2025年西藏自治区中考数学试卷（试卷+解析）

2025年西藏自治区初中学业水平考试

数学

注意事项：

1.全卷共8页，三大题，满分120分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项最符合题目要求，不选、错选或多选均不得分.

1.18的绝对值是（）

A.18B.-18C.—D.

1818

2.下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（）

A.田B.忌C.赛D.马

3.截至2024年，西藏自治区图书馆的藏书量已超过5（）0000册.数据50（）000用科学记数法表示为（）

A0.5xlO6B.5xl05C.5xl04D.50xl04

4,下列运算正确的是（）

2325

AX+X=XB.（X）=XC.ZYs\lO/D（中）2=。2

5.如图，△XBC为等腰三角形，48=点力是8c延长线上的一点，乙4C。=110。，则N4的度数

为（）

B.55°C.40°D.35°

6.若代数式万7有意义，则实数x的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2

直径力B=6,8C是O。的弦，若/B=60。,则公的长为（）

B.4nC.2兀D.兀

8.一个三角形花坛的面积是6m2,它的一边。（单位：m）是这边上的高力（单位：m）的函数，此困数的

3.99,5.999,〃个数是（）

A.2〃一0.1”B.2〃+1—0.1”

C.21+0.9"D.2/z-l-0.1n

10.如图，在正方形45CO中，AB=6,点E是8c的中点，把△力8E沿力E折置，点8落在点E处,

延长E/交CO于点G,连接4G,则4G的长为（）

A.*B.2C.2710D.472

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11.分解因式：X2-4=.

12.一家鞋店在一段时间内销售J'某款女鞋50双，各种尺码的销售量如表所示:

尺码/cm2222.52323.52424.525

销售量/双247191062

根据上述信息，在鞋的尺码组成的数据中，众数是

r)p2AF

13.如图，点。，E分别是V/BC边力8，4C上的点，且D«BC,若一=-,则一的值是

BC3EC

14.如图，在平面直角坐标系中，直线48交k轴于点4(1,0),交y轴于点8(0,2),以原点。为圆心,

适当长为半径画弧，交x轴于点C,交y轴于点。，分别以点C,。为圆心，大于g。。的长为半径画

弧，两弧在第一象限内交于点石，作射线交48于点区则点尸的坐标是.

15.如图，在菱形48c。中，ZABC=60°,AB=4,连接8。，点尸是8。上的一个动点，连接4,

PC,则4+P9+PC的最小值是.

三、解答题：本大题共10小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.计算：22-45m30。+(乃+1)°—4.

23

17.解分式方程：--=--

人+1X

2x+1>x-l©

18.解不等式组：”c\c八并把解集在数轴上表示出来.

3（x-2）<x+2②

-5-4-3-2-1012345

19如图，AB=DC,AC=DB.求证：dABCHDCB.

20.某校希望进一步提窗学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生

进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组:

A：0<x<15；B：15Kx<30：C：30Kx<45；D：45Kx<60；E：60<X<75

现将调查结果绘制成两幅不完整的统订图.

请根据统计图信息，解答下列问题:

（I）本次调查的样本容量是，并将频数分布直方图补充完整;

（2）若该校共有学生3000人，请根据调杳结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的

学生有多少人？

（3）已知X组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好

抽到1名男生和1名女生的概率.

21.用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知。C=6cm,求四边形48co

的面积（结果保留根号）.

A

△

(1)⑵

22.如图，44是OO的直径，点。在。。上，ACAB=60°,过点C的切线交8%的延长线于点。.求

证：CD=CB.

23.如图，在四边形力BCD中，.4。〃8C,8C=24O,点E是3C的中点，且力。平分/D4E.

（1）求证：四边形力。。£是菱形;

（2）已知48=3,AE=2,求线段4c的长.

24.2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱.某

服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：

款式成本（元/件）售价（元/件）

坪7001000

乙8001200

根据以上信息，解答下列问题:

（1）列方程（组）解应用题

若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服

装各多少件？

（2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎.工厂计划生产甲、乙两款服装共500件,

要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍.假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利

润?

