认识，它是本单元的核心内容，也是后续学习的基础。（一）运算意义：除数是两位数的除法，就是已知两个因数的积（被除数）与其中一个因数（除数），求另一个因数（商）的运算。它包含了“平均分”和“包含除”两种基本模型。（二）计算方法总原则：除数是两位数的除法，计算时要遵循“一看、二试、三乘、四减、五比、六落”的步骤。看被除数的前几位（通常是前两位），用“四舍五入”法把除数看作整十数来试商，用试出的商乘原来的除数，乘积不能大于被除数，每一步的余数必须比除数小。（三）与本知识点的关联：【核心概念】“用‘四舍’法试商”是“把除数看作整十数试商”策略中的一种重要且基础的情况。它特指当除数的个位上是1、2、3、4时，我们运用“四舍”的方法，去掉除数的个位数，将其看作一个比它本身小的整十数来进行的试商。理解并掌握这一方法，是精准、快速计算的关键一步。三、用“四舍”法试商：概念、原理与方法精讲【核心概念】【非常重要】用“四舍”法试商，是指在计算除数是两位数的除法时，如果除数的个位上是1、2、3、4，我们就将这个除数个位及后面的数字舍去，把它看作和它最接近的、且比它本身小的整十数来进行的试商。例如，计算84÷21，我们就把21看作20来试商。（一）为什么要“四舍”看作整十数？1.简化思考：直接思考“21乘几等于84”对于初学者或复杂计算来说比较困难。而将21看作20后，问题就转化为“20乘几等于84”，这大大降低了思维的难度，因为20是整十数，乘法口诀可以直接应用。2.提高试商速度：通过将除数转化为整十数，我们可以快速利用乘法口诀进行估算，迅速锁定一个可能的商，从而提高整个除法的计算效率。（二）“四舍”法试商的原理剖析：1.估小除数：当我们用“四舍”法将除数看作一个比它本身小的整十数时（如将21看作20），实际上我们是用一个“变小了”的除数去试商。2.初次试商偏大的必然性：【难点】由于我们用来试商的“除数”比实际的除数小，那么用这个变小的除数试出的商，往往就会偏大或刚好合适。为什么会这样？因为被除数不变，除数变小了，商就会变大。比如，84÷20，商4（因为4×20=80）；如果试商5，5×20=100，超过了84。这里我们试的是4。但用实际除数21去乘4，4×21=84，刚好合适。但如果被除数是85，用20试商还是4，4×21=84，余1，商4就是正确的。如果被除数是86，用20试商还是4，4×21=84，余2，商4也是正确的。但如果被除数是89，用20试商还是4，4×21=84，余5，商4也正确。只有当被除数更大时，比如91÷21，用20试商4，4×21=84，余7，商4正确。如果用20试商5，5×20=100≤91？100>91，所以不会试商5。可见，用四舍法试商，初次试出的商，通常就是正确的商，但存在偏大的风险。当被除数足够大时，比如83÷19（这里19看作20，是五入法），情况会不同。在“四舍”法语境下，我们必须清晰地认识到：因为除数被看小了，所以试商时要提防它可能偏大。（三）“四舍”法试商的标准步骤（以算式154÷31为例）：1.定位与观察：先看被除数的前两位“15”，小于除数31，所以要看前三位。确定商是一位数。观察除数31，个位是1，符合“四舍”的条件。2.转化与试商：把除数31个位上的“1”舍去，看作整十数30。想：30乘几最接近154？因为30×5=150，30×6=180（180>154，太大了），所以初次试商5。3.验证与调整：用试出的商5，去乘原来的除数31。计算：31×5=155。4.比较与判断：【关键步骤】将乘积155与被除数154进行比较。155>154，说明商5偏大了！5.调商：既然商5偏大，就需要把商调小1，改为4。6.再验证：用调整后的商4，再次乘原来的除数31。计算：31×4=124。7.最终比较：124<154，然后用被除数154减去124，得到余数30。8.检查余数：余数30必须小于除数31。30<31，计算正确。9.写出结果：154÷31=4……30（四）易错点深度剖析与对策：【易错】【高频考点】1.【易错点一】忽略“舍去”后的试商结果需要与实际除数验证。○错误表现：看到除数个位是4，直接看作整十数，用整十数试出商后，就认为商是最终结果，不再用原除数相乘验证。例如计算92÷22，把22看作20，20×4=80，20×5=100（太大），所以试商4，就不再验证，直接认为商4，导致漏掉验证环节。○对策：将验证步骤内化为一种程序性记忆。试商后，必须用“商×原除数”，这是计算的铁律，不能省略。2.【易错点二】当商偏大时，不知如何调整或调整方向错误。○错误表现：在154÷31的例子中，试商5，发现31×5=155>154，有些学生会把商调大，改成6，导致错误更大。