中考数学解答：直角三角形的实际应用（新题型）解析版

中考解答专题解直角三角形的实际应用（新题型）

1.为了加强海上巡航检查能力，某海警船甲、乙在如图所示的海域进行航行检查训练.4从C、。为同一平面内

的四座小岛.A岛位于8岛正西方向，。岛位于3岛北偏西60。方向60海里处，C岛位于8岛的正北方向，。岛位

于A岛北偏西15。方向（参考数据：及=1.4，76«2.45）.

⑴求小岛人。间的距离（结果精确到1海里）；

（2）甲、乙两海警船同时从C岛出发前往4岛进行巡航检查训练，甲海警船沿CfA航行，乙海警船沿CfDfB航

行，甲每警船的速度与乙海警船的速度之比为3:4.两海警船同时到达3岛处，求小岛8、C间的距离（结果保留

小数点后一位）.

【答案】⑴小岛A、。间的距离为32海里；

（2）小岛8、C间的距离为128.6海里.

【详解】（1）解：过点A作交于点七，

丁A岛位于8岛正西方向，C岛位于8岛的正北方向，

，ZCfiA=90°.

丁D岛位于3岛北偏西60。方向60海里处，

AZCTD=60°,40=60.

・•・/。8石="8E一"8。=90。-60。=30°,

AE1BD,

，Z5E4=ZDE4=90°.

•：Rf.AEB中,ZBE4=90°,NDBE=300,

A2AE=AB,ZE4B=60°,

BE7AB-AE?=y]4AE2-AE2=J3A-=*AE-

ID岛位于A岛北偏西15。方向,

・••ZD/l^=90o+15o=105o,

・•・Z.DAE=ZDAB-/EAB=105°-60°=45°,

VZDAE=45°,ZDE4=90°,

•••△加为等腰直角三角形，

：-DE=AE,

,DA=ylDE1+AE2=+AE2=42AE-

•:DB=DE+BE=4BE=WE,DE=AE,

，百AE+AE=60,

解得AE=G+[=30

ADA=V2^£=30V2-（x/3-l）=30x/6-30>/2=30（x/6-V2）,

将外L4,行之2.45代入得：

DA=30（>/6->/2）«30（2.45-1.4）=30x1.05=31.5®32.

答：小岛4。间的距离为32海里.

（2）解：过点。作。尸_1_。8交C3于点产，

•・•A岛位于8岛正西方向，C岛位于B岛的正北方向，

/.NC8E=90。.

,/D岛位于B岛北偏西60。方向60海里处，

AZCfiD=60°,80=60.

■:DFLCB,

JNDFB=/DFC=90。,

/.NFDB=90°-Z.CBD=30°,

•・•汝_08/中，ZDFB=90°,ZFD«=30°,

BF=-BD=30

2f

•**DF=yjDB2-BF2=\/602-3O2=30>/3♦

•・•甲海警船的速度与乙海警船的速度之比为3:4.两海警船同时到达3岛处，

设甲海警船的速度为3x,乙海警船的速度为4X，时间f,

・•・甲海警船的路程为3M,乙海警船的路程为4M.

V3A7：4AZ=3:4,

•••甲海警船的航行路程CT8与乙海警船的航行路程CfDfB之比也为3:4,

.,•设CB=3y,CD+DB=4y,

/.CF=CBBF=3y-3OtCD=4y-DB=4y-6O.

■:RrCDF中,NDFC=90。，CF=3y-3OfCD=4y-60,DF=300,

・••根据勾股定理：。。2=。尸+。尸,

（4y-60）2=（30x/3）2+（3y-30）：,

ann

解得尤=0（舍），%=节.

.300900.

•.CB=3y=73•»128.6.

第2页共45页

答：小岛3、。间的距离为128.6海里.

