2023-2024学年北京四中高三(上)开学数学试卷

2023-2024学年北京四中高三（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩（∁RB）＝（）A．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}2．在的展开式中，x3的系数为（）A． B． C．﹣40 D．403．已知a＝40.1，b＝20.6，c＝log40.6，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c4．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（）A． B． C． D．5．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是（）A．f′（1）＜f′（2）＜a B．f′（1）＜a＜f′（2） C．f′（2）＜f′（1）＜a D．a＜f′（1）＜f′（2）6．给出下面四个命题：①“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的充分而不必要条件；②“l⊥平面α”是“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件；③“a平行于b所在的平面”是“直线a∥直线b”的充要条件；④“直线a平行于α内的一条直线”是“直线a∥平面α”的必要而不充分条件．其中正确命题的序号是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④7．“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上．“苏州码子”计数方式如下：〡（1）、〢（2）、〣（3）、〤（4）、〥（5）、〦（6）、〧（7）、〨（8）、〩（9）、〇（0）．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑刻着“〩〢”，则从A点到B点里程碑的个数应为（）A．29 B．30 C．58 D．598．在△ABC中，若＝，则△ABC为（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．已知函数f（x）＝，若对于任意正数k，关于x的方程f（x）＝k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无数10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与曲线y＝x3从左至右依次交于A，B，C三点．若直线l：kx﹣y+3＝0（k∈R）上存在点P满足||＝2，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，2） B． C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．若复数z满足，则z的虚部为．12．已知||＝1，||＝6，•（﹣）＝2，则向量与向量的夹角是．13．角α的终边与单位圆的交点A位于第一象限，其横坐标为，那么sinα＝，点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为，则点B的横坐标为．14．抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝AD＝1，动点E，F分别在线段AB和CC1上．给出下列四个结论：①；②△D1EF不可能是等边三角形；③当D1E⊥DF时，D1F＝EF；④至少存在两组E，F，使得三棱锥D1﹣DEF的四个面均为直角三角形．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（共6小题，共85分）16．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，对角面AA1C1C是矩形，且平面AA1C1C⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：侧棱AA1⊥平面ABCD；（Ⅱ）设AC∩BD＝O，若AB＝AA1，求二面角D﹣OB1﹣C1的余弦值．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角A的大小；（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：a＝7，b＝8条件②：，a＝7条件③：，c＝8注：如果选择的条件不符合要求．第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务，赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务．（Ⅰ）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；（Ⅱ）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）；（Ⅲ）已知在2.7万名志愿者中，18～35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18﹣35岁人群其它人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为p0，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）19．设函数f（x）＝﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．20．已知椭圆C：+＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．21．正实数构成的集合A＝{a1，a2，⋯，an}（n≥2），定义A⊗A＝{ai⋅aj|ai，aj∈A，且i≠j}．当集合A⊗A中的元素恰有个数时，称集合A具有性质Ω．（Ⅰ）判断集合A1＝{1，2，4}，A2＝{1，2，4，8}是否具有