或者不知道调大还是调小，随意尝试。○对策：建立清晰的逻辑关联。用“四舍”法，除数看小了，商容易偏大。因此，当发现乘积大于被除数时，要立刻意识到“商大了”，必须“调小”。可以记忆口诀：“四舍商易大，调小是正解”。3.【易错点三】乘法口诀不熟练，导致试商错误或调商过程计算错误。○错误表现：在计算31×5时，可能误算为150（漏了进位），导致误判商5合适。或者在计算31×4时，算成124，但减法时又出错。○对策：基础不牢，地动山摇。必须夯实乘法口诀和两位数乘一位数的乘法计算能力。建议在计算除法前，可以先快速默算或口算相关乘法。4.【易错点四】忽略了余数要比除数小。○错误表现：计算出结果后，忘记比较余数和除数的大小，或者虽然比较了，但忽视了余数等于或大于除数意味着商小了，需要继续调大。○对策：将“余数<除数”作为除法计算的最后一道“安检门”，必须严格执行。每次得出余数后，都要下意识地问自己：“余数比除数小吗？”四、核心题型与考点深度解析【高频考点】【非常重要】本知识点的考查形式多样，但万变不离其宗，主要围绕试商、调商的过程和应用展开。（一）基础计算题（直接写出或列竖式计算）：1.题型示例：列竖式计算92÷23，185÷42，274÷31。2.考查方式：直接考查学生对“四舍”法试商、乘、减、比、落等完整计算过程的掌握情况。3.解题步骤（以274÷31为例）：○第一步：看除数31，个位是1，用“四舍”法看作30。○第二步：看被除数前两位27小于31，看前三位274。想30×9=270，30×9=270，30×10=300太大，试商9。○第三步：31×9，口算31×9=279（或列竖式笔算）。○第四步：比较279与274，279>274，说明商9偏大，调商为8。○第五步：31×8=248。○第六步：=26。○第七步：比较余数26与除数31，26<31，计算正确。○第八步：写出答案274÷31=8……26。4.易错警示：注意乘加的准确性，以及调商后的计算。（二）判断题与改错题：1.题型示例：判断下面的计算是否正确，若不正确请改正。题目给出一个竖式，可能错误地用了试商而未调整。2.考查方式：考察学生对试商原理的理解深度，以及发现错误和纠正错误的能力。3.解题要点：○第一步：先按自己的方法重新计算一遍，看结果是否一致。○第二步：分析错误原因。例如，是否没有验证直接用试商结果？是否调商方向反了？○第三步：如果是改错题，必须在原竖式上正确修改，或旁边重新列一个正确的竖式。（三）选择题：1.题型示例1：计算154÷32时，可以把32看作（）来试商。A.30B.40C.35D.50【解析】考查对“四舍”法概念的直接理解。32个位是2，应舍去看作30。选A。2.题型示例2：在计算246÷42时，把42看作40试商6，发现42×6=252，比246大，这说明（）。A.商6合适B.商6偏大，要调小C.商6偏小，要调大D.无法确定【解析】考查对试商后判断的推理能力。乘积大于被除数，说明商大了，要调小。选B。（四）填空题：1.题型示例：在算式□24÷32中，如果商是一位数，□里最大填（）；如果商是两位数，□里最小填（）。【解析】这是将除法知识与数位知识结合的考题。商是一位数，说明被除数前两位小于除数，即□2<32，□里可以填1、2，最大填2。商是两位数，说明被除数前两位大于等于除数，即□2≥32，□里可以填3、4、5、6、7、8、9，最小填3。这类题需要学生不仅会计算，更要理解除法的算理。（五）解决问题（应用题）：1.题型示例：王老师带了240元钱去买笔记本。每本笔记本的售价是31元。王老师最多可以买多少本笔记本？还剩多少钱？2.考查方式：将除法计算应用于“购物”、“租船”、“装车”等“包含除”的实际问题中，考查学生解决实际问题的能力，尤其要关注结果中“最多”、“至少”等词语的含义。3.解题步骤：○第一步：分析题意，列出算式。240÷31。○第二步：计算。把31看作30试商。30×8=240，但31×8=248>240，说明商8大了，调商为7。31×7=217。=23。23<31。○第三步：结合题意，写出答案。因为217<240，所以可以买7本。剩23元。○第四步：口答。答：王老师最多可以买7本笔记本，还剩23元。4.【拓展考向】“进一法”与“去尾法”：○如果问题是“每辆车限乘32人，有154人需要租几辆车？”计算154÷32，商4余26，这时需要“进一”，租5辆车，因为剩下的26人也需要一辆车。○如果问题是“一卷彩带长154米，做一个中国结需要32米，最多可以做几个？”计算154÷32，商4余26，这时要用“去尾法”，只能做4个，因为剩下的26米不够再做1个。