2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1．直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l的方程为（）A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y﹣3＝0 D．x﹣y+3＝02．设a∈R，则“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（）A．x2+y2﹣4x﹣2y﹣1＝0 B．x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0 C．x2+y2﹣4x﹣2y＝0 D．x2+y2﹣2x﹣4y＝04．已知方程表示的曲线是椭圆，则t的取值范围为（）A．（4，7） B．（7，10） C．（4，10） D．（4，7）∪（7，10）5．已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8y+7＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切6．抛物线y＝x2上的一动点M到直线l：x﹣y﹣1＝0距离的最小值是（）A． B． C． D．7．直线l过抛物线y2＝2x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2＝3，则弦AB的长是（）A．4 B．5 C．6 D．88．我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝（）A．90° B．60° C．45° D．30°9．已知圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则|PM||AB|的最小值为（）A．4 B．2 C．3 D．510．已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（）A．±2 B．± C．± D．±311．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．12．曲线C是平面直角坐标系内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离之积等于4的点的轨迹，则①曲线C过原点；②曲线C关于原点对称；③若点P在曲线C上，则△PF1F2的面积不大于2；④曲线C与曲线有且仅有两个交点．其中正确命题的序号为（）A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13．已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，则p＝．14．已知双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝．15．圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为．16．设P为椭圆上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点O的轨迹方程为．17．若直线y＝kx﹣1与曲线y＝﹣有公共点，则k的取值范围是．18．在平面直角坐标系中，定义d（S，T）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点S（x1，y1），T（x2，y2）之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是．（填序号）①若A（0，0），B（1，1），则d（A，B）＝2；②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；③原点O与直线x﹣y+3＝0上任意一点M之间的折线距离d（O，M）的最小值为3；④原点O与圆（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1上任意一点M之间的折线距离d（O，M）的最大值为6+．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．20．设抛物线C的方程为x2＝y，点M为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点．21．已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|＝3．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意点到直线PA，PB的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆E：