武科大冶金传输原理课件08相似原理与模型研究方法

2026/6/71第八章相似原理与模型研究方法相似原理解决的问题如何组织实验如何整理实验结果如何推而广之2026/6/72概述一研究自然现象的两种方法1数学分析法：

写出反映现象的各物理量间的微分方程式，并根据定解条件对微分方程求解，找出现象各物理量间的常量规律性关系，其解是精确的。缺点是：实际问题中能够采用此法的不多。大多数问题没有解或者是解不出。2科学实验法：

直接通过实验的方法，寻求各物理量之间的常量规律性关系。该法的缺点是：局限性大，一些实验的结果只能应用于特定的条件或与实验条件完全相同的现象中。2026/6/73以相似理论为基础的模型实验法是前两种方法的综合。二同类现象、类似现象、同类量1同类现象：描述现象的微分方程形式相同，且物理属性也相同的现象。如水和空气在管道中的流动现象即为同类现象。类似现象：描述现象的微分方程形式相同，但物理属性不同的现象。如粘性动量传输和电量的传输，他们的微分方程形式相同，但物理属性不同。同类量：量纲相同的物理量叫同类量，如长度和直径、动量和应力等都属于同类量。2026/6/748.1相似的概念源于几何中的相似三角形的概念。

式中的c为相似倍数。叫几何相似倍数。Cll3〞l2〞l1〞h〞A1〞A2〞l3′l2′l1′h′A1′A2′2026/6/75可充分证明三角形是相似的，（当不一定都必要），上三角形只需具备充要条件，即可定出其相似性。相似的概念可推广到物理现象的相似物理现象：机械能相似（力均匀的相似，v,p....)热相似（温度场）电相似（电场）化学相似（浓度场）

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1〞2〞3〞1〞2〞3〞2026/6/77

原型模型2026/6/788.2对现象的一般数学描述及单值条件描述流体流动的现象可用连续性方程N-s方程上方程可描述各种流动现象，针对具体现象的特征，需以‘单值条件’为附加条件。单值条件：几何条件实物与模型的形状，尺寸。物理条件ρ，c,μ……速度场，温度常等边界条件边界上的温度场。粗糙度等初始条件从时间上限制现象的形式（对稳定态无影响）单值条件一旦给定，则具体的流动状态就确定了，单值条件相似的流动现象是相似的。2026/6/79流体流动过程中相似准数的导出

在动量，热量，质量传输中有很多相似准数，导出方法有如下四种：1、相似转换法即由微分方程经相似倍数的转换而获得。2、因次分析法

由于准数是一无量纲数群，即从量纲的分析而得。3、力的对比法

此法在动量传输中用得较多，力和力的比值即为一无量纲数群。4、派生法准数的组合亦是一个准数。2026/6/710

相似转换法设原、模型中有不可压缩流体作非稳定的等温流动，它们是在几何相似的设备中流动，流动中无源，无轴功。单值性条件给定，质量力只有重力。其控制方程分别为：2026/6/711各物理量间的相似倍数为：进行相似转换可得：2026/6/712与第一组方程比较可得：上式说明各相似倍数间的关系均相等，(不是相似指标)只有为1时即为相似指标。对于A，B两项有：如果是稳定流动该项失去意义。2026/6/713对于B、C两项有：Fr叫弗鲁德准数，物理意义为重力与惯性力之比。对于B、D两项有：2026/6/714Eu

叫欧拉准数。物理意义为压力和惯性力的比值。对于B、E两项有：Re即为雷诺准数，物理意义为惯性力与粘性力之比。注意到每一个准数均为B项和其它各项相等而得出，也就是说独立的准数有四个，它们是：Re；Ho；Fr；Eu

相似转换法导出准数的步骤:１、写出现象的微分方程及单值性条件；２、写出各相似倍数2026/6/715３将相似倍数关系代入其中的一个方程进行相似转换，并与另一个方程比较，得出相似倍数间的关系式４得出相似指标并得出相似准数。５用同样的方法从单值性条件中得出相似准数。2026/6/716

相似三定理相似第一定理：彼此相似的现象必定具有数值相同的同名准数。该定律指出了模型实验中要测量的数据，即所测定的物理量、包含在有关的相似准数中。及给出了两现象相似的结论。相似第二定理：若两同类现象的同名准数在数值上相等且单值性条件相似，则该两现象相似。该定律指出了实验结果应用的范围和如何判断两现象是否相似。相似第三定理：描述某现象的各种量之间的关系可表示成相似准数之间的函数关系式（准数方程式），即：π１＝ｆ（π２，π３，π４…πｎ）2026/6/7178.4量纲分析因次分析及π定理因次及因次和谐原理因次分析法确定相似准数对工程实际中过于复杂的现象和过程各物理量的关系还不能用具体的方程或函数关系式来描述时，通常是将各量写成一不定函数的形式。

f(x1,x2,.....xn)=0或：x1=Φ（x2,x3,.....xn）

因次分析是根据因次和谐原理提出的，即不论上式函数形式如何，等式两边的量纲总是一样的。

函数的具体形式虽然不知道，但因任何函数都可展开为幂级数，故可认为这一函数是许多项（无限项）之和，其中每一项是各变量的n次幂的乘积。最简单的关系式只含有其中一项。2026/6/718例：当流体流经几何相似的圆管时，已知其压力损失与密度ρ,速度v,粘度μ，长度l，和直径d，有关，试证明压力损失的合理表达式为：解：据已知条件有：(1)函数关系式写成指数的形式完全是人为的，也可以写成其它的形式，如三角函数等。写出式（1）的量纲关系式为：据因次和谐原理，等式两边相同量纲的指数应该相等，即：2026/6/719M:1=a+f(1)L:-1=-3a+b+c+e-f(2)T:-2=-c-f(3)解此方程组，∵有五个未知数，只有三个方程，则有两个解不出，一般只解含有基本量纲且互为独立的量，这里这三个互为独立的量为ρ，v，l（d），其它的则不解，以待定的形式出现，即只解a,c,e即可，由式（1）得：a=1-f(4)(2)得:e=-b-f(5)(3)得：c=2-f