2.如图，A,台分别是两个港口，C,。是海上两座小岛景点，。在A正北方向20千米处，C在。北偏东60。方

向，8=30千米，A在8的南偏西60。方向，且。在8北偏西75。方向.（参考数据：加、1.41,67.73,“。2.45）

北

⑴求港口5和小岛。的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）；

（2）一艘货船从4港I」出发沿AB前往8港II,同时一艘观光船也从入港口出发，沿路线A-O-C前往小岛C,货船

的速度与观光船的速度之比为4:3,出发1.5小时后观光船在由。到。的途中且离A港口的直线距离与离货船的直

线距离正好相等.求货船从A港口出发多少小时后到达3港口（结戾保留小数点后一位）.

【答案】⑴24.5（2）2.1

【详解】（1）解：•・•。在A正北方向20千米处，C在。北偏东60。方向，CZ）=30千米，人在3的南偏西60。方向，

且。在8北偏西75。方向，

AAD=20,AB//CD,NCBE=45。,

过点。作CE1A8,交AB于E,过点。作。/_LA8,交A8于尸，

则ZAFD=/CEB=90°,

JZCDF=90°,

ZADF=180°-90°-60°=30°,

则ND4尸=90。-30。=60。，AF=^AD=\0fEF=DC=30（千米）,

ADF=CE=AD-sinZDAF=20xsin60°=20x—=1（）73（千米）,

2

'：NCBE=45。,

・・・_C8E是等腰直角三角形，

:•EB=CE=lbg（千米），

:,BC=一——==1Ox/3x72=10>/6«24.5（千米）

sinZCBEsin45°

答：港口8和小岛。的距离为24.5千米.

（2）设货船速度为4x,观光船速度为3x,

出发1.5小时后：货船行驶的路程4.XX1.5=6x

即货船在42上的位置距A点64千米

观光船行驶的路程：3AX1.5=4.5X,

因AO=20故观光船在。C上距。点的距离为4.5x-2（）（记该点为M）,

观光船M在由。到C的途中且离A港口的直线距离与离货船石的直线距离正好相等.

即M4=ME,AE=6x,

:.1是等腰三角形，

过M作上A£>于N,于尸，

由(1)得M/7=1()6，

在RtZXDMN中，Z7VDM=6O°,DM=4.5.x-20,则：

ON=DM.cos60°=-(4.5x-20),

2

MN=DM•sin600=当(4.5x-20),

AN=AD+DN=20+44.5x-20)=10+2.25x,

2

SRt„/LWVAM2=MN2+AN2=曰(4.5x-20)+(10+2.25xf,

在Rt.AMF中AM2=MF2+AF2=(10厨+(3x)2,

「石

J^-(4.5x-20T)+(10+2.25X)2=(/10X/3)+(3X)\

化简得

解得x=g或：，

x=—x4.5=30>20

3

第4页共45页

44

V-x4.5=6<20,故x=§舍去，

货船速度为：4x=yx4=y,

由（1）可得A8=A尸+M+8E=1O+3O+1OG=4O+1OV5（千米），

40+10x/3_/.rrx3」2+3石一

货船从A港口到B港口用时：80--

3

答：货船从A港口出发2.1小时后到达8港口.

3.如图，A、6为两个海上基地，基地8位于基地A正东方向，一艘海警快艇航行至。处，测得基地A位于其南偏

西60。方向，距离2（）海里处，基地区位于其东南方向.

AB

⑴基地A与基地8相距多少海里？（结果保留一位小数）

（2）-一艘可疑船只从基地8出发以每小时10海里的速度沿正北方向航行，快艇接到通知（忽略接收信息的时间）马

上从C点出发以每小时20海里的速度沿北偏东某方向进行追击，并在。处成功追上可疑船只，求追上可疑船只时

快艇追击距离是多少海里？

（参考数据：石之1.73,6=2.45,41«2.65）

【答案】（1）27.3海里（2）11海里

【详解】（1）解：如图，过点C作CE/48于点E,

由题意知：AC=20海里，ZACE=60°,ZBCE=45。,

在RtAACE中，Z4EC=90°,Z4CE=60°,

AZA=30°,

：.CE=^AC=\0（海里），

在RlAACE中，由勾股定理得：AE2=AC2-CE2

•*-A£=A/202-102=105/3（海里），

在R3BCE中，ZBEC=90°,NBCE=45。,

.♦・CE=M=10海里,

JAB=AE+BE=（10G+10）=27.3海里，

J基地A与基地8相距27.3海里.

