平面向量的综合应用 主观题8种重难点题型（解析版）

平面向量的综合应用主观题8种重难点题型

题型归纳

题型一:平面向量共线定理及其应用

题型二:平面向最基本定理的应用

题型三:平面向量数量积的运算

题型0:平面向量的叁直问题

题型五:平面向量的模是问题

题型六:平面向量的昊角问题

题型七:平面向量与三角函数的修合

题型八:平面向量的新定义题

题型专练

题型一，平面向,共线定理及其应用

1.设苴苞是两个不共线的向量，已知彳江=茸-4芭，丽=琶+3£,历=2周一最.

⑴求证：A3,。三点共线；

⑵若说=3有一成且加〃防,求实数E的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）k=12

【分析】⑴由已知可得荏=舒，又荏与舒有公共点已即可证明；

（2）由已知可设方=』反5（1£阳，根据茸，苞是两个不共线的向量，即可求解.

【解析】（1）由已知得BD—CD—CB—（2百—百）—（J十3百）一百—4芭，

因为用二翦一4苞，所以荏=反5,

又彳江与后万有公共点8,

所以AB。三点共线；

（2）由（1）知赤=盾一4£，若说=3居一上最,且巨声〃丽，

可设Z?芹=3所5（16R）,

所以3■—fcS=A（e；-4S）,

即（3—4）ei=（fc-4/l）e-2,

又局，最是两个不共线的向量，所以《一《：。…

解得k—12.

2.已知向量4=（―l,2）,b=（；,―

4*

（1）求|a+4ft|；

⑵若足+4日与日-嘉平行,求实数2的值

【答案】⑴反⑵-1

【分析】(1)根据题意，求得(1,1),结合向量的模的坐标运算公式，即可求解；

⑵根据题意，求得力-45=(-3,3)且掂+弟=(T+2,21-1),根据向量共线的坐标表示，列出方程,

即可求解.

【解析】⑴由向量4=(-1,2),不=(■|■,一■|■),可得五+宓=(—l,2)+4(■|■,—■|■)=(1,1),

所以|日+4同=Vl2+12=V2.

(2)由向量4=(―1,2),6=

可得工一4)=(一3,3)且掂十4二=(一1+2,27—1),

因为才4+4日与4一4日平行，可得(一1+2)x3=-3X(2/1-1),

所以32=-3,解得火二一1.

3.已知向量Z*不共线，且3X=2d—K,OB=3a+b»OC=(i+Ab.

⑴若求4的值；

(2)若a=-3,求证：A,B,。三点共线.

【答案】(1)1=-y;(2)证明见解析.

【分析】(1)根据向量的共线定理即可求解；

(2)由向量的线性运算，可求出而、尻，再根据向量的共线定理，即可证明.

【解析】(1)若刀//53,则=即2d-b=^(a+A^)f

可得,解得〃=2"=-

{-L=Ajl2

所以4=—.

⑵若＞=-3,则。5=五一

所以前=(5S_刀=(2_39_(2a-b)=-a-2^BC=OC-OB=(a-3b)-(3a+0=-2a-

4b,

所以后方=2AC，则A,B。三点共线.

题型二,平面向量基本定理的应用

4.如图，在△4友7中，”是线段BC上一点，且满足8M=2M。,点尸满足而=3而7,过P的一条直线/

分别交线段40、4c于点E、F.设施=i而，布=3而，其中(0,1).记前=落万方=日

(1)试用4、花表示万；

⑵求c+29的最小值；：

(3)若直线I交CB的延长线于点G,并有血6=6G,求义的值.

y

.......3

【答案】⑴Q=+4日⑵弓；（3产

4247/14

【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出而关于｛由碍的表达式，再由布=弓彳而可得结果；

4

⑵利用向量共线定理、平面向量的基本定理可得出，-+*=1,将代数式c+2©与4+；相乘，

展开后利用基本不等式可求得2+2g的最小值；

⑶利用平面向量的线性运算可得出=3％苕+二万百，利用平面向量共线定理、平面向量的基本定

55

理可求出"的值，代入・+总•=1可得出工的值，由此可律出宁的值.

