2026年山东省青岛市西海岸新区中考（一模）九年级数学试题 含答案

/一、单选题

1.2026的绝对值是（

）A.±2026 B.2026 C.−2026 D.12026

2.书法是我国传统文化的重要组成部分．下列是“马年吉祥”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（

）A. B. C. D.

3.石墨烯是一种由单层碳原子构成的二维材料，其理论厚度仅为0.00000000335m，是目前已知最薄的材料之一．将0.00000000335A.33.5×10−11 B.3.35×10

4.下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（

）A. B. C. D.

5.下列运算正确的是（

）A.m6÷m4=m2 B.m2+m3=m6.我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则还差8两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为x人，银两为y两．根据题意可列方程组为（

）A.y=7x−4y=9x+8 B.y=7.求一组数据方差的算式为：s2A.n的值是4B.该组数据的平均数是6C.该组数据的方差是0.5D.若该组数据加入数6，则这组新数据的方差变大

8.如图，⊙O是ΔABC的内切圆，∠BOC=117∘A.54∘ B.55∘ C.56∘

9.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB//x轴，交y轴于点P．将ΔOAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90∘A.3,−1 B.−1,−3 二、填空题

10.因式分解2x

11.若点A7,y1，B4,y2都在函数y=−4x

12.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为________．

13.如图，在ΔABC中，∠C=30∘，AB=12，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点

14.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上一点，连接DE，把∠C沿DE折叠，使点C落在点C处，当ΔBEC

15.已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a<0）过−1,0和m,0两点，且3

16.【构建新定义】

在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”．

【理解新定义】

(1)如图1，在ΔABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，且DE//AC，DF//AB．请写出图中的一对以BC所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：____．

【应用新定义】

(2)如图2，在ΔABC中，点D，E分别是AB,AC的中点，连接DE，过点A作BC的垂线，垂足为F，交DE于点M，过点E作BC的垂线，垂足为N，ΔADM与ΔNPE互为“镜移三角形”，若ΔPEN的面积为2，则ΔABF的面积为____．

【拓展新定义】

(3)如图3，在矩形ABCD中，AB=8，AD三、解答题

17.已知：如图，E，F分别是∠BAC两边AB，AC上的点，连接EF．求作：⊙O，使⊙O满足以线段EF为弦，且圆心O到

18.化简和解不等式组：（1）2（2）1x

19.《出圉图》现藏于故宫博物院，为元代画家任仁发精心创作．此图以唐代为灵感源泉，将历史与艺术完美融合．2026年3月3日，中国邮政发行了《出圉图》特种邮票，一套三枚（如图，分别记为A，B，C）．将这三枚邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上．

（1）从中随机抽取一张，则抽取的邮票恰好是C的概率为

；（2）从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率．

20.为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，小明想测量斜坡CB上树EF的高度，测得树根部E到坡脚B的距离BE为5米，斜坡BC的坡度为34，小明在距离B点1米远的D处测得树顶点F的仰角为53∘，树EF，斜坡BC的剖面，点D在同一平面上，树EF与地面AD垂直，求树EF的高度．（结果精确到0.1米．）（参考数据：sin53∘≈0.80

21.“七秩问天路携手探九霄”，2026年恰逢中国航天事业创建70周年．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，举行了航空航天知识竞赛，竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．学校随机抽取部分学生的成绩（用x表示），分为四组：A组60≤x<70，B组70≤x<80，C组80≤x<

60708090七年级12a4八年级2256【描述数据】【分析数据】

平均数中位数众数方差七年级8587b66.93八年级85c8989.33根据以上信息解决下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是

​∘（3）填空：b=

；c（4）该校有300名七年级的学生和330名八年级的学生参加此次竞赛，请估计所有参赛学生中不低于80分的人数．

22.科技改变生活，随着自动驾驶技术的不断升级，对高精度传感器的需求日益增加．某自动驾驶技术公司需要采购A，B两种型号的激光雷达传感器．已知用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等，且B型激光雷达传感器的单价比A型激光雷达传感器的单价多400元．（1）求A，B两种型号激光雷达传感器的单价各是多少元？（2）该公司需要购买A，B两种型号的激光雷达传感器共20个，且购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍．求购买A，B两种型号的激光雷达传感器各多少个时，总费用最少？总费用最少是多少元？

23.如图，在▫ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，DM∥AE，交EF的延长线于点M．（1）求证：ΔAEF（2）已知

（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AEDM的形状，并证明你的结论．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

条件①：AE平分∠BAD；

条件②：AD

24.某智慧网球馆部署了AI鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点O正上方2米的A点将球击出，球在距离发球点A水平距离6米处达到最高，最高点距离地面3.5米．在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球与原点的水平距离．

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知球网高1.07米，发球点A到球网的水平距离为13米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到0.01米）（3）鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点16米处准备接球．已知小亮的有效接球高度范围为56米至136米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动d米（0<

