2023-2024学年安徽省卓越县中联盟、皖豫名校联盟高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年安徽省卓越县中联盟、皖豫名校联盟高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z在复平面内对应的点的坐标为（5，12），则z的共轭复数z=A．5+12i B．﹣5+12i C．﹣5﹣12i D．5﹣12i2．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+3）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．∅3．（5分）已知向量a→=（﹣2，2），b→=（1，3），则（A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣44．（5分）某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为3m，底面边长是8m，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为（）A．48m2 B．80m2 C．100m2 D．144m25．（5分）已知复数z=5i1−2i+i5A．2 B．4 C．22 D．326．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，DE→=2EC→，F为线段BE的中点，若以AF→，BE→A．23AF→+34BE→ 7．（5分）若函数y＝cos（ωx+π3）（ω＞0）的图象向右平移2π3A．5 B．3 C．2 D．18．（5分）桦卯结构是中国古建筑的一种结构方式，桦卵连接方式的发明体现了中国古代劳动人民的智慧．图（1）所示的木楔是桦卵结构中常用的一种配件，某个木楔简化后的几何图形如图（2）所示．在几何体ABC﹣A1B1C1中，四边形BB1C1C为矩形，AA1，BB1，CC1都与底面ABC垂直，BC＝2，AA1＝3，BB1＝CC1＝4，直线AA1到平面BB1C1C的距离为3，则几何体ABC﹣A1B1C1的体积为（）A．8 B．11 C．14 D．18二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z＝（m2﹣4m﹣5）+（m2+3m+2）i在复平面内对应的点为Z，则下列结论正确的是（）A．若m＝﹣1，则z为纯虚数 B．若m＝﹣2，则z为实数 C．若m=32，则点Z在直线y＝﹣xD．若﹣2＜m＜5，则点Z在第三象限（多选）10．（6分）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年10%的比率衰减，则（）参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48．A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍 B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g C．t年后，这种放射性物质的质量为（500×0.9t）g D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年（多选）11．（6分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝3，CC1＝4，且AB⊥BC，P为BC1的中点，则（）A．三棱锥A﹣BCC1的体积为4 B．三棱锥C﹣APC1的体积为52C．四棱锥C1﹣ABB1A1的体积为8 D．三棱锥C1﹣ABC的表面积为14+213三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知函数f（x）=x2+1+3x+3﹣x，若f（2a）＝f（1﹣a），则13．（5分）在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2C=32sinAsinB，则ab14．（5分）在梯形ABCD中，AD＝2，AB＝23，BC＝4，AD∥BC，AB⊥BC，现将梯形ABCD以直线CD为轴旋转一周，则得到的几何体的体积为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量a→=（2t﹣1，1），b→（Ⅰ）若a→∥b→，求实数（Ⅱ）若a→⊥b→，求实数（Ⅲ）若a→与b→的夹角为钝角，求实数16．（15分）已知复数z1满足z1i＝2+i，z2满足z2−2+2i=（Ⅰ）求z1，z2，|z1|，|z2|；（Ⅱ）分别求z1•z2，z117．（15分）已知函数f（x）＝tan（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期为（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（α）=32，α∈（−π6，π18．（17分）已知一个球在一个体积为16的正三棱柱的内部，且与三棱柱的各面均相切，求正三棱柱的表面积与球的表面积．19．（17分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2csinBcosC＝（2a+c）sinC．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若3asinC＝1，求△ABC面积的最小值．