【解析】（1）因为M是线段BC上一点，且满足BM=2MC,则BM=2MCf

所以就一荏=2（而一麻）,可得丽?=］荏+~|■芯=?+知，

因为戏=3而，故》=?布4+3。）=二日+《日

44'33742

（2）因为而=布=g怒，其中c、gE（0,1）,

1

由（1）可知AP=］云+46=-^―AE+AF1

424x2y

因为月、P、斤三点共线，则存/UGR,使得仔=漏,

所以助一Nk二川而初，可得#=（1_4荏+3而，

又因为怒、布不共线，所以「一二1一九4=九则上+"-=1,

4①2y4x2g

所以优+2厂3+2。）岛+专）=犷+2"）（»9）=［（5+晋+和）

*（5+27WH，

'2x=组

y~x

当且仅当《J_+_L=i时，即当c=g==时，等号成立，

4x2y4

x>0,t/>0

故①+2g的最小值为2.

4

⑶因为MB=UG,BM=2MC,所以GM=4MC，即曲=4MC,

即与?_4苕=4（芯_戒）,可得疯=《彳苕+卷前，

uO

因为布=3■彳必，所以占NS+3种，则存=2彳3+2万，

4353g205g

因为尸、G、尸三点头线，则存在〃e儿使得即=〃d，

即犷一戏=必（万一次），所以存=（1一〃）赤+〃43,

因为万、怒不共线，所以1一〃=/，〃=，则/+--=1,解得

2（）5y205g1（

由⑵可知蚩+看=】，代入片,可得。号，故5号、条=冷

5.如图，已知ZVIBC的面积为14,。、E分别为边AB.BC上内点，且AD：DB=BE：EC=2:1,AE与CD

交于P.设存在4和〃使#=人病，丽=〃况，彳§=4，后方=汇

A

⑴求」及〃;

⑵用心广表示加；

⑶求△D4C的面积.

【答案】⑴4=,,〃=券;⑵-y-a+y-b;(3)4.

【分析】⑴用Z力作为基底表示出向量解=履后=/1伍+触)，#=45+5户="|■方+而=舒

+zz(ya+9，根据向量相等得至“方程组，即可解得：

(2)根据向量加法运算法则，计算可得；

⑶先由S-的又存=1而=|■元,再根据SM4c可得.

【解析】(1)vAD-.DB=BE：EC=2:1,XB=a,BC=?,

：.AE=AB^BE=a^-^b,CD=CBBD=-b-

oJ

'：AP=AAEfPD=uCDt

AP=A（a-{--^b},PD=/t（-b—^-a）,

oo

AD—AP+PD=N（4+~^■方）+〃（—b—

-（』一：“）4+传】一〃M，

又•・•益=[■荏=Q,

p-1/z=|p=f

.•J233,解得《7

4OA-^=O/Z=4i

⑵由⑴知赤=微（一.一专5）,彷=.=

（3）*.*BE:EC=2:1,S&AM=14,

•q-11

,•Q^ACE-WQ&AHC一»

又•・•种=九壶=3舫，

^△RdC=YS^ACE=YX4=4.

।Io

6.如图所示,/W是△</?，的一条中线,点。满足示5=2而5,过点。的有线分别与射线477,射线交

于M,N两点、.

⑴用刀和衣表示近5；

(2)设店二小彳§,京=口前,实数馆>0,n>0,求」-+工的值；

mn

(3)如果△ABC是边长为a(a>0)的等边三角形，求OAT+的取值范围.

【答案】⑴历=4■存+[而；⑵工+工=3;(3)0历+0产)岑

33mn9

【分析】⑴利用平面向量的线性运算可得出AD.AO关于｛AB.AC｝的表达式；

(2)由M、。、N二点共线再结合系数和为1的结论即可求解；

(3)由向量数量积的运算律求出苏2+苏2的表达式，利用志本不等式求最值即可.

【解析】(1)因而5=2。5,所以而5=日而，又因O为8c的中点，所以布=](怒+而)，

所以=年历=!的+《兄8.

JJJ

⑵因彳法=m4§,京=介尼,馆>0,九>0,所以一位,前=」■京，

mn

又因而5=2■脑+[NS,所以及5=法+京，

333m3n

又因M,O,N三点共线，所以;+"-=1,即」-+2=3.