AEB

（2）解：如图，过点。作仃，8。于点尸，

在四边形中，NCEB=NEBF=NBFC=资,

・•・四边形。即尸为矩形，

：・CF=BE=10海里,BF=CE=10海里,

设快艇的追及时间为r小时，

由题意知：8=20/海里，80=10/海里，

.•・0/二80-8尸=（10-10）海里，

在RtVC。产中，ZCFD=90°,

，由勾股定理得：。。2=。尸2+。尸2,

/.（20r）2=102+（10r-10）2,

解得：.=也二1,心=也11（舍去），

3-3

ACD=20t=20x^^-»11（海里），

3

••・追上可疑船只时快艇的追击距离为11海里.

4.今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A,B,C,。在同一平面内，己知小希家A位于小福家8

的东南方向，位于学校。的正西方5千米处；小福家B位于学校。的北偏西75。方向；博物馆C位于小福家8的北

偏东60。方向.（参考数据：0al.41，V3«1.73,V62.45）

⑴求小福家3与学校。的距离（结果保留一•位•小•数•）；

（2）小希从自己家出发，沿AfOfC方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往

博物馆C,已知小希和小福的速度之比为3:4.小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家8处取，

当他到家后得知小希正好到了。。方问的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路的

与CO的夹角/8匹=60。（NMC<90。），且BE的距离比8C的距高还少2千米，于是两人商定小希在E处等待

小福.求博物馆。与小福家8的距离（结果保留:住分裂）

【答案】⑴77km（2）8.4km

【详解】（1）解：

第6页共45页

过点A作A”_L8O于点，，取=交80于点尸，不妨设A〃=x,如图所示:

根据题意，可知AO=5km,NKE>8=75o,8M〃KD,ZA8M=45°,

KD//BM，

/DBM=/KDB=75°,

，ZABD=Z.DBM-Z1ABM=75°-45°=30°,

*/AHtBD,

Z.AB=2AH=2x,

JBH=ylAB2-AH2=x/5x»

VAF=AB,AH1BD.

:•FH=RH=6,ZAFH=ZABH=30°,

•：NKDA=90。,NKOB=75°,

：.N8AM=15。，

ZFAD=/BFA-ABDA=3O°-I5°=15°,

NFAD=NBDA,

・•・AF=DF=2x,

,HD=FH+DF=45X+2X,BD=BH+FH+DF=2y/3x+2x,

AHtBD,

AH2+HD2=AD2^

A2+（6x+2x）=5」，

・・・x=5（6一&）（舍去负值），

4

5（V6-V2）25（V6->/2）

•*-BD=2显=5\/2（km），

44

•••必1.41，

£JD»5xl.41»7.1(km)；

答：小福家8与学校。的距离为7.1千米.

(2)解：:小希从自己家出发，沿AfOfC方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿37C方向

匀速前往博物馆C,已知小希和小福的速度之比为3:4.小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回

家8处取，当他到家后得知小希正好到了OC方向的超市E处，

，不妨设人。+QK=3x,那么28C=4x,

BC=2x，DE—3x-AD=3x-5,

•・•BE的距离比4c的距离还少2千米,

，BE=2x-2,

过点。作ON_LHE于点N,如图所示:

・•ZB£D=60°,

\zmv=30°,

口门户

..ENz=—1DE=-3-X--—--5-,

22

22

•・DN=y]DE-EN=£EN=6X=诋

22

.ovDCrA；、C3X-54X-4-3X+5X+\

222

:DN1.BE,

•・BN2+DN2=BD2.

Xjdfr3瓜-56、=（5V2）2,

22

11+13&

~T~（舍去负值）,

.,II+13及22+26V2,.、、

•8C=2x-------------=--------------（kmI,

77''

―22+26x0

»8.4（km）.

7

答：博物馆C与小福家B的距离为8.4千米.