25.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6．点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动；点Q同时从点B出发，沿BC方向以每秒2个单位长度的速度向点C运动．当点Q到达点C时，P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒（0<t≤3）．连接PQ，将线段PQ绕点P按逆时针方向旋转90∘得到线段PE，PE与（1）当EQ∥CD时，求（2）设四边形APQF的面积为S，求S关于t的函数表达式；并求出四边形APQF面积的最小值；（3）是否存在某一时刻t，使得线段EQ经过点D？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

答案与试题解析一、单选题1.【正确答案】B【考点】求一个数的绝对值略

此题暂无解答2.【正确答案】C【考点】轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.解：A、B、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形；

C选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.3.【正确答案】B【考点】用科学记数法表示绝对值小于1的数本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法形式为a×10n，要求满足1解：0.000000000335=3.354.【正确答案】D【考点】简单几何体的三视图找到从物体正面、左面和上面看得到的图形完全相同的几何体即可．解：A．四棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误；B．圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；

C．圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；

D．球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确．

故此题D．5.【正确答案】A【考点】同底数幂的乘法幂的乘方同底数幂的除法运算合并同类项此题暂无解析解：∵m6÷m4=m2，

∴A计算正确.

∵m2,m3不是同类项，无法合并，

∴B6.【正确答案】D【考点】古代问题(二元一次方程组的应用)本题考查了二元一次方程组的应用，设客人为x人，银两为y两，根据题意列出方程y=解：设客人为x人，银两为y两，

根据题意得y=7x7.【正确答案】A【考点】方差求一组数据的平均数本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法。解：∵方差算式中共有4个平方项，

∴n=4，A选项说法正确，不符合题意；

原数据为7，6，5，6，计算平均数得：

x=7+6+5+64=244=6，

∴B选项说法正确，不符合题意；

计算原方差得：s2=1478.【正确答案】A【考点】与角平分线有关的三角形内角和问题三角形内心有关应用根据三角形内角和定理可得∠OBC+∠OCB解：∵∠BOC=117∘，

∴∠OBC+∠OCB=180∘−∠BOC=63∘，

∵⊙O是9.【正确答案】A【考点】正多边形和圆根据旋转的性质求解解直角三角形的相关计算坐标与旋转规律问题先求得∠AOP=30∘，OA=2，然后利用解直角三角形求得点A坐标，接着求出第1次旋转后A1解：∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，

∴AB=CD=EF=AF=2，∠AOF=360∘6=60∘；

∵OA=OF，

∴△OAF是等边三角形，

∴OA=OF=AF=2，

∵∠POF=90∘，

∴∠AOP=30∘，

∵AB//x轴，∠POF=90∘，

∴∠APO=二、填空题10.【正确答案】2x【考点】提公因式法与公式法的综合运用此题暂无解析解：2x2−4x+2

=2x11.【正确答案】＞【考点】判断反比例函数的增减性判断反比例函数图象所在象限比较反比例函数值或自变量的大小根据反比例函数的性质，当k＜0时，图象过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，再结合两点横坐标的大小

即可.解：∵y=-4x，其中k=-4＜0，

∴图象过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，

∵点A(7,y_{1})，B(4,y_{2})的横坐标均为正，两点都位于第四象限，且7＞4，

∴y_{1}＞y_{2}$.

12.【正确答案】75【考点】平行线的性质由平角等于180∘结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出

解：如图，

∵∠2+60∘+45∘=180∘，

∴∠2=13.【正确答案】2π【考点】求弧长切线的性质连接OD，根据切线的性质得到∠ABC=90∘，根据直角三角形的性质求出∠BAC解：如图，连接DO，

∵BC与半圆O相切于点B，

∴∠ABC=90∘

∵∠C=30∘,

∴∠BAC=90∘−30∘=14.【正确答案】3或3【考点】矩形与折叠问题勾股定理的应用分情况讨论：当∠BC′解：如图1，当∠BC′E=90∘时，

图1

∵矩形ABCD中，AB=3，AD=BC=4，

∴BD=AB2+AD2=32+42=5

∵把∠C沿DE折叠，使点C落在点C处，

∴∠DC′E=∠C=90∘CE=C′EDC′=DC=3

∵∠BC′E=15.【正确答案】【答案】②\textcircled{4}$【考点】二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质根据二次函数的图象判断式子符号抛物线与x轴的交点根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，逐一判断各结论即可。解：∵抛物线y=ax2+bx+c过−1,0和m,0两点，3<m<4，

∴抛物线对称轴为直线x=−1+m2，

∵3<m<4，

∴1<−1+m2<32，即对称轴x=−b2a>0，

∵a<0，

∴b>0，

∵抛物线开口向下，与x轴交点为−1,0和m,0，x=0在两根之间，

∴x=0时，y=c>0，

∴abc<0，故①错误。

将−1,0代入y=ax2+bx+c得：a−b+c=0，即b=a+c，

∵x=3在两根之间，开口向下，

∴x16.【正确答案】【考点】与三角形中位线有关的求解问题矩形的性质根据成轴对称图形的特征进行求解相似三角形的性质与判定根据“镜移三角形”的定义判断即可；

（2）根据“镜移三角形”的定义和相似三角形的性质可得ΔABF的面积；

（3）两个三角形可以通过平移重合，首先两个三角形要是全等三角形，其次要两个三角形对应边平行且方向相同或者在一条直线上，或者是两个三角形对应点的连线平行且相等，据此即可求解.

