2023-2024学年北京师大附属实验中学高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年北京师大附属实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．如图，E，F分别是长方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱AB，CD的中点，则等于（）A． B． C． D．2．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（）A．30° B．150° C．60° D．120°3．抛物线x2＝ay的焦点坐标为（0，1），则其准线方程为（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．y＝﹣1 D．y＝14．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．则与分别等于（）A．和 B．和 C．和 D．和5．设椭圆的两个焦点为F1，F2，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，如果|AB|＝8，那么|AF2|+|BF2|的值为（）A．2 B．10 C．12 D．146．抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为（）A．4 B．2 C．1 D．7．若双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F（3，0）到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为棱DD1的中点，点Q为面ADD1A1内一点，B1Q⊥AP，则（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．经过点（3，a），（﹣2，0）的直线与直线x﹣2y+3＝0垂直，则a＝．10．已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k），若α∥β，则k＝．11．已知两圆C1：x2+y2+2x+3y+1＝0和C2：x2+y2+4x+3y+2＝0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为．12．设，分别是空间两直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成角的大小为．13．已知P（2，3）是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为．14．设点F1，F2分别为椭圆C：＝1的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得＝m成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为．三、解答题（本大题共3小题，共30分）15．已知△ABC的顶点A（8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），求经过两边AB和AC中点的直线的方程．16．已知直线l：x+my﹣3＝0，圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝9．（1）若直线l与圆相切，求m的值；（2）当m＝﹣2时，直线l与圆C交于点E、F，O为原点，求△EOF的面积．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，AD＝2，M为BC的中点．（1）求证：AD∥平面PBC；（2）求平面PAM与平面PCD所成的角的余弦值．四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）18．在空间直角坐标系中，已知点A（1，m，1），B（﹣1，1，2），C（3，﹣2，1），D（1，﹣3，2），若A，B，C，D四点共面，则m＝．19．已知双曲线的右焦点为F，过点F作x轴的垂线l，l在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于A，B两点．若，则双曲线的离心率为．20．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，点P在侧面A1ABB1上．若点P到直线AA1和CD的距离相等，则A1P的最小值是．21．在平面直角坐标系中，到两个点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离之积等于4的轨迹记作曲线Ω，对于曲线Ω及其上一点P，有下列四个结论：①曲线Ω关于x轴对称；②曲线上有且仅有一点P，满足|PA|＝|PB|；③曲线Ω上所有的点的横坐标，纵坐标y∈[﹣1，1]；④|PA|+|PB|的取值范围是．其中，所有正确结论的序号是．五、解答题（本大题共3小题，共34分）22．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，点E在棱BB1上．（1）求证：A1C1⊥DB1；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得DB1⊥平面EA1C1，并给出证明．条件①：E为BB1的中点；条件②：BD1∥平面EA1C1；条件③：DB1⊥BD1．（3）若E为BB1的中点，且点D到平面EA1C1的距离为1，求BB1的长度．23．已知椭圆Γ：的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，，四边形A1B1A2B2的周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点F为椭圆Γ的左焦点，点T（﹣3，m），过点F作TF的垂线交椭圆Γ于点P，Q，连接OT与PQ交于点H．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．24．n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组（a1，a2，…，an）称为一个n维向量，其中ai（i＝1，2，…，n）称为该向量的第i个分量．特别地，对一个n维向量，若|ai|＝1，i＝1，2…n，称为n维信号向量．设，，则和的