5.周末小明和小亮准备去公园做义务安全员.如图，A,B,C,D,E为同一平面内的五个景点.已知景点。位于

景点A的正北方向，景点。位于景点。的南偏东75。方向且距离。处400米处，景点E位于景点C的正西方向，景

点。位于景点A的东北方向，景点8位于景点A的正西方600米处.（参考数据：V2«1.41，6*1.73,6=2.45,

Vl0»3.16）

⑴求景点A到景点C的距离（结果用根号表示）;

第8页共45页

（2）小明从景点C出发，沿正西方向巡视，小亮从景点8出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达。处

时，小亮刚好到达84边上的。处，此时，。处到景点八的距离与。处到景点人的距离相等，求尸。的长度（结果

保留整数）.

【答案】（1）200卡米（2）632米

【详解】(1)解：由题可知N3AC=N4CE=9()O,ZACO=75O,NCAO=90。，C£>=400,A8=600,

如图，过。作5,4。于F：

ZACF=90°-45o=45°,

ADF=-C/?=200,

2

•**CF=VCD2-DF2丁2OOs/3，

,/ZXAC尸是等腰直角三角形，

AAF=CF=200石，

1・AC=yjAF2+CF2=2005/6»

即景点A到景点C的距离为200几米;

由（1）知AC=200指，

在Rt4cp中，AC2+CP2=AP2,

则(200“1+/=(600-4)、解得K=100,

J8Q=CP=100,AQ=4P=500,

过P作PG_LA8于G,

•・•ZAGP=ZC4G=ZACP=90°,

・•・四边形ACPG是矩形，

，AG=CP=100,GP=AC=200y/6,

:.GQ=AQ-AG=500-100=400,

在RtAPGQ中，PQ=JG尸+GQ2=200x/10=200x3.16=632,

即PQ的长度为632米.

6.如图，四边形A8CO是某湿地公园的环湖步道，点4,B,C,。在同一平面，经测量，点。在点。的正西方

向，点。在点A的北偏东60。方向，点“在点C的西南方向，点。在点。的南偏西30。方向，且8、力两地相距400

米，4、8长度小于300米(参考数据：6^1.73,6a2.45，4。2.65)

(1)求CD两地的距离(结果保留根号)；

(2)小王和小李同时出发，小王从点。出发沿0A慢跑，小李从。出发沿的步行，小王与小李的速度之比为3:2,若

他们在A点相遇，求A8的距离(结果保留整数).

【答案】⑴(2()06-200)米(2)203

【详解】(1)解：如图，过点8作8E_LCO,交CQ的延长线于点E,

依题意得：N瓦加=60。，ZC=45°,

ZEBD=30°.

ED=-BD=200m.

2

BE^Blf-ED1=200A/3m•

ZC=45°,.•.NEBC=45°.

/.B£=C£=2OO>/3m.

CO=(2(X)6-200)m.

答：CD两地的距离为(20()6-200)米.

中10m共4、W

(2)解：•・,小王与小李的速度之比为3:2,

/.AD:AB=3:2.

iSAD=3xm,则A4=2xm,

如图，过点4作C。的平行线，交BD于点、F,过点尸作/GJLA。于点G,过点3作8Hl.4产于点”,

依题意得，ZmF=30°,

AF//MC,

zmF=ZMm=30°.

ZADF=90°-30°-30°=30°.

/.ZZMF=ZADF=30°.

.\AF=DF,ZAFD=120°.

..NA凡=60°.

NHBF=30。.

QFG1AD,

13

二.AG=—A。=—Ain.

22

/.cosZ.GAF=cos30°==—

AF2

/.AF=Gun.

/.DF=\/3xm.

BF=«D-DF=(400-x/3x)m.

:.HF=-I3F=200——-xm.

22

.•.4H=(200G—'x)m,/I//=AF-//F=>/3x-200-xj=^.x-200m.

在Rt^A”8中，AH2+BH2=AB\

即(¥1一20。'+(200G—|，=(2",解得x=i206±40/,

4B<300m,

.•.x=120x/3-40x/7.