25.已知抛物线歹=QV+以-4过点力（TO）,8（机,0）,与N轴交于点C.点4是x轴正半轴上的动点,

点?是抛物线在第四象限图象上的动点，连接8C,AF,且力/交N轴于点。，交BC于点、E.

（1）当〃7=3时，求抛物线的解析式；

（2）如图1,在（1）的条件下，若/CDE=NCED,求直线力尸的解析式;

（3）要使得=成立，请探索用的取值范围（直覆写出结果）；

（4）如图2,NDCE=NDEC,当，〃为何值时，。。的长度等于1?

2025年西藏自治区初中学业水平考试

数学

注意事项：

1.全卷共8页，三大题，满分120分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项最符合题目要求，不选、错选或多选均不得分.

1.18的绝对值是（）

A.18B.-18C.—D.

1818

【答案】A

【解析】

【分析】该题考查了绝对值，根据一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，求

解即可.

【详解】解：18的绝对值是18,

故选：A.

2.下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（）

A.田B.忌C.赛D.马

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键.

根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴

对称图形）依次对各选项逐一判断，据此解答即可.

【详解】解：A.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；

B.该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C.该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D.该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意.

故选：A.

3.截至2024年，西藏自治区图书馆的藏书量已超过500000册.数据500000用科学记数法表示为()

A.0.5xlO6B.5xl05C.5xl04D.50xl04

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中1:问＜10,〃为

整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.作此题时，要表示为4X10〃的形式，其中14同＜10,〃

为整数，在确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同，当原数绝对值210时，〃是正整数，当原数绝对值＜1时，〃是负整数.

根据500000=5x105,即可得到答案.

【详解】解：500000=5x10'.

故选：B.

4.下列运算正确的是()

A.x+x=x2B.(X3)2=X5C.2X25X2=\0X2D.(^)2=x2;；2

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了累的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法，熟练掌握累的乘方、积的乘方、

同类项的合并、单项式乘法的运算法则是解题的关键.

分别运用幕的乘方、积的乘方、同类项的合并、单项式乘法计算，即可判断.

【详解】解：A、x+x=2x,错误，该选项不符合题意：

B、(?)2=x6,错误，该选项不符合题意；

C、2/.5/=10/,错误，该选项不符合题意；

D、(xy)2=x2y2,正确，该选项符合题意；

故选：D.

5.如图，△Z6C为等腰三角形，=点。是8C延长线上的一点，N4CO=110。，则4的度数

为()

A

D

A.70°B.55°C.40°D.35°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理.，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义

可得4B=NACB=180°-ZACD=70°,再利用三角形外角的性质可得/A=NACD-即可求解.

【详解】解：・・・45=/C,

・•・4B=NACB,

VZJCD=110°,

・•・/B=Z.ACB=180°-NACD=70°,

由三角形的外角性质，得：z/?+zj=z^cn=iio°,

工乙”4c0-4=40。.

故选:C.

6.若代数式万7有意义，则实数x的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大亍等于0进行

求解即可.

【详解】解：.・•代数式JT7在实数范围内有意义，

2—xN0，

故选：D.

7.如图，在O。中，直径4B=6,8c是。。的弦，若/B=60。,则7干的长为（）

B

Q

A.6兀B.4nC.2nD.兀

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长.熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键.连接OC,由

圆周角定理可得/力OC=2/8=120。，再求出半径04=3,根据弧长公式计算求解即可.

/AOC=2ZB=\20°,

•・・直径48=6,

:.0A=3,

.—1VNT12071x3

・・,4C的长为〔Qi=2瓦♦

1oU

故选:C.

8.一个三角形花坛的面积是6m2,它的一边。（单位：m）是这边上的高力（单位：m）的函数，此函数的

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键.根据三角形的

面积公式，得到一边。和高〃之间的关系式，再结合人的范围逐项判断即可.