3m3nmn

闭设石法="1戏,俞=7?玄5,巾>0,n>0,由(1)(2)可知才8==泰+《彳8,。—+—=3,

33mn

即m+九=3mn.

因而=加包驾口标公

JJ

±

：ON=AN-AO=^-AC-^-ABt

IJO

；所以0"2+0町2=(^=^荏/j+(^=l而

Q................

=-i-[(9m2-6m+2)AB2+(9n2-6n+2)4C2-2(3m+3n-2)XB-4C],

J

又因△力6。是边长为a(a>0)的等边三角形，所以荏•芯=JQ2,

所以化简得OM'2-\-ON2=a2(m2+n2-m—n+,

令t=mn,因377m=m+九>2Vmn,即vrvn>，，

•*

当且仅当?72=九时，等号成立，所以£):.

因此m2+n2—m—n+-^-=(m+n)2—5mn+曰=9(mn)"—5mn+,=9i2—5t+,

<5J<5O

又因为所以佻2-5%+1>[,

•73y

所以—d2(rn2+n2-m—n+.

jy

7.如图，在△工石。中，NB4C=90°,AB=2,4。=3,。是反7的中点，点后满足病=2/，BE与AD

交于点G.

B

⑴设数=4丽,求实数4的值;

⑵设”是6E上一点，且H4_L6C,求丽•丽的值.

【答案】⑴丹；⑵1

5

【分析】⑴设而=工荏=3得到彳苕=£■石+(1—1)儿记=4日+9广,利用平面向量基本定量得

O乙乙

工=2义

至":3，即可求解:

底=1

⑵根据条件,得到说•无=］彳苕.反?，再利用⑴结果，可得丽・(5B=那一声)，代入数据化简

徉到答案.

【解析】⑴设Z方=扇刀="因为房=1配，

故兄苕一前=4(荏一而)，整理得彳苕=4能+(1—冷•反

XAE=2EC^?AE=^AC^\AG=^Aa^(1一1昉①，

J0

设而=Z而，0V£V1,又。是0C的中点，

所以而？=£弱=枣*

=『+与②，

&=2/I

联立①②，据平面向量其本定理得［二：_K解得』=,"=告,

、2

所以实数N的值为?.

5...........»

⑵因为丽.历=一《丽存一次)・^5=一!济+

乙乙乙乙

又H4_L6C,则赤・QH=(),得到丽•历二寺彳苕•阻

由⑴知彳3=,五+2反又前=1一反

^]GH-CD=^AG-BC=-1-(-|-a+-|-6)•(a-?)=j◎一岸)=yx(32-22)=1

题型三:平面向量数景积的运算

8.已知|a|=4,|^|=2,且『与广的夹角为".

⑴求根+2年

(2)求(a+3b)•(a—5)

(3)若向量(24—需)±(求+3。，求实数4的值.

【答案】(1)4/；(2)12;(3)义=一1或/1=6

【分析】(1)由向量数量积的定义与运算律，求解向量的模即可.

(2)利用向量数量积的定义与运算律求解即可.

(3)由向量数量积的运算律,根据垂直向量的数量积为零，建立方程求解参数即可.

【解析】⑴由向量数量积的定义得小，=\dx16*|xcos-Jr=4x2xg=4,

oN

则,+2M2=a24-2xa-2f+4?2=16+4x4+16=48,

故B+2用=/IK=4/.

⑵因为0+3丹•伍一丹=彦+341一港广一3官=必+2连厂一3巩

滔+•芯一3群=|a|2+24・S-3时，且同=4,网=2,

所以(aI36)•(a?)=16I812=12.

(3)由(2a-/ld)_L(/la4-36),«(2a-Ab)・(芯+3»=0,

即24彦+(6一川)2•1—34庐=0,得到32/1+4x(6—#)-124=0,

即用—51—6=0,解得，=—1或1=6.

9.如图，在46中，|词|=4,|55|=2,P为边上一点，且加二2两.

⑴设丽=莉涓+q无，求实数3g的值；

⑵若况与赤的夹角为名，求)•后的值.