/.AB=2406-80x/7»203m.

答：AB的距离为203米.

7.如图，四边形ABC。是彩云湖公园的环湖步道，点A,B,C,。在同一平面内，经测量，点〃在点4的南偏

东45。方向，且A、8两地相距900米，点。在点A的北偏东75。方向，点C在点8的北偏东75。方向，点A在点C

的北偏西60。方向.（参考数据:a.L41,75«1.73,的=2.45）

北

西冬东

而

⑴求4C两地的距离（结果保留根号）；

（2）小育从点C出发沿C4慢跑到终点八，同时小才从点。出发，沿。4步行到终点A,当小育跑到一半时，两人的

直线距离与小才到点A的距离之比为万:1,求此时小才与点A的距离（结果保留一位小数）.

【答案】⑴450#米；⑵194.6米.

【详解】（1）解：过点A作4Vf_LBC,垂足为M,如图：

与"北

M*

由题意知：AE〃BF,ZBAD=180°-45°-75°=60°,ZACG=90°-60°=30°,ZBCG=90°-75°=15°,

:.AABF=45°,ZACB=ZACG+BCG=45°,

ZABC=45o+75°=I20°,

JZABC+ZBAD=180°,ZABM=180°-ZABC=60°

/.AD//BC,Z£?AM=90°-ZABA/=30°

/.ZDAC=ZACB=45°f

ZBAC-Z.BAD-ZDAC-60°-45°-15°,

在RJA3M中，ZAMB=90°,ZA8M=60。，/RAM=30。，

A5=900（米）

:.BMAB=450（米），

:.AM==450G（米）

在Rt_人CM中，Z4MC=90°,Z4CB=45°,

/.ZCAM=ZACB=45°,

・・・CM=4M=45OJJ,

中"贝共4、W

AC=y/2AM=450>/6（米）,

答：A、C两地的距离为450面米；

（2）解：当小育跑到一半时，设小才走到点E处，小育走到点尸处，设AE=2a（米），则痔=2石a（米）,

过E作EN_L4/,垂足为N,如图：

在RtAAEN中，ZANE=9O0,NDAN=45°,

JZAEN=45。=NDAN,

:.AN=EN=丘。，

在RlAEN/中，Z£7VF=9O°,

/.NF=ylEF2-EN2=3缶

AF=-AC=^^-,AF=AN+NF,

22

，缶-30=空如

2

解得：a=—->==194.6（米）

答：小才与点4的距离为194.6米.

8.随着全民健身深入发展，走向户外、拥抱自然成为越来越多体育爱好者的选择，国庆假期小明和小亮去某户外

运动基地锻炼.如图，A，B,C,。在同一平面内，经测量，3位于A的正北方向1500米处，C位于A的南偏东

60。方向2700米处，点。位于点8的东南方向上，点。位于点C的正北方向上.（参考数据：72«1.41，6^1.73,

J=2.45,币X2.65）

B.北

（I）求4D的长度（结果保留根号）；

（2）小明和小亮同时从C出发，小明沿C4骑自行车到4处，小亮沿CD步行到。处.已知小明骑自行车的速度为270

米/分，小痉步行的速度为90米/分，请通过计算说明小明出发多少米后恰好与小亮相距1200米（结果保留到十位）？

【答案】（1）8。的长度为13506米（2）小明出发1.36x103米后恰好与小凫相距1200米

【详解】（1）解：过点。作CEJ■创交区4的延长线于过点“作8产_16交C。的延长线于尸，如图,

\CD1CE,

.-.ZE=ZECF=ZF=90°,

••・四边形BEb是矩形，

:.BF=CF,BE=CF,NEBF=90。,

在RlACE中，ZG4£=60°,

AE=』AC=1350米，

2

.•.CE=6AE=I350G米，

"=13506米，

在RlBDF中,ZDBF=90°-ZABD=90°-45°=45°,

BD=丘BF=0x13506=1350向米）；

答：3。的长度为1350卡米；

（2）设/分钟小明与小亮相距1200米，此时小明在M处,小亮在N处，如图，过M点作M”_LC。于〃点,

由题意得CM=270f米，CN=90/米，MN=1200米，

AE\CD,

.•.NMCD=NE4C=60。，

在RtMS中，NMCH=60。,

.•.C〃=,CM=135/米，

2

MH=gCH=\356t米,

在Rt/\MNH中，NH=CH-CN=135/-90r=45/（米），MH=135G，

/.MN=J（45f『+（1356）2=90历（米晨

.•.90万=120（）,

解得”也5

21

:.CM=270/=270x^1a1.36X1031米）.