【详解】解：由题意得,。/7=6,

2

・・・。与〃的函数关系式为〃二岁，

h

・••此函数是一个以力为自变量的反比例函数，

••.边上的高为人，

工力＞0,

故选：B.

9.观察下列一组数：1.9,3.99,5.999,7.9999,9.99999,…按此规律,第〃个数是（）

A.2〃-0.1"B,2〃+1-0.1"

C.2//-1+0.9?,D.2〃-1-0.1"

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键.该组数的规律从

两方面分析：①整数部分：每次增加2：②小数部分：每次增加一个9,据此即可得到答案.

【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2,则第〃个数整数部分是2〃-1,

小数部分每次增加一个9,则第〃个数小数部分有〃个9,

・•・第〃个数小数部分是1—0.1",

・•・第〃个数是2〃—1+1—0.1"=2〃一0.1"，

故选：A.

10.如图，在正方形48CQ中，48=6,点E是8C的中点，把△48E沿4E折叠，点8落在点尸处，

延长小交。。于点G,连接4G,则4G的长为（）

AD

必一老~~'C

A.3亚B.2C.2710D.472

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性

质，由折叠的性质易知证明Rt/R7gRt"OG(HL),设CG=x,则

DG=6-x,由勾股定理得到EC2+CG2=EG2,求出。G,最后利用勾股定理即可求解.

【详解】解：•・•四边形48CO为正方形，

/.AB=BC=CD=AD=6,/BAD=Z.B=/BCD=Z.D=90°»

由折叠的性质易知△[*AFE,

：・4F=AB=6,NAFE=NB=90。,

AAF=AD=6,NAFG=Z£)=90°,

又・FG=4G,

・•・FG=DG.

•・•£为8c边的中点，

ABE=CE=-BC=3.

2

设CG=x,则。G=6—x,

:•FG=DG=6-x,EG=EF+FG=3+6—x=9-x»

在RsECG中，EC2+CG2=EG2»

.•，32+X2=(9-X)2,

解得x=4,

CG=4,

・•・DG=6-4=2,

・•・AG=y]AD2+DG2=2Vi0.

故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11.分解因式：X2-4=.

【答案】(工+2加-2)

【解析】

【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项,

符号相反.该题直.接利用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】解：X2-4=(X+2)(X-2).

故答案为：卜+2)(.丫一2).

12.一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋50双，各种尺码的销售量如表所示:

尺码/cm2222.52323.52424.525

销售量/双247191062

根据上述信息，在鞋的尺码组成的数据中，众数是

【答案】23,5

【解析】

【分析】本题考查众数的意义，熟练掌握众数的求法是解题关键.根据众数的意义解答即可.一组数据中

出现次数最多的数据叫做众数.

【详解】解：观察数据可得：23.5出现的次数最多，出现了19次，

；・众数是23.5.

故答案为:23.5.

nr2AF

13.如图，点。，上分别是V力BC边力8,4c上的点，且。若则)的值是

RC3EC

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基太定理是解此

题的关键.根据题意先证得V4DE和V/3c相似，进而列出对应线段的比例关系，再将力E与4c之间的

Ap

数量关系进行转化后代入正中即可求出结果.

【详解】解：:DE^BC,//=N4,

A/XADEs/\ABC,

DEAE

~BC~7C

V—=-,AC=AE+EC,

BC3

DEAE2

:.——=——=-，

BCAC3

2

：.3AE=2AC,即/£=—4C,

3

2

.AE_AE-AC

―-----=2

9~EC~AC-AE2，

AC--AC

3

即导.

故答案为：2.

14.如图，在平面直角坐标系中，直线48交x轴于点4(1,0),交y轴于点8(0,2),以原点。为圆心,

适当长为半径画弧，交x轴于点C,交y轴于点。，分别以点C,。为圆心，大于;的长为半径画

弧，两弧在第一象限内交于点£,作射线OE交力8于点凡则点少的坐标是.