○在解决问题时，必须引导学生根据生活实际灵活处理余数。五、思维拓展与跨学科视野（一）与估算的深度融合：【重要】用“四舍”法试商本身就是一种精确化的估算。我们可以将试商过程看作是一个“先估后算”的过程。引导学生思考：我们估的商（用整十数试的）和实际商之间有什么关系？为什么有时估得准，有时要调？这能很好地发展学生的估算意识和数感。在实际生活中，如购物时快速计算总价、预算开支，都离不开这种估算能力。（二）与代数思想的初步渗透：1.引导问题：在算式A÷31=8……26中，A是多少？2.分析：根据除法各部分的关系，被除数=商×除数+余数。即A=8×31+26。这实际上是一个简单的代数式求解。通过这样的练习，可以为后续学习用字母表示数和解方程打下基础。（三）与信息科技的简单整合：1.引导学生思考：计算机或计算器是如何计算除法的？虽然它们的内部机制是二进制，但其核心算法同样依赖于“试商比较调整”的迭代过程。可以让学生尝试设计一个简单的流程图来描述用“四舍”法试商的步骤，培养逻辑思维。2.如果条件允许，可以利用Excel软件，输入被除数和除数，观察软件自动计算结果的过程，感受计算的自动化，并验证自己的手工计算结果。（四）与数学文化的链接：1.向学生介绍我国古代的“筹算”和“口诀”，其中也包含了类似的试商思想。古人用算筹进行计算时，也是通过不断地尝试和调整来求得商。这让学生感受到数学文化的源远流长，增强民族自豪感。六、整理与反思（学生自我评价清单）学完本知识点，请你反思以下问题，在□里打√：【基础概念】□我是否清楚地知道什么时候该用“四舍”法来试商？（除数的个位是1、2、3、4时）□我能否准确地解释为什么要把除数看作整十数？（为了计算简便，快速试商）【核心过程】□我能否独立、准确地按照“看、试、乘、比、调、写”的步骤完成竖式计算？□我是否理解“用‘四舍’法试商，商可能偏大”的道理？并且知道偏大后该如何调整？（调小）□在计算中，我是否记得每一步的余数都要和除数比较大小？是否确保余数小于除数？【常见错误预防】□我是否在用整十数试出商后，一定记得用原除数去乘一遍来验证？□当我发现乘积大于被除数时，我能立刻反应过来是商大了，并且会把它调小1或2吗？□我是否在计算乘法（尤其是进位乘法）和减法时足够细心，避免粗心错误？【综合应用】□我能用今天学的知识，正确解答“购物”、“租船”等实际问题吗？□我能根据实际情境，正确判断商是否需要加“1”，或者是否需要舍去余数吗？七、综合练习题与典型例题解析【A组：基础巩固】1.填空：计算93÷32时，把32看作（）试商，商是（）。2.填空：在算式146÷21中，试商时把21看作（），初商可能是（），用原除数乘得的积是（），比被除数（），说明商（）了，要改商（）。3.列竖式计算。85÷2197÷32168÷42264÷534.下面的计算对吗？把不对的改正过来。（竖式略，可设计成：如127÷31，竖式中试商4，但4×31=124，余3，正确；或者试商5，5×31=155>127，错误，应改为4）【B组：能力提升】1.在下面的□里填上合适的数。（1）42×□<210，□里最大能填（）。（2）53×□<300，□里最大能填（）。2.学校买了123盆花，布置会场用了32盆，剩下的花准备平均分给23个班级，每个班能分到几盆？还剩几盆？3.一辆卡车一次可以运走44箱货物。现在有290箱货物，需要运几次才能运完？【C组：思维挑战】1.小马虎在计算一道除法题时，把除数32看成了23，结果得到的商是8，余数是12。正确的商和余数应该是多少？【解析】这是一道逆推题。先根据错误算式求出被除数：被除数=23×8+12=184+12=196。再用正确的除数32去除：196÷32，把32看作30试商，30×6=180，32×6=192，=4，余4小于32。所以正确的商是6，余数是4。2.在算式4□8÷43中，要使商是一位数，□里最大可以填（）；要使商的个位是0，□里可以填（）。【解析】商是一位数，则被除数前两位4□<43，所以4□可以是40、41、42，□里最大填2。要使商的个位是0，意味着被除数前两位4□除以43，商只能是1或0（这里只能是1），因为如果商2，2×43=86，被除数前两位至少是86，不可能。所以商是1，那么被除数前两位减去除数的积后，剩下的后一位要小于除数，即（4□43）后余下的数乘以10加8，这个新数小于43。即设4□43=A，A必须为0，因为如果A是1，则18<43，商0；如果A是2，28<43，商0；但A最大只能是多少？当□=3时，4343=0，后面是08即8<43，商1得10？不对，这样商是10？不对，商是一位数。我们分析：要使商的个位是0，即商是