21

答：小明出发1.36x10?米后恰好与小亮相距1200米.

9.某景区使用无人机对观光热气球进行航拍.如图，4,从C,。位于同一平面，8在A的正东方向2千米处，C

在8的南偏东30。方向，且在A的南偏东60。方向，。在C的正西方向，且在A的南偏西30。方向.某一时刻，位于

4的航拍无人机需要沿着A-O-C的路线前往C处进行拍摄.（参考数据：拒*1.41，6=1.73,x/7«2.65）

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（1）求AC的长度（结果保留根号）；

（2）航拍无人机从A出发的同时•，观光热气球从B出发沿着8c飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3

倍.无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄.请问热气球飞离右处多少千米时，

无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？

【答案】（1）26（2）1.6千米

【详解】（I）解：由题可知，/W=2千米，ZABC=90o+30o=120o,ZBAC=90°-60°=30°,

则VABC中，ZACB=1S00-ZABC-/BAC=30°,

AZBAC=ZACB,AB=4C=2千米，

在RlAAgE中，AE=ABcosZBAE^ABcos30°=2xvJ=>/3（千米）,

2

AAC=2A£=2XX/3=2N/3（千米）,

答：AC的长度为2百千米;

（2）解：由题意可知，无人机在A-D-C上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，

如图，设无人机在0c上的M处,距气球N刚好1千米，即MN=1,过N作NK_LCM于点K,则NNKC=NNKM=90。,

设BN=x,

•••无人机的速度是热气球速度的3倍

••・AO+OM=3x,

•••3在A的正东方向，。在C的正西方向，即45CD,

，ZACD=ZBAC=30°,

丁/D4c=90。，AC=26,

JAD=AC-tanZACD=AC-tan30°=2>/3x—=2,CD=2AD=4,

3

DM=3x—2»CM=CD-DM=4-（3x-2）=6—3x,

在RlWCK中，Z/VKC=90。，ZNCK=ZACB+ZACD=60°,NC=BC-BN=2-x,

・・・CK=4NC=1』，NK=NCsin60o=（2-x）x正=石—旦，

22'’22

AMK=CM-CK=6-3x-[\--x\=5--x,

I2）2

在Rt&WVK中，NK?+MK?=MN2,

即-旦]+f5--xl=12

解得x=2土也，

7

VBN<BC=2,

ABN=2-—^\.6（千米）：

7

答：热气球飞离8处1.6千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球.

10.为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》.甲乙两人

积极响应号召，相约在公园锻炼.如图是公园的平面图，点B在点A的正北方向，点C在点A的正东方向相距1600

米处，点。在点A南偏东60。方向，且点。在点。的南偏西30。方向相距2000米处（参考数据：aa1.41,6=1.73）.

⑴求AD的距离（结果保留根号）；

（2）甲从点A出发，沿A3方向骑自行车，乙从点D出发，沿。。方向跑步，己知甲的速度是乙速度的2.5倍，当甲

到达直炊水补给点P时，乙刚好到达直饮水补给点Q，已知点Q在点P东南方向上.求的距离（结果保留小数

点后一位）.