【解析】

【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判

定与性质，过点/作RG_Lx轴于点G,根据题意可得。9平分/4。3,易证△OG/7是等腰直角三角

j(7FG

形，得到OG=bG,再证明易证△ARGs△力BO,推出——=—,即

AOOB

AO-OG=OG求出°G，即可得到点尸的坐标♦

AOOB

方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法.用到了函数与方程

的思想，解题关键是确定0E所在直线的解析式为N=x,易错点是联立方程求解时计算出错.

首先，利用直线上两点/。,0)和8(0,2),用待定系数法求出直线48的解析式y=-2x+2.然后，根据

作图步骤可知OE是/力。8的角平分线，因为//。8=90。，所以OE所在直线的解析式为，二'.最

y=-2x+2

后，求直线48与。£的交点，联立它们的解析式｛,解方程组得到交点坐标，也就是点尸的

八x

坐标.

【详解】解法一：解：如图，过点尸作尸Glx轴于点G,

根据题意得。/平分NAOB，Z.AOB=90°,

•・/BOF=Z.AOF=45°,

：FGLOA,即NFGO=/尸G4=90。,

,・NOFG=45。,

•・AOG/是等腰直角三角形，

•・OG=FG,

・•/AOB=NFGA=90。,

•・OB//FG,

•・AAFGSAABO,

AGFGAO-OGOG

*.--=----,即nil----------=----,

AOOBAOOB

.AO-OGOG

・AO~~OB，

・・4(1,0),5(0,2),

•・04=1,OB=2,

1-OGOG

:.------=——，

12

:.0G=—,

3

：.FG=OG=-

3t

(22、

：•点F的坐标为—

(33；

故答案为:Ft-

解法二：解：•.•4(1,0),8(0,2),设直线的解析式为：y=kx+by

k+b=0

,V

"2，

{k=-2

解得：kr，

b=2

直线45的解析式为：y=-2x+2,

♦.♦。£是N4O8的角平分线，ZAOB=90。,

OE所在直线的解析式为，=x.

联立方程组：

y=-2x+2

y=x

将P=X代入y=-2x+2中，得到：

x=-2x+2,

解得x=2.

3

•・・j=x,

2

“3

22

所以，直线N=-2x+2与x的交点户的坐标为

(22

故答案为：

(33

15.如图，在菱形Z3CO中，ZABC=60°,AB=4,连接BQ,点尸是8。上的一个动点，连接4,

PC,则4+P8+P。的最小值是—

【答案】473

【解析】

【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质.通过将力2

绕点力顺时针方向旋转60。的点P',此时证明△Q/P'和△C/P全等后找到对应的线段，PA+PB+PC

的最小值即为点&p,P,。四点共线时，线段的长度即为所求.

【详解】如图，将线段力。绕点力顺时针方向旋转60。，得到线段/尸‘，连接4C,DP',PP',

由题意知，在菱形NBCQ中，ZABC=ZADC=60°,AB=BC=CD=AD,

和△力CQ为等边三角形.

NO力0'+NP'AC=AP'AC+ZCAP=60°,

二々DAP'=NO4P,

在△。4P和△OP中，

DA=AC

•ZDAPr=/CAP,

APf=AP

・•・ADAPWAC4P（SAS）,

:・PA+PB+PC=P'D+PP'+BPNBD,即点&P',P,。四点共线时，P4+P8+PC的最小,

此时最小值BD的长度为4G.

故答案为：4G.

三、解答题：本大题共10小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.计算：22—45抽30。+(〃+1)°一〃.

【答案】1

【解析】

【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零次塞，平方根等，解题的关键是熟练掌握

各运算法则.利用特殊角的三角函数值，零次轻，平方根的运算法则进行计算即可.

【详解】解：22-4sin30o+(^+l)°->/4

=4-4xl+l-2

2

=4-2+1-2

=1.

23

17.解分式方程：--=-

x+1x-1

【答案】x=-5

【解析】

【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤.根据解分式方程的步骤求解

即可.