O

【答案】⑴”=4，y=9;⑵-8

OO

【分析】⑴根据万乃=2用和向量减法法则得到标=目况+]丽，得到答案;

OO

(2)根据(1)和AB=OB-OA,利用向量数量积乘法法则计笄出答案.

【解析】⑴因为屈=2两，所以标一历=2(况一酝)，

所以。？=?。4+:3§,故t=4，”=[■.

OOOO

(2)AB=OB-OAf

故况.怒=传刀+(网・(防一函

=-百明函无=__1X42+4x22+gx4x2xcos^-=-8

OJJJOJO

10.如图，在等腰梯形43co中，45//。。,|而|=2|方方|=2,乙民4。=与£；是30边的中点.

O

(1)试用源，反?表示存，瓦；

(2)求屈•屈的值.

【答案】⑴石=[三一直，§5=云+[由，；⑵一:

224

【分析】(1)利用向量的加、减法法则即可求解；

(2)利用向量的线性运笄，结合句量的数量积运算即可求解.

【解析】⑴

由向量力口法和减法可得：熊=助一函=4■月H—国，

BD=BC-^CD=BC+^BAt

⑵因为方心方方+无+巨?=_1•说一后方+刀=1•后”45,

N乙

所以5X•病=(1说一成卜信皮一豆)=一：刀2—,觉？+,皮.而，

乙乙N乙4

又因为在等腰梯形ABCD中，|无同=2|CB|=2,ABAD=卷,

O

所以A2,\BC\=1,ZABC=卷,

\5\=J

即血.病=-y|BX|2-y|BC|2+^-|BC|-\BA\COS^ABC=-2-y+^-xlx2xi=—,.

11.在平行四边形力3CD中，43=4,40=6,N区W=卷平是线段4。的中点，点后在直线0。上，且无；

O|

=4皮(-14K1).

............6

B

⑴当4=:时，求荏•加的值；

O

⑵当4=卷时，力E与BR交于点N,京="X+疝5,求£—v的值.

【答案】（1）白；（2）—±

35

【分析】⑴/时，屈=[■方方，用表示熊与而，然后结合荏•Z5=4X6X1~=12,求

JJ/

京•乐即可；

⑵俞=£荏,得到俞=2£而+9而，根据MZ*三点共线，求出£=与，从而得到£=<,"=春,

200D

即可求解.

【解析】（1）由已知当/1=:时，屈=1■反，

OO

---►--->--->--->1--->--->--->--->1---►--->

所以4后=力。+小=力。+54氏8尸=4/一人6=^/。一月6,

,JZ

所以荏.屈=（石+J荏）•倍打—疝）=J石2—《京2—1荏.前，

J/乙•50

因为AB=4,AD=6,Z.BAD=等，所以AB-AD=4x6x1■=12,

•J/

所以施•万元=18一孕一§x12=>

363

⑵设而=£病，因为彳=[■，所以屈力方，

所以荏=ZB+尻=ZB+'"存，

所以京=£屈+生荏=2£/+生翁，

乙乙

因为M8I三点共线，所以2£+《力=1,所以力=3，

25

因为前二⑦前+以方=然存+斗角力所以北二二北3

5555

所■以/一夕=；12=一■1-.

555

12.如图，在矩形4BCD中，点E是线段BC上一动点（含端点），9是6上靠近点C的三等分点.

（1）设布=%而+〃而5,求4+〃的值；

⑵若48=3,友7=2,求犷•前的取值范围.

【答案】（3+〃=暂：（2）[—2,2].

•J

【分析】（1）根据向量的线性运算即可；

（2）转化为（而+而）•（正+0游），再根据向量数量积运算律和定义计算得到4认胡=2|房2,最

后根据I比I的范围即可得到其范围.

【解析】⑴由题意知族=彳方+方齐=赤+4■而=4■而+彳反

JJ

贝112,〃=1,则X+〃=今.

<5J

⑵Q岳=（而+研.（前+两=南辰+标F

=\AD\\EC\cosO^\DF\\CF\CCS7T=2闻一2xl=2闻—2

因为0<|反方|&2,所以布.赤的取值范围是[-2,2].