【答案】（1）4006米（2）223.7米

【详解】（1）解：如图，过。作OEJ.BA于E,过C作Cb_L£D于凡

第16页共45页

则四边形/"户C为矩形，

/.fir=sc=16(x),BE=CF,

在中，ZF=90°,/ZX>=30。，C£>=2(XX)米，

J。尸=!。。=10(r米，CF=CDxcos3()o=2000x正=10006(米)，

22

/.QE=£F-。尸=600米，

在Rt_AOE中，ZE=90°,ZZI4E=60o,

八DE600Mn

.AD=---------=-^=40073

sin6006(米),

2

答：A。的距离为40()6米；

(2)解：如图，过。作QM_L4"于M,过D作DN工QM于N,过点Q作。"，BC于点儿延长C8,QP交于点、

G,

则四边形。EMN是矩形，四边形8WQ”为矩形，

，MZV=£>E=6(X)米，DN=EM,BM=QH,BH=MQ,

设OQ=。米，则AP=2.5a米，

在RJONQ中，NDNQ=90°,NNDQ=300,

・•・NQ=DCsin3O0=5米，NO=Bcos300=正a米，

-2

・•・EM=ND=—a^,

2

根据解析⑴可得：8£=CF=1000方米，MZV=Z>E=6(X)米，

，B"=MQ=MN+NQ=(600+ga米，

在Rt_AOE中，ZE=90°,ZmE=60°,。石=600米，

:.AE=AOcos600=200G米，

，AB=BE-AE=800G米，

:.BP=AB-AP=(8OO>/3-2.5a)米，

在Rtz^BPG中，NP8G=90。，/BPG=45°,

BG=8P•tan450=6P=(8008-2.5a)米,

・•・GH=GB+BH=800G-2.5。+600+；a=卜00。+600—2a)米，

在Rtz\G〃Q中，NGHQ=90。，NG0H=45。，

：.QH=GHtan450=GHt

：,BM=HQ=GH=(800石+600-2a)米，

■:BMtEM=BE,

/.8004+600-2a+—a=l000G

2

初组3600-400\/3/*、

解得：a=------------u223.7(木八

13

答：。。的距离约为223.7米.

11.如图，A处位于8处正北方向7千米处，C处位于8处的正东方向，。处位于A处南偏东60。方向6千米处，D

处在。处的东北方向.(参考数据：。2々1.41,6a1.73,石。2.24)

⑴求〃与C之间的距离（结果保留小数点后一位）；

（2）甲，乙两人相约跑步，甲从。处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从4处出发，沿正南方向匀速直线运动.甲的

速度是乙的速度的及倍.两人同时出发，在A8上某处相遇.当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小

数点后一位）

【答案】（1）1.2千米（2）3.7千米

【详解】（1）解：如图所示，过点。作于点与过点C作C/_LDE于点尸,

第18页共45页

北

由题意知，ZA=60°,AO=6,

AE=4O.cosZA=6x[=3,DE=AD-sinZ4=6x—=3>/3,

22

BE=AB-AE=7-3=4,

DE工AB,CF工DE,ABYBC,

.,・四边形8CFE是矩形，

二CF=BE=4,

CFA.DE,ZFCD=45°,

二△。尸。是等腰直角三角形，

CF=DF=4,

•••EF=DE-DF=373-4«1.2,

即4与C之间的距离为1.2千米；

（2）解：如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，

北

•••甲的速度是乙的速度的右倍，两人同时出发,

・••甲的路程是乙的路程的血倍，

,•DG=\f2AG，

设AG=x,则。G=VIr，

：.GE=AG-AE=x-3,

在RJGED中，由勾股定理得GE2+O£2=OG2,

A(X-3)2+(3>/3)2=(V2x)\

解得玉=3>/5-3^3.7,七=一34一3(舍)，

即当两人相遇时，乙一共跑了3.7千米.