23

【详解】解：--=--

x+1x-1

两边同乘以(x+l)(x-l)，得2(x-l)=3(x+l),

去括号，得2x—2=3x+3,

移项并合并同类项，得-工=5,

解得x=—5,

检验：当工二一5时，(x+l)(x-l)工0,

故原分式方程的解是x=-5.

2x+1>x-l®

18.解不等式组：小■入并把解集在数轴上表示出来.

3(x-2)<x+2②

-5-4-3-2-1012345

【答案】-2<x<4,在数轴上表示见详解

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练

学握解一元一次不等式.

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即

可.

2x+l>x-l®

【详解】解:

3(x—2)<x+2②

由①得：x>-2,

由②得：x<4,

所以不等式组的解为-2<x<4.

在数轴上表示为:

-5-4-3-2-1012345

19.如图，AB=DC,AC=DB.求证：△AB8XDCB.

【答案】证明见详解

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理SSS,通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即

可.在V/8C和△QC3中，已知48=。。，AC=BD,同时还隐含条件8C=8c这条公共边，此时

满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等.

【详解】证明：在V/4。和△OC8中，

4B=DC

,AC=DB,

BC=CB

:.△ABCBeCB(SSS).

20.某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生

进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：

A：0<x<l5；B：15<x<30；C：30<x<45；D：45<x<60；E：60<x<75

现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图.

请根据统计图信息，解答下列问题：

（1）本次调查的样本容量是,并将频数分布直方图补充完整：

（2）若该校共有学生30（）0人，请根据调杳结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的

学生有多少人？

（3）已知力组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好

抽到1名男生和1名女生的概率.

【答案】（1）60,频数分布直方图见详解

2

（2）1200人（3）-

3

【解析】

【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重更不遗漏地列出所有

可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点

为：概率=所求情况数与总情况数之比.也考查了频数分布直方图.

（1）由8的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出。组的人数，将频数分布直方图补充完整即可;

（2）由该校学生总人数乘以每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生所占的百分比即可.

（3）画树状图，共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，再由概率公式求

解即可;

【小问1详解】

解：本次调查的样本容量是：6・10%=60,

则力组的人数=60-3-6-9-24=18,

将频数分布直方图补充完整如下：

【小问2详解】

该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人.

【小问3详解】

解：画树状图如图:

开始

男女女

AAA

女女男女男女

共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，

・••伶好抽到1名男生和I名女生的概率为±=

63

故答案为：—.

3

21.用一副直角二角板按图（I）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知OC=6cm,求四边形力8co

的面积（结果保留根号）.

【蟀析】

【分析】本题考查了利用30。，45°,60。的特殊直角三角形拼接图形计算面积及勾股定理，需熟练掌握相

关的知识点是解此题的关键.通过理解30。，45°,60。的特殊直角三角形的性质，并根据已知条件通过勾

股定理求出对应的边长后再分别将两个三角形的面积求出之后即可得出四边形的面积.

【详解】解：由题意知，△力4。是底角为45。的等腰直角三角形，△4OC是带30。角的直角三角形,

：・/ABD=NADB=45。,AB=AD,NCBO=3()。，

,:DC=6cm,

:,在.RsBDC中,BC=2CD=12cm»

・•・BD=^BC1-CD1=正―?=66cm，

在出△45。中，AB=JBD=3娓cm，

2

*,•$四边形=S^ABD+S&BCD=24B'+]BD•DC

=-x3V6x3V6+-x6V3x6=274-18^(cm2),

22

即四边形ABCD的面积为(27+18j^cm?.

22.如图，43是OO的直径，点C在OO上，/.CAB=60°,过点C的切线交比4的延长线丁点。.求

【解析】

【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、

“等角对等边”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键.

连接OC,则。。=04,因为NC/8=60。，所以△NOC是等边三角形，则/。。。=60。，所以

ZB=-ZCOD=30°,由切线的性质得208=90。，则/。=90。一/。。。=30。，所以=

2

即可证明CO=C".