(6)将（4）（5）（6）式代入原始方程得：将指数相同的量合并得：2026/6/720依实验确定：f、b各指数及常数c，即可确定准数方程式如：管内层流时f=1b=1c=32用因次分析法获得准数的步骤：1写出影响因数的函数式，一般写成幂指数的形式。2解出含有基本量纲的指数，一般解出ρ，v，l（d）3合并指数相同的量，并凑成准数。2026/6/7218.4.5相似准数的派生相似准数的乘积仍是相似准数，如：

相似准数乘以无量纲的数仍是相似准数，如：Ar称为阿基米德数，它表示由于流体密度差引起的浮力与粘性力的比值

Gr称为格拉晓夫数，它表示气体上升力与粘性力的比值

2026/6/7228.5模型研究法讨论相似原理的目的是做模型实验，即对新设计或需改进的设备模拟为较小的模型（冷态）实验，而模型是否与原型相似则基于相似原理。、模化的条件1几何相似（是两现象相似的充要条件）2物理条件相似。即物理量的相似3初始条件和边界条件相似

4决定性准数相等实际上，如果要完全满足上述条件实际中有时是很困难的，或者是不可能的，如用空气模化燃烧室内的烟气的流动时，要保证模型中的μ，ρ值与实物中的μ，ρ值完全相似是非常困难的，（实物中是不均匀的）。此外，对于不可压缩粘性流体的稳定流动，2026/6/723同时保证模型与原型中的Re和Fr相等时，在模型和原型的几何尺寸不是1:1时，是很难实现的。二、近似模化法

即在进行模型实验时分清主要因素和次要因素，模化中忽略次要因素，由此产生的误差很小，可以忽略不计，如强制流动时可以忽略重力的影响即可以略去Fr，自然流动时可以忽略Re的影响。三、流动的稳定性与自模化

1、稳定性

粘性流体在管道中流动时，不管入口处速度分布如何，流经一段距离后，速度分布的形状就固定下来了，这种特性叫稳定性。流体在复杂的管道中的流动亦是如此，故在进行模型实验时，只要在模型入口前的一段为几何相似的稳定段，就可保证进口速度分布相似，同样出口只要保证出口通道的几何相似即可，速度分布亦是相似的。2026/6/724

2、自模化性

流体的流动状态由雷诺数确定，当Re小于某一数据时，流体呈层流流动，速度分布均彼此相似，即只要是层流流动，不管雷诺数是多少，速度分布均为抛物线分布（管内流动），我们把此值叫第一临界值，将Re<第一临界值的范围叫第一自模区。

当Re大于某一数值（临界值）时，流体为湍流流动，此后不管Re的数值增加多少，速度分布均是相似的，此时的Re值叫第二临界值，将Re大于第二临界值的范围叫第二自模区。

流体在第一自模区和第二自模区间的流动即为过渡状态，此时的速度分布与Re密切相关，Re的影响不容忽略.实践证明，只要速度分布相似就能保证其运动相似，当实物中的Re处于同一自模区内，则模型中的Rem就不一定要求与原型的相等。2026/6/725说明：第一临界雷诺数即常用的临界值，即对于管内流动为2300，平板为5×105，第二临界值则由试验确定，常用两种方法，一是当流量增加时 Re不变，二是当Re增加时，Eu不变，第二种方法最为常见。四、近似模化的条件：

1、模型与原型（实物）几何相似

2、模型与原型的初始条件相似，而不必要求入口边界条件相似。

3、各物理量在对应的点相似。如果是冷态实验，则需对实验结果加以修正。4、模型与原型处于同一自模区，而不必保证Re相等。只要保证满足上述条件，就可保证近似模化。2026/6/726例：研究炉内气体的压力场、速度场（近似模化法）当用20℃空气模化1300℃炉气2026/6/727例：新设计一个换热器，钢管直径为50mm，空气预热温度400℃，此时υ=64.9×10-6m2/s，当v0=10m/s（标态）时试通过模型测定气流速度分布并计算压头损失。解：此现象为强制稳定流动，Re为决定性准数，Fr可忽略不计，准数方程式为：

Eu=f(Re)

为便于观察，用有机玻璃按1/2的比例作一与原型相似的模型。（比例可任意选定）

废气空气烟气空气2026/6/728用20℃的水代替400℃的空气进行模化。20℃时水的υ=1.01×10-6m2/s，计算Re∵vo是在0℃时的空气的流速，故当t=400℃时,

空气的流速为：v=v0(1+βt)=10(1+400/273)=24.6n/sRe=vd/υ=24.6×0.05/(64.9×10-6)=19000>2300

为湍流流动。第二自模区的确定：经实验测得当Re增加到3000以后，再增加Re时，Eu不变，即当Re>3000后即为第二自模区，故实验中的Rem可不必与原型中的Re相等，可在>3000内任选，这里取Re=5000，即：

ReEu3×1031×1032026/6/729

Rem=vmdm/υm=5000dm=d/2=0.025m∴vm=5000×υm/dm=5000×1.01×10-6/0.025=0.202m/s由于粘度是20度的值，故速度也是20度的值，可见，模型中可用较小的速度，便于观察还可以减小水的流量。

压力降的确定：据Eum=Eu

来确定，测得模型的△p=13.8mmH2O查得：20℃时水的密度