12.小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行.如图4,B,C,。是四个必打卡的景点，而且

沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：AfOfAfA和南环线AfAfCfA,其中8在A的

正东方向5km处，C在A的南偏东15。方向，。也在8的南偏西30。方向，/）在4的北偏东60。方向.（参考数据：

6=1.73,瓜x2.45）

（1）求南环线的长度（结果保留小数点后一位）；

（2）小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点人出发，小黄在4-8途中发现小月的相机电池落在自

己背包里了，于是小黄决定到8之后前往。与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为6:5,结果

两人同时到达景点。（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度.（结果保留小数点后一位）

【答案】（1）18.0km⑵16.8km

【详解】（1）解：过点A作于点E,如图:

北

西

.♦.NC44=90°-15°=75。、z64BC=90o-30°=60°>ZAEB=Z4EC=90°

ZC=180°-ZBAC-ZABC=45°,

AE=ABsin60°=5x^.=^,

BE=ABCQS(^Q=5X-=-

2222

5x/3

亚厂

AE25展

AC=---------==------

sin45°y/22

tan45012

V

an"acu5505x/6uru5x1.735x2.451OM/1\

「・AB+BC+AC=54F-------1-------=5+2.5H-------------1-----------*18.0(km),

22222')

答：南环线的长度为18.0km；

(2)解：过点。作OF_LA4的延长线于点尸，如图所示：

第20页共45页

...4=90。、ZmB=90°-60°=30°,

设小黄步行速度为6xkm/h,则小月步行速度为5xkm/h,两人步行时间为1小时,

...ZDAF=30°,

ADF=^-AD.AF=—AD,

22

BF=AF-AB=—AD-5,

2

\21

在RtaBO尸中，由勾股定理得，BD2=

AD-5+1-2AD

由于小黄与小月两人同时到达景点。.

.5+BDAD

贝IJ-7—=—，

6x5x

整理得，4。=等-5

...（竿_51=停35H.j,

解得AO=刿巴㈣，

II

2502-5⑹

6x------——-30（12-5>/3）

BD=------------------------5=—-------L-5

511

因此北环线的长度为人。+8。+八8=25X（12；X1.73）+30'（121叫_5+5=16.8（km）

答：北环线的长度为16.8km.

13.“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，重庆市少年儿童图书馆焕新亮相于重庆园博园附近.如图，A、3、C、。

在同一平面内.图书馆8在A的东北方向上，且在少年宫C的北偏西60。方向上，园博园正门。在力的正南方向;千

4

米处，旦在少年宫C的南偏西60。方向I千米处.（参考数据：］.41，6^1.73,>/6»2.45）

(1)求图书馆8与少年宫C之间的距离(结果保留根号)；

(2)小依和小钟相约图书馆8阅读，小依从少年宫C出发，沿着C8方向匀速运动，同时小钟从园博园正门。出发,

3

沿北偏东某方向匀速直线运动，两人在C8上某处相遇后再一起前往图书馆8.已知小钟速度为小依速度的'倍,

求两人的相遇点距目的地A的距离.(结果保留小数点后两位)

【答案】(1)8。=^^(2)0.24

：如图，过C作力于E,过B作4〃_LCE于/，过A作AG_L4产于G,则四边形AG在:为

西本东

60i°r

60!

/.AG=FE,AE=GF,

3

由题意可得，ZBAG=45°,NBCE=NDCE=30°,AD=-,CD=l,

，RtZ\COE中，cosZDCE=cos30°=—,sinZDC£=sin30°=——,

CDCD

.43_CE1_DE

••--=---，~—"9

2121

解得CE=®,DE=g,

22

311

：.GF=AE=AD-DE=-一一=-,

424

;□△ABG中，Um/BAG=tan450=—,

AG

：.AG=FE=BG,

设4G=^E=8G=x,则CF=CE-EF=B-X,BF=BG+GF=-+x,

24

BF

•••「△A8G中，/BCE=30。,tanZ^CE=tan300=—,

C/,

第22页共45页

1

1BF4+XC

:,BC=2BF『,-=^-=-t

----x

2

解得Y

•••8C=2"」+2x」+2x土避==心

2284

(2)解：设两人在C8上的点M相遇后再一起前往图书馆3,过M作MHJLCE于H,过D作DN上MH于N,则

四边形及M/E为矩形，

:.DE=HN=[DN=EH,

2

设小依运动路程CM=m,

3

,・•小钟速度为小依速度的彳倍，

3

，小钟运动路程DM=-m,

2

CH

•••RIZXMC”中，Z^CE=30°,cosZfiCE=cos30°=—