【详解】证明：连接OC,则00=04,

•••ZCJZ?-60°,

・•・△40。是等边三角形，

Z.C0D=60°,

Z2?=-ZC(9Z)=30o,

2

・・・CQ与OO相切于点C,交友的延长线于点。，

:.CD1OC,

NOCQ=90。，

ZZ)=90°-ZCOZ)=30°,

:.乙B=4D,

CD=CB.

23.如图，在四边形中，49〃8C,8C=21O,点E是4C的中点，且4C平分/。力£.

AD

BEC

(1)求证：四边形4DCE是菱形：

(2)已知力8=3,AE=2,求线段4C的长.

【答案】(1)见详解(2)不

【解析】

【分析】(1)先证明四边形ZECD为平行四边形，再由等腰三帝形的判定求得=EC,进而由菱形的

判定定理得结论；

(2)根据(1)可得CE=8£=4£=2,BC=4,证明N8/C=90。，再根据勾股定理求解即可.

【小问1详解】

证明：•・•点七是3C的中点，

:.BC=2CE,

V3C=2AD,

CE-AD,

VAD//BC,

・•・四边形4EC。为平行四边形，

,/AD//BC,

・•・ADAC=/ACE,

•・•，4。平分NDAE,

・•・/DAC=ZEAC，

・•・/ACE=ZEAC,

AE=CE»

・•・平行四边形4ECD为菱形；

【小问2详解】

解：・・FE=2,

根据（1）可得C£=8E=/E=2,BC=4,

；・4ACE=/EAC,/ABE=NEAB,

•・•/ACE+/ABE+ZEAC+ZEAB=180°,

・•.LBAC=NEAC+NEAB=90°,

•；,48=3,

・•・AC=>jBC2-AB2=A/42-32•

该题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识

点，解题的关键是掌握以上知识点.

24.2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱.某

服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：

款式成本（元/件）售价（元/件〕

年7001000

乙8001200

根据以上信息，解答下列问题：

（1）列方程（组）解应用题

若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服

装各多少件？

（2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎.工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，

要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍.假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利

润?

【答案】（1）生产甲、乙两款服装分别为100件，200件；

（2）生产甲款服装334件，生产乙款服装166件，可获得最大利润.

【解析】

【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方

程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键.

（1）设生产甲、乙两款服装分别为X件，y件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列

方程组解题即可；

（2）设生产甲款服装册件，则生产乙款服装（500-〃?）件，获得的总利润为十元，根据甲款服装的数量

至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出华500,再列出函数关系式，结合，〃为正

3

整数，根据函数的增减性解答即可.

【小问1详解】

解：设生产甲、乙两款服装分别为X件，N件，

x+y=300

根据题意得

700x+800y=230000

x=100

解得:

歹二200

答：生产甲、乙两款服装分别为100件，200件:

【小问2详解】

解：设生产甲款服装，”件，则生产乙款服装（500-m）件,

m>2(500-m)

根据题意得《

m<500

解得^5«〃ZW5OO,

设获得的总利润为"元,

.・・犷=(1000-700)W4-(1200-800)(500-7/7)=-100m+200000,

V-100<0,且m为正整数,

・•・当〃7=334时，最大利润为%=—100x334+200000=166600（元）,

则500—334=166（件。

答：生产甲款服装334件，生产乙款服装166件，可获得最大利润.

25.已知抛物线》=依2+加一4过点4（-1,0）,8（叽0）,与N轴交于点C.点8是x轴正半轴上的动点,

点?是抛物线在第四象限图象上的动点，连接4C,4尸，且力广交V轴于点。，交4。于点

图1图2

(1)当〃7=3时，求抛物线的解析式；

(2)如图1,在(1)的条件下，若NCDE=NCED,求直线力产的解析式；

(3)要使得=成立，请探索小的取值范围(直谡写出结果)；

(4)如图2,ZDCE=4DEC,当〃［为何值时，。。的长度等于1?

4)8

【答案】(1)y=-xz一一x-44

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