13.在平行四边形ABCD中，力8=4,力。=6,乙区4。=等平是线段40的中点，点后在直线。。上，且反

O

=4发（一1&蔗1）.

AFD

⑴当4=小时，求病•加的值；

O

⑵当4时，4E与3R交于点V,俞="芯+沙而，求c-g的值；

⑶求乐•丽的最小值.

【答案】⑴A;⑵-1；⑶嘿

3516

【分析】⑴以AD,NE为基底耒示AE,阻再根据数量积运算律和定义求结论，

⑵设前=力屈，京=〃4瓦以防，无百为基底表示福，结合平面向量基本定理列方程求九〃，由此

可得病=[■荏+看私再求⑦，■由此可得结论，

⑶以而，为基底表示而，丽,再根据数量积运算律和数量积的定义求丽•屈，结合二次函数性

质求其最小值.

【解析】⑴由已知当4=;时，屈=4■方方，

oJ

所以荏=循+5§=超+：屈，BF=AF-AB=^AD-AB,

152

1»—>/■■，1—>\/1>—1»O1,»9R■■»,

所以AE•3尸=(40+j40•仁力。-力0=*W—5AZ?一£月比40,

京•而=18-学一？x12=与.

（2）当入=；时，屈=[■配，即E为。。的中点，

因为R,MB三点共线，

设前=£屈，则俞="+俞=布+£屈=与+*蓊-布）

=（l-t）AF+tAB=^^AD^tAB,

乙

因为AN,后三点共线，

设京=〃近,则赤=〃病=〃（超+屈）=〃（a+：适）=〃而+5怒,

Lt/

又彷，荏不共线，

〃=-TS£=M，

根据平面向量基本定理得，2,解得《5

12〃=力，〔〃=亏,

1

--

5

所以=人心+等力立又AM=xAB+yAD则fUr2

t--

555

所以=]一言=_].

555

⑶因为玩=由+历+屈=一存+^5+1反二(A-1')AB+AD,FE=FD+DE=^A5-1-

ADC=AAB+^-ADt

乙

所以近.屈=[（/—1）彳5+殉.（久阳十券前）

=（/IT）酒+春彷+帝-万荏•AD,

乙'乙乙

由（1）泰・N5=12,又AB=4,4D=6,

所以说•届=（*-/）x42+JX6'2+（,』一!）x12

=16（万一㈤+18+18,-6=16小+2/1+12,

因为NE所以当』=一丁==~时，屈•屈取得最小值，且最小值为梨.

2x161616

14.如图，己知△48C是边长为2的正三角形，点。在边8c上，且3加=1,点Q为线段力。上一点.

（1）若而=4怒+3后方，求实数人的值；

10

⑵求。2•而的最小值；

【答案】⑴4=4（2）-4

57

【分析】（1）将。。用GD表示，再根据AQ,P三点共线即可得解；

⑵设而=m"（0＜恒41）,将0X05分别用左，再根据数量积得运算律结合二次函数的性质

即可得解.

【解析】⑴函=况+而=况+/1荏+上》=改+彳（无一⑸）一上）

=（一声+C）晶=（1声+却抬尸，

所以AQ,P三点共线，

所以(1-/I)+=1,解得]=~^~;

2v10zD

⑵设质=小#(0&馆41),油•而=2x2xJ=2,

AQ=mAP=m(AB-iBP)=ml<AB^jBC)

=mAB+^(AC-AB)=^AB+^ACf

•JoJ

QC=AC-AQ=AC-(^AB^^AC)=(I-^)AC-^AS,

JJ3J

故办犯=(-华布谭g竽珂

=-竽(1-.)荏.记+写京2-等(1-等)死4等怒.怒

jyooy

_47n/[M:।167』47rl7711[47，_28__8_

-F<3~7+-g§-U--3-/+-g--Vm2--3m,

当m时，-^-m2--1-77i取得最小值一,

/JOI

所以ox•。方的最小值为一微.

15.“四叶回旋镖”可看作是由四人相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB=2,CD=1,ZA=45°,

N4BC=90°,点尸在线段4B与线段包上运动.

G

E

⑴若丽=入反+〃丽(人〃WR),求入+2〃的值;

(2)求助•炉的取值范围.