2023-2024学年安徽省卓越县中联盟、皖豫名校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z在复平面内对应的点的坐标为（5，12），则z的共轭复数z=A．5+12i B．﹣5+12i C．﹣5﹣12i D．5﹣12i【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】D【分析】根据复数的几何意义求解．【解答】解：由题可知z＝5+12i，所以z的共轭复数z=5﹣12i故选：D．2．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+3）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．∅【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算．【答案】A【分析】先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+3）（x﹣2）＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，则A∩B＝{1}．故选：A．3．（5分）已知向量a→=（﹣2，2），b→=（1，3），则（A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】C【分析】由平面向量数量积的坐标运算计算即可求得．【解答】解：因为a→=（﹣2，2），所以a→+b所以(a故选：C．4．（5分）某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为3m，底面边长是8m，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为（）A．48m2 B．80m2 C．100m2 D．144m2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱锥的结构特征．【答案】B【分析】利用勾股定理求出斜高，然后求出侧面积即可．【解答】解：设该正四棱锥的斜高为h，∵高为3m，底面边长是8m，∴根据勾股定理得h=32+(∴该正四棱锥的侧面积为S＝4×12×5×8＝80（∴需要油毡的面积为80m2．故选：B．5．（5分）已知复数z=5i1−2i+i5A．2 B．4 C．22 D．32【考点】复数的模．【答案】C【分析】化简复数z，可求它的模长．【解答】解：复数z=5i1−2i+i5=则|z|＝|2+6i1−2i|=|2+6i||1−2i|故选：C．6．（5分）如图，四边形ABCD为平行四边形，DE→=2EC→，F为线段BE的中点，若以AF→，BE→A．23AF→+34BE→ 【考点】平面向量的基本定理．【答案】C【分析】由平行四边形性质及向量线性运算即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC→∵DE→=2EC∵F是BE中点，∴FB→∵BC→故选：C．7．（5分）若函数y＝cos（ωx+π3）（ω＞0）的图象向右平移2π3A．5 B．3 C．2 D．1【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】B【分析】首先利用三角函数图象的平移变换求出y＝cos（ωx−23ωπ【解答】解：函数y＝cos（ωx+π3）（ω＞0）的图象向右平移2π3个单位长度，得到y＝cos（ωx−由于得到的函数图象与函数y＝cos（ωx+π故ωx−23ωπ+π3=ωx+π3+整理得：ω＝﹣3k，由于ω＞0，当k＝﹣1时，ω的最小值为3．故选：B．8．（5分）桦卯结构是中国古建筑的一种结构方式，桦卵连接方式的发明体现了中国古代劳动人民的智慧．图（1）所示的木楔是桦卵结构中常用的一种配件，某个木楔简化后的几何图形如图（2）所示．在几何体ABC﹣A1B1C1中，四边形BB1C1C为矩形，AA1，BB1，CC1都与底面ABC垂直，BC＝2，AA1＝3，BB1＝CC1＝4，直线AA1到平面BB1C1C的距离为3，则几何体ABC﹣A1B1C1的体积为（）A．8 B．11 C．14 D．18【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】B【分析】将几何体ABC﹣A1B1C1被分割为四棱锥A1﹣EB1C1F与直三棱柱ABC﹣A1EF，分别求出体积即可．【解答】解：如图，作A1E∥AB，A1F∥AC，E，F分别在棱BB1，CC1上，连接EF，则几何体ABC﹣A1B1C1被分割为四棱锥A1﹣EB1C1F与直三棱柱ABC﹣A1EF，∵点A1到平面BB1C1C的距离为3，∴四棱锥A1﹣EB1C1F的高为3，又四边形EB1C1F的面积为SE∴VA所以AA1，BB1，CC1都与底面ABC垂直，∴AA1＝3，即为直三棱柱ABC﹣A1EF的高，而S△ABC∴VABC−A1EF=AA1故几何体ABC﹣A1B1C1的体积为2+9＝11．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z＝（m2﹣4m﹣5）+（m2+3m+2）i在复平面内对应的点为Z，则下列结论正确的是（）A．若m＝﹣1，则z为纯虚数 B．若m＝﹣2，则z为实数 C．若m=32，则点Z在直线y＝﹣xD．若﹣2＜m＜5，则点Z在第三象限【考点】复数对应复平面中的点．【答案】BC【分析】结合复数的概念，复数的几何意义，依次求解．【解答】解：z＝（m2﹣4m﹣5）+（m2+3m+2）i，对于A，当m＝﹣1时，z＝0，故A错误；对于B，m＝﹣2，则z＝7，故B正确；对于C，m=3则z=−35故点Z在直线y＝﹣x上，故C正确；对于D，当m＝0时，满足﹣2＜m＜5，但z＝﹣5+2i，点Z（﹣5，2）在第二象限，故D错误．故选：BC．（多选）10．（6分）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年10%的比率衰减，则（）参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48．A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍 B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g C．t年后，这种放射性物质的质量为（500×0.9t）g D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年【考点】根据实际问题选择函数类型；指数函数的实际应用；对数的运算性质．【答案】CD【分析】根据对数函数的性质和运算法则求解即可．【解答】解：对于A，10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.9倍，故A错误；对于B，2年后，这种放射性物质的质量为500×（1﹣0.1）×（1﹣0.1）＝405（g），故B错误；对于C，t年后，这种放射性物质的质量为500×（1﹣10%）t＝500×0.9t（g），故C正确；对于D，500×0.9t＝250，即0．