2023-2024学年北京五十五中高一(上)期中数学试卷

2023-2024学年北京五十五中高一（上）期中数学试卷一、选择题8小题，每小题5分，共40分1．（5分）设非空集合P，Q满足P⊆Q，则表述正确的是（）A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∈P，有x∈Q C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q2．（5分）不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（）A．R B．∅ C．{x|﹣3＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}3．（5分）设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是（）A．＞ B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．a+c＞b+d4．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x+1，则当x＜0时，f（x）的表达式为（）A．f（x）＝﹣x+1 B．f（x）＝﹣x﹣1 C．f（x）＝x+1 D．f（x）＝x﹣15．（5分）下面各组函数中表示同一个函数的是（）A．f（x）＝|x|， B．f（x）＝x， C．，g（x）＝x+1 D．，6．（5分）若幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）xm在（0，+∞）单调递减，则m＝（）A．3 B．3，﹣2 C．﹣3，2 D．﹣27．（5分）“关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根”是“ac＜0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件8．（5分）已知函数y＝f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（2a﹣1）＜f（1﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（） B．（ C．（0，2） D．（0，+∞）二、填空题6小题，每小题5分，共30分9．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤0}，B＝{x|0＜x≤3}，则A∪B＝．10．（5分）函数的定义域为．11．（5分）函数y＝x（5﹣2x）（0＜x＜2）的最大值是．12．（5分）不等式的解集为．13．（5分）化简：＝（用分数指数幂表示）．14．（5分）已知f（x）是定义在[2b，1﹣b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f（x﹣1）≤f（2x）的解集为．三、解答题6小题，共80分15．（13分）已知A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|﹣3＜x≤3}．（1）求集合A；（2）求∁R（A⋂B），（∁RA）⋂B．16．（13分）已知函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x﹣3．（1）当a＝2，x∈[﹣2，3]时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）若函数f（x）在[1，3]上的最大值为1，求实数a的值．17．（13分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？18．（14分）已知函数．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）证明函数f（x）在[1，+∞）上是减函数；（Ⅲ）写出函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性（结论不要求证明）．19．（13分）已知二次函数f（x）＝x2+2ax+2．（1）若1≤x≤5时，不等式f（x）＞3ax恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞f（x）（其中a∈R）．20．（14分）记＝a1+a2+⋯+ak，at＝a1×a2×⋯×ak，存在正整数n，且n≥2．若集合A＝{a1，a2，⋯，an}满足at＝at，则称集合A为“谐调集”．（1）分别判断集合E＝{1，2}、集合F＝{﹣1，0，1}是否为“谐调集”；（2）已知实数x、y，若集合{x，y}为“谐调集”，是否存在实数z满足z2＝xy，并且使得{x，y，z}为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由；（3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M．

2023-2024学年北京五十五中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题8小题，每小题5分，共40分1．（5分）设非空集合P，Q满足P⊆Q，则表述正确的是（）A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∈P，有x∈Q C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用；全称量词和全称命题．【答案】B【分析】由已知结合集合的包含关系检验各选项即可判断．【解答】解：因为非空集合P，Q满足P⊆Q，若x∈Q，有x∈P不一定成立，A错误；所以∀x∈P，有x∈Q，B正确；若x∉Q，使得x∉P，若x∈P时，x∈Q一定成立，C，D错误．故选：B．2．（5分）不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（）A．R B．∅ C．{x|﹣3＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】C【分析】直接求解一元二次不等式即可．【解答】解：（x+1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜﹣1，∴原不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣1}．故选：C．3．（5分）设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是（）A．＞ B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．a+c＞b+d【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【答案】D【分析】对于A．B．C：取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时不成立．D．由不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：A．取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时不成立．B．取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时不成立．C．取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时不成立．D．由不等式的基本性质可得：a+c＞b+d．故选：D．4．（5分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x+1，则当x＜0时，f（x）的表达式为（）A．