【答案】(1)0;(2)[0,8]

【分析】(1)以C为原点建立平面直角坐标系，计算丽、方方、丽的坐标，根据向量的线性运算可得关于

4〃的方程组；

(2)分点P在线段力B和线段或上两种情况，分别设点尸的坐标，求出丽，丽的坐标，利用数量积的坐

标运算即可.

【解析】(1)如图，以。为原点建立平面直角坐标系，

«C(0,0),B(0,1),D(-1,O),E(-1,-2),H(l,0),

则丽=(2,2),55=(1,0),丽=(1,-1),

因丽=1皮+〃丽，则(2⑵=/1(1,0)+〃(1,-1)=(义+〃,一〃)，；

故1+〃=2,—〃=2,得3=4,//=-2,则3+2〃=0.；

(2)①当。在线段46上运动，设尸(2,1),其中一2《出&0,；

因9(0,—1),所以丽=(2,2),方=(/,2),则丽•厢=27+4,：

..........由

因为一2Wi40,所以丽・方€[0,4],

②当P在线段上运动，设尸(①u)(0&c&l),

因L(l,2),则加=Q,g—1),反=(1,1),

又BPHBL,则c=g-1,故尸:c,c+1)(O&c&l),

则FP=(i,c+2),则EH-FP=4x+4,

因为OWi&l,所以丽•丽€[4,8],

综上，明•用的取值范围为[0,8].

题型四:平面向量的垂直问题

16.已知向量4,立若同=2,吼=1,4,广夹角为120°.

⑴求愎-用；

(2)当4为何值时，向量足+日与向量4一31互相垂直？

【答案】⑴卜4—回—V2T；(2)/1--y-

【分析】(1)由条件根据数量积的定义求心及再结合模的性质求结论；

(2)由条件可得(掂+B)•(a-3b)=0,结合数量积运算律化简可求结论.

【解析】⑴因为同=2,网=11,1夹角为120°,

所以4•3=|小吼cos(4内=2x1xcosl20°=-1,

又,一同=J(2「_b)2=J41+京一4亦6,

所以国一同;V4X22+12-4X(-1)=V21,

所以一同二-21,

(2)因为向量N4+S与向量日一35互相垂直，

所以(/la+6)•(a-36)=0,

所以】彦一3石•1+4•1一3庐=0,

由(l)a,5=—1，又同=2,卜］=1,

所以4/1+3/1—1-3=0,

所以午号.

17.已知a-(2,-1),b-(1,-3)，

⑴求\a\和(a,6)；

(2)已知c=b-ka，且cA,a，求实数A:的值.

【答案】(1)同="；■:(2)/c=1

【分析】(1)向量的模，可根据向量模的计算公式求解；向量的夹角可通过向量的数量积公式计算;

(2)向量垂直则根据向量垂直的性质来确定实数k的值.

【解析】(1)根据向量模的计算公式，|^|=722+(-1)2=74+1=75.

已知日=(2,—1),b—(1,—3),所以日•5=2x1+(―1)x(—3)=2+3=5.

再根据向量模的计算公式求出⑹=Vl2+(-3)2=71+9=.

然后根据向量的夹角公式可得cose而=卫也-=-5=-==_、=%.

'同⑻V5XV10A/505V22

因为两向量夹角的范围是［0司，所以〈点片=卒.

(2)已知N=?—ka,a=(2,-1),b=(1,—3),则c=(1,—3)—k(2,-1)=(1—2k,—3+k).

因为根据向量垂直的性质，所以乙4=0.

即(1-2k)x2+(-3+初X(-1)=0,解得k=l.

18.如图，在△力6C中，己知40=2,AC=4fNR4C=60°,A1是石C的中点，N是47上的点，且俞=

方，工相交于点P.设与=4,而=加

⑴若1试用向量力广表示痂，加；

⑵若力M_LPN,求4V=§.

5

【答案】⑴与？=［云+4■及加=一4五一1巾(2)4V=3.

【分析】(1)利用平面向量的线性运算结合图形关系可得结果；(2)利用向量垂直的性质和数量积的定义

可求得.