9t=12，等式两边同时取以10为底的对数得到tlg0.9＝﹣lg故选：CD．（多选）11．（6分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝3，CC1＝4，且AB⊥BC，P为BC1的中点，则（）A．三棱锥A﹣BCC1的体积为4 B．三棱锥C﹣APC1的体积为52C．四棱锥C1﹣ABB1A1的体积为8 D．三棱锥C1﹣ABC的表面积为14+213【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】ACD【分析】对于A，B，C利用等体积转化法，结合体积公式即可求解；对于D，先证明△ABC1是直角三角形，再计算各三角形面积即可．【解答】解：对于A，VA−BCC1对于B，VC−APC1=VA−PCC1，而三棱锥A﹣∵P为BC1的中点，∴S△PC∴VA−PCC1对于C，VC1−AB对于D，由题可知，AC=13，AC1=∴AB∴△ABC1是直角三角形，即AB⊥BC1，∴三棱锥C1﹣ABC的表面积为：S△ABC+S故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知函数f（x）=x2+1+3x+3﹣x，若f（2a）＝f（1﹣a），则a＝【考点】函数的奇偶性；函数的值．【答案】13【分析】先判断函数的奇偶性，结合偶函数的对称性即可求解．【解答】解：因为f（x）=x2+1+3x所以f（﹣x）=1+(−x)2+3﹣x+3x=x2+1+3x故f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，若f（2a）＝f（1﹣a），则|2a|＝|1﹣a|，解得，a=13或故答案为：1313．（5分）在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2C=32sinAsinB，则ab的取值范围是（【考点】解三角形；正弦定理．【答案】（12【分析】由条件及正弦定理可得c2=32ab，由A为锐角，由余弦定理可得b2+32ab−a2【解答】解：由条件及正弦定理可得c2=因为a2+b因为A为锐角，由余弦定理得cosA=b所以b2+32ab−a22bc＞0所以2(a又ab所以0＜a同理，由B为锐角可得ab所以12＜ab＜2故答案为：（1214．（5分）在梯形ABCD中，AD＝2，AB＝23，BC＝4，AD∥BC，AB⊥BC，现将梯形ABCD以直线CD为轴旋转一周，则得到的几何体的体积为28π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】28π．【分析】过D作DM⊥BC于M，可求得∠BCD=60°，∠ADC=120°，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，可求得AE，DE，BF，FC，DC，进而可求得旋转体的体积．【解答】解：如图，过D作DM⊥BC于M，由AD＝2，AB=23，BC＝4，AD∥BC，AB⊥BC可得BM＝2，MC＝2，又AB=23，可得∠BCD=60°，∠ADC=120°过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，可得∠ADE=60°，易得AE=3，DE＝1，BF=23，FC＝2，所以将梯形ABCD以直线CD为轴旋转一周得到的几何体的体积为：V=13π×3×[（3）2+3×23+（23）2]+13π×（23）2×2−1故答案为：28π．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量a→=（2t﹣1，1），b→（Ⅰ）若a→∥b→，求实数（Ⅱ）若a→⊥b→，求实数（Ⅲ）若a→与b→的夹角为钝角，求实数【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】（Ⅰ）t＝1或−1（Ⅱ）t=1（Ⅲ）{t|t＞13且【分析】（Ⅰ）结合向量共线的性质，即可求解；（Ⅱ）结合向量垂直的性质，即可求解；（Ⅲ）结合平面向量的数量积运算，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若a→∥b→，a→=（2t﹣1，1），则（2t﹣1）（﹣t）＝1×（﹣1），解得t＝1或−1（Ⅱ）若a→⊥b则（2t﹣1）•（﹣1）+1•（﹣t）＝1﹣3t＝0，解得t=1（Ⅲ）若a→与b则a→⋅b→=1−3t＜0故t＞13且所以实数t的取值范围为{t|t＞13且16．（15分）已知复数z1满足z1i＝2+i，z2满足z2−2+2i=（Ⅰ）求z1，z2，|z1|，|z2|；（Ⅱ）分别求z1•z2，z1【考点】复数的运算．【答案】（Ⅰ）z1＝1﹣2i，z2＝4i，|z1|=5，|z2|＝4；（Ⅱ）（8，4）；（−12【分析】（Ⅰ）分别化简复数z1，z2，进而求出模长；（Ⅱ）分别求出z1•z2，z1【解答】解：（Ⅰ）由题意，z1=2+ii=(2+i)⋅ii2=1﹣2i，z2＝（1﹣i）（﹣2+2i）＝4i，则|z（Ⅱ）z1•z2＝（1﹣2i）•4i＝8+4i，在复平面内对应的点的坐标为（8，4）；z1z2=1−2i17．（15分）已知函数f（x）＝tan（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期为（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（α）=32，α∈（−π6，π【考点】正切函数的单调性和周期性；三角函数的周期性．【答案】（Ⅰ）（−5π12+kπ2，π（Ⅱ）−2【分析】（Ⅰ）结合正切函数的周期公式先求出ω，然后结合正切函数的单调性即可求解；（Ⅱ）由已知可先求出tan（2α+π3）【解答】解：（Ⅰ）由题意得，πω所以ω＝2，f（x）＝tan（2x+π令−π2+kπ＜2x+π3则−5π12+kπ2＜x故函数的递增区间为（−5π12+kπ2，π（Ⅱ）因为f（α）＝tan（2α+π3）=32，α∈（所以0＜2α+π所以cos（2α+π3）所以sin（2α−π6）＝sin（2α+π3−18．（17分）已知一个球在一个体积为16的正三棱柱的内部，且与三棱柱的各面均相切，求正三棱柱的表面积与球的表面积．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】正三棱柱的表面积为243，球的表面积为163【分析】设正三棱柱的底面边长为a，球的半径为R，由题意得正三棱柱