解：如图所示，作△DEF′与△DEF关于BC成轴对称，连接AD、FF’，连接EE'交BC于点H，

∵△DE′F′≅△DEF

∴E′F′=EF,

点D是BC的中点，

∵DE//AC,DF//AB,

∴BD=CD,

∴BDCD=BEAE,CBBD=CFAF,

∴点E为AB中点，点F为AC中点，

∴BDCD=BEAE,CDBD=CFAF,

∵AB=AC点D是BC的中点，

∴AD⊥BC,

∵E′E⊥BC,E′E=2EH,

∵△DEF′与△DEF关于BC对称，

∵EH是△ABD的中位线，

∴AD=2EH

四边形AFEFD是平行四边形，

∴AE=DE′

可得：F′F∥AD,F′F=AD,AF=DF′,

∴△DE′F′≅△AEF（SSS），且对应点的连线互相平行且相等，即EE∥DA∥F′F，EE=DA=FF，

将△DE′F′沿着DA方向平移DA的长度即可与△AEF重合，

∴ΔAEF与△DEF是一对以BC所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”.

(2）解：∵△ADM与△NPF互为“镜移三角形”

解：∵ΔADM与ΔNPE互为“镜移三角形”

∴S△ADM=SΔPEN=2,

∵SΛPFN=2,

∴ΔADM≅ΔNPE,

图2

∵点D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，AD=12A

∴DE//BC,

∴△ADM三、解答题17.【正确答案】【考点】尺规作图——确定圆心角平分线的性质尺规作图——作角平分线略

此题暂无解答18.【正确答案】−1【考点】分式的混合运算求不等式组的解集（1）根据不等式组的解法步骤求解即可；（2）根据分式的混合运算求解即可.（1）解：

解不等式①得x>−2，

解不等式②得x<9，（2）解：原式=x+y−19.【正确答案】11【考点】根据概率公式计算概率列表法与树状图法（1）直接根据概率公式解答即可；（2）根据题意，列出表格，可得共有6种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是A和B的有2种结果，即可求解.（1）解：由题意可得，从中随机抽取一张，则抽取的邮票恰好是C的概率为1（2）解：列表如下:

ABCA(B,A)(C,A)B(A,B)(C,B)C(A,C)(B,C)

共有6种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是A和B的有2种结果.

∴抽到的两张邮票恰好是A和B的概率为1320.【正确答案】3.7米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题勾股定理的应用解直角三角形的应用-仰角俯角问题延长FE交AB于点M，则FM⊥AB，根据tan∠EBM=3解：延长FE交AB于点M，则FM⊥AB，

在RtΔBEM中，∠EMB=90∘tan∠EBM=34

∴MEBM=34

设EM=3x，BM=4x

由勾股定理得，EM2+BM2=E21.【正确答案】a=8，见解析120b=87，c=89482人【考点】求扇形统计图的圆心角频数（率）分布直方图由样本所占百分比估计总体的数量中位数（1）根据频数之和等于样本容量，确定a=（2）根据圆心角的计算方法求解即可；（3）根据众数，中位数的定义求解即可；（4）利用样本估计总体的思想求解即可.（1）解：根据题意，得本次随机抽样的样本容量为15，且频数之和等于样本容量，故a=15-1-2-4=8，补全频数分布直方图如下：

七年级学生竞赛成绩的频数分布直方图

（2）解：根据题意，得360（3）解：根据题意，96，87，83，78，94，68，88，89，87，97，81，93，82，72，80中，87分出现的次数最多，故七年级成绩的众数为b=87分；

数据81，75，80，93，91，65，89，95，97，94，86，69，92，89，79排序如下：65，69，75，79，80，81，86，89，89，91，92，93，94，95，97,

根据题意，中位数是第8个数据，故c=89（分）（4）解：根据题意，得300×22.【正确答案】A型激光雷达传感器的单价是600元，B型激光雷达传感器的单价是1000元购进A型激光雷达传感器5个，则购进B型激光雷达传感器15个，总费用最少，总费用最少是18000元.【考点】一次函数的实际应用——利润问题用一元一次不等式解决实际问题（1）设A型激光雷达传感器的单价是x元，则B型激光雷达传感器的单价是x+400元，根据“用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买（2）设购进A型激光雷达传感器m个，根据“购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍”列不等式求出m的取值范围，设总费用为w元，求出w关于m的一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解即可.（1）解：设A型激光雷达传感器的单价是x元，则B型激光雷达传感器的单价是x+400元.

由题意得1800x=3000x+400

解得x=600

经检验，（2）解：设购进A型激光雷达传感器m个，则购进B型激光雷达传感器20−m个.

由题意得20−m≥3m

解得m≤5

设总费用为w元

w=600m+100020−m=−400m+20000

∵k=−400≤0

∴23.【正确答案】见解析选择条件①或②，四边形AEDM是矩形，见解析【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）证明四边形是矩形平行四边形的性质与判