【解析】⑴由题意，河是反7的中点，则前=］(存+词=1■五+9，

因为£=4，所以京=4•於=《唬

oJJ

MN=AN-AM=^b-^a-^b=-a-^b.

〉乙乙/1)

所以，病=卷8+与，加=一小一卷U.

(2)因为AM±PN,所以AMI.BN.

因为彳归=；4+；九丽=京一通=-a+E,

所以AM-BN—+•(―云+c。=—}-a2+-^-xb1+-6,

又因为彦=|>1B|"=4,b~=16,44=2x4xcos60°=4,

所以，AM•BN=-1x44--^-xx16+48一卷)x4=10%—4=0,解得力二春.

所以，京=^AC,则AN=4,

5o

19.在△ABC中，NR4C=90°,48=2,47=6,。为4C边上的中点，E为BC边上一点，且屈=45方(0•

<A<1).

⑴当4时，若而=力助+”苑h求①+g的值；

..........由

⑵当时，求4的值.

【答案】⑴;：⑵・

411

【分析】(1)由题意建立平面直角坐标系，写出坐标和向量，再通过题目给的条件列式即可:

⑵先设出后点坐标，利用AE_LBD和屈=ABC条件列式并联立即可求解.

【解析】(1)由题意得，以4为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则力(0,0),

•・,AB=2tAC=Gt：.6(0,2)、C(6,0)，又。为4。边上的中A,/.。(3,0),

当』=/时，后为边上的中点，.・.顼3,1),即毋=(3,1)、瓦5=(3,—2)、而=(6,0),

3产=3,解得

又超=xBD+yAC,：.(3,1)=c(3,—2)+y(6,0),即，

—2x=ly=i

.,131

•,%+片一万+1=7

⑵设EQ,y),则AE=(x,y),>1AE±BD,AE-BD=0,3x—2?/=0,

\'BE=(x,y-2),BC=(6,-2),又说=19百，，(姒J-2)=1(6,-2)，即~，解得

y—Z=—ZA

x=6A

"=2—21’

3c—2。=3x61—2x(2—21)=0,解得-=4.

2().已知平行四边形ABCD中，A6=2,BC=4,乙DAB=6(广，点E是线段BC的中点.

(1)求乐的值；

(〃)若犷=病+4屈，且阮J.而，求入的值.

【答案】(1)4;(〃认=一看.

【分析】(/)建立坐标系，利用坐标求解数量积，或者利用数量积的定义求解；

(〃)求出向量而，刀的坐标，结合向量垂直的坐标表示可求1的值，或者位置关系求解.

【解析】法1:⑺

以工点为坐标原点，力B所在直线为c轴建立如图所示的平面直角坐标系，则

>1(0,0),C(4,2A/3).£;(3,A/3),B(2,0),D(2,2A/3).

而=(2,2/),人片=(2,0),

:,AB•AD=4;

(〃)赤=荏+AAD,AF=(34-2/1,734-2，丽二(0,2⑹

BD±AF,.-.^B-A?=2A/3(V3+2后)=0,

A=—.

法2:

(j)A§-AD=\AB\•|AD|cos600=2x4x^-=4:

J

(II)AF=AE+AAD^EF=AAD1：.EF//ADt

\'BDA.AFtBDA_ABt

・・・万与B重合,

21.已知由役,不是同一平面内的三个向量，其中4=(3,4).

⑴若忖=10,且K〃由求K的坐标；

⑵若\b\=，1U,且4+2或与24一日垂直，求或在日方向上的投影向量.

【答■案】(1)4=(6,8)或3=(—6,—8)(2)(—")

【分析】(1)设出K的坐标，根据已知条件解方程，从而求得K.

(2)根据向量垂直列方程，化简求得人员从而求得了在日方向上的投影向量.

【解析】⑴设3=,则[伫E。解得f=g或,=一?

13y=4c[y=S[y=-8

所以才=(6,8)或3=(—6,-8).

(2)•・•4与2W—，垂直，.•・伍+•(2a-6*)=0,

=-10,

(3,4)

在]方向上的投影向量为\b\•cos<a,6>•-^-r=VlOx-y

।।\a\SxVIO5

题型五,平面向量的模长问题

22.已知向量非=(3,2)，|=(①一1),?