f（x）＝﹣x+1 B．f（x）＝﹣x﹣1 C．f（x）＝x+1 D．f（x）＝x﹣1【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】B【分析】根据函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x+1，要求x＜0时，f（x）的表达式，转化到x＞0时求解．【解答】解：当x＜0时，则﹣x＞0∵x＞0时f（x）＝﹣x+1，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）+1＝x+1，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x﹣1故选：B．5．（5分）下面各组函数中表示同一个函数的是（）A．f（x）＝|x|， B．f（x）＝x， C．，g（x）＝x+1 D．，【考点】判断两个函数是否为同一函数．【答案】A【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：】对于A，f（x）＝|x|，定义域为R，g（x）＝＝|x|，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f（x）＝x，定义域为R，g（x）＝＝x，定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）＝＝x+1，定义域为{x|x≠1}，g（x）＝x+1，定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）＝＝，定义域为{x|x≠0}，g（x）＝，定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数．故选：A．6．（5分）若幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）xm在（0，+∞）单调递减，则m＝（）A．3 B．3，﹣2 C．﹣3，2 D．﹣2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质．【答案】D【分析】由幂函数的区间单调性有，求参数值即可．【解答】解：由题设，则，可得m＝﹣2．故选：D．7．（5分）“关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根”是“ac＜0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】根据充分、必要性定义，结合根与系数关系判断条件间的关系即可．【解答】解：若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根，则Δ＝b2﹣4ac≥0，即b2≥4ac，但不一定有ac＜0，充分性不成立；若ac＜0，则Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根，必要性成立；所以“关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根”是“ac＜0”的必要非充分条件．故选：B．8．（5分）已知函数y＝f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（2a﹣1）＜f（1﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（） B．（ C．（0，2） D．（0，+∞）【考点】函数单调性的性质与判断．【答案】B【分析】利用函数y＝f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，将f（2a﹣1）＜f（1﹣a）转化为：2a﹣1＞1﹣a求解．【解答】解：函数y＝f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，则有：，解得：，故选：B．二、填空题6小题，每小题5分，共30分9．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤0}，B＝{x|0＜x≤3}，则A∪B＝{x|﹣2≤x≤3}．【考点】并集及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据并集的定义写出运算结果．【解答】解：集合A＝{x|﹣2≤x≤0}，B＝{x|0＜x≤3}，则A∪B＝{x|﹣2≤x≤3}．故答案为：{x|﹣2≤x≤3}．10．（5分）函数的定义域为{x|x＞﹣2，且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【答案】见试题解答内容【分析】要使函数有意义，只要，解出可得答案．【解答】解：要使函数有意义，须满足，解得x＞﹣2，且x≠1，故函数的定义域为{x|x＞﹣2，且x≠1}，故答案为：{x|x＞﹣2，且x≠1}．11．（5分）函数y＝x（5﹣2x）（0＜x＜2）的最大值是．【考点】二次函数的性质与图象．【答案】．【分析】方法一：将函数变形为，然后利用基本不等式可求出其最大值；方法二：将函数变形为，然后利用基本不等式可求出其最大值．【解答】解：方法一：，∵0＜x＜2，∴0＜2x＜4，1＜5﹣2x＜5，∴，当且仅当2x＝5﹣2x，即时取等号，故当时，．方法二：由0＜x＜2知，∴，当且仅当，即时取等号．故当时，．故答案为：．12．（5分）不等式的解集为．【考点】其他不等式的解法．【答案】．【分析】由分式不等式可得（x+2）（2x﹣1）＜0，解一元二次不等式求解集．【解答】解：由题设，所以不等式解集为．故答案为：．13．（5分）化简：＝（用分数指数幂表示）．【考点】有理数指数幂及根式．【答案】见试题解答内容【分析】化根式为分数指数幂，然后利用同底数幂的乘除运算化简求值．【解答】解：＝＝＝＝＝．故答案为：．14．（5分）已知f（x）是定义在[2b，1﹣b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f（x﹣1）≤f（2x）的解集为{x|﹣1≤x≤}．【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】{x|﹣1≤x≤}．【分析】由偶函数定义域的对称性可求b＝﹣1，从而可得f（x）在[﹣2，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，可求．【解答】解：∵f（x）是定义在[2b，1﹣b]上的偶函数，∴2b+1﹣b＝0，∴b＝﹣1，∵f（x）在[﹣2，0]上为增函数，∴f（x）在[0，2]上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，由f（x﹣1）≤f（2x）可得|x﹣1|≥|2x|，且﹣2≤x﹣1≤2，﹣2≤2x≤2，解得﹣1≤x≤，故不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．故答案为：{x|﹣1≤x≤}．三、解答题6小题，共80分15．（13分）已知A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|﹣3＜x≤3}．（1）求集合A；（2）求∁R（A⋂B），（∁RA）⋂B．【考点】补集及其运算．【答案】（1）A＝{x|﹣2＜x＜3}；（2）∁R（A∩B）＝{x|x≤﹣2或x≥3}，（∁RA）∩B＝{x|﹣3＜x≤﹣2或x＝3}．【分析】（1）解出一元二次不等式得到集合A即可；（2）由集合的交集与补集的运算求解即可．【解答】解：（1）因为A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，所以解不等式x2﹣x﹣6＜0可得：﹣2＜x＜3，故集合A＝{x|﹣2＜x＜3}（2）由（1）可知：A＝{x|﹣2＜x＜3}，又B＝{x|﹣3＜x≤3}，所以A⋂B＝{x|﹣2＜x＜3}，所以∁R（A∩B）＝{x|x≤﹣2或x≥3}．∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，（∁RA）∩B＝{x|﹣3＜x≤﹣2或x＝3}．16．（13分）已知函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x﹣3．（1）当a＝2，x∈[﹣2，3]时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）若函数f（x）在[1，3]上的最大值为1，求实数a的值．【考点】二次函数的性质与图象；函数的最值及其几何意义．【答案】（1）f（x）max＝15，f（x）min＝﹣；（2）．【分析】（1）当a＝2时，先将二次函数进行配方，然后求出对称轴，结合函数的图象可求出函数的最值．（2）根据二次函数的性质可知二次项的系数为正数，函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x﹣3的对称轴是x＝﹣a．进行分类讨论，分别求出函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值，再根据最值在定点处取得建立等式关系，解之即可．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2+3x﹣3＝（x+）2﹣，对称轴为x＝﹣＜3，∴函数在[﹣2，﹣]上单调递减函数，在[﹣，3]上单调递增函数，∴f（）≤y≤f（3），∴f（x）max＝f（3）＝15，f（x）min＝f（﹣）＝﹣．（2）解：函数f（x）的图象开口向上，对称轴为直线．①当时，即当时，函数f（x）在区间[1，3]上单调递增，此时f（x）max＝f（3）＝6a+3＝1，解得，合乎题意；②当时，即当时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以，．若，由f（x）max＝6a+3＝1，可得，不合乎题意；若，由f（x）max＝2a﹣3＝1，可得a＝2，不合乎题意；③当时，即当时，函数f（x）在[1，3]上单调递减，此时f（x）max＝f（1）＝2a﹣3＝1，解得a＝2，不合乎题意．综上所述，．17．（13分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【考点】基本不等式及其应用；根据实际问题选择函数类型．【答案】x＝40时，y有最小值297600．【分析】由水池的容积和高度求出底面积，一边长为x，用底面积除以x得另一边长．然后由矩形面积公式求出底面和侧面的面积，分别乘以造价作和后得总造价；利用基本不等式求函数的最值．【解答】解：水池容积为4800m3，深为3m，则底面积为1600m2，水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为m．水池的总造价等于池底造价150×1600与池壁造价120（6x+6×）的和．即y＝240000+720（x+）（x＞0）．y≥240000+720×2＝240000+720×2×40＝297600．当x＝即x＝40时，y有最小值297600．因此，当水池是底面边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．18．（14分）已知函数．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）证明函数f（x）在[1，+∞）上是减函数；（Ⅲ）写出函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性（结论不要求证明）．【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质与判断．【答案】（Ⅰ）奇函数；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）减函数．【分析】（Ⅰ）根据题意，先分析函数的定义域，再分析f（﹣x）与f（x）的关系，由函数奇偶性的判断方法分析可得结论；（Ⅱ）利用作差法分析可得结论；（Ⅲ）利用函数的奇偶性和单调性，分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数，其定义域为R，则函数＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）证明：设1≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝，又由1≤x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x1x2﹣1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，故函数f（x）在[1，+∞）上是减函数；（Ⅲ）根据题意，f（x）为奇函数且f（x）在[1，+∞）上是减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上是减函数．19．（13分）已知二次函数f（x）＝x2+2ax+2．（1）若1≤x≤5时，不等式f（x）＞3ax恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞f（x）（其中a∈R）．【考点】不等式恒成立的问题．【答案】（1）（﹣∞，2）；（2）当a＝0时，不等式的解集为（2，+∞）；当a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；当﹣＜a＜0时，不等式的解集为（2，﹣）；当a＝﹣时，不等式的解集为∅；当a＜﹣时，不等式的解集为（﹣，2）．【分析】（1）不等式化为x2+2ax+2＞3ax，利用分离常数法得出a＜，求出右边函数的最小值，即可得出实数a的取值范围；（2）不等式化为（x﹣2）（ax+1）＞0，讨论a的取值，从而求出对应不等式的解集．【解答】解：（1）不等式f（x）＞3ax即为：x2+2ax+2＞3ax，当x∈[1，5]时，不等式可变形为a＜＝x+，因为x+≥2＝2，当x＝时取等号，且∈[1，5]，所以（x+）min＝2，所以a＜2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2）；（2）不等式（a+1）x2+x＞f（x），即（a+1）x2+x＞x2+2ax+2，等价于（a+1）x2+x﹣2ax﹣x2﹣2＞0，即ax2+（1﹣2a）x﹣2＞0，转化为（x﹣2）（ax+1）＞0；①当a＝0时，不等式为x﹣2＞0，解得x＞2；②当a＞0时，因为﹣＜0＜2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0的解集为{x|x＜﹣或x＞2}；③当﹣＜a＜0时，因为﹣＞2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0的解集为{x|2＜x＜﹣}；④当a＝﹣时，因为﹣＝2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0的解集为∅；⑤当a＜﹣时，因为﹣＜2，所以不等式（x﹣2）（ax+1）＞0的解集为{x|﹣＜x＜2}；综上知，当a＝0时，不等式的解集为（2，+∞）；当a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；当﹣＜a＜0时，不等式的解集为（2，﹣）；当a＝﹣时，不等式的解集为∅；当a＜﹣时，不等式的解集为（﹣，2）．20．（14分）记＝a1+a2+⋯+ak，at＝a1×a2×⋯×ak，存在正整数n，且n≥2．若集合A＝{a1，a2，⋯，an}满足at＝at，则称集合A为“谐调集”．（1）分别判断集合E＝{1，2}、集合F＝{﹣1，0，1}是否为“谐调集”；（2）已