2023-2024学年福建省泉州市德化二中高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年福建省泉州市德化二中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B＝{1} B．A＝B C．A∪B＝B D．A⊆B2．（5分）已知2a+b＝1，a＞0，b＞0，则1aA．22 B．3﹣22 C．3+22 D．3+3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝cosx B．y＝e|x| C．y＝lgx D．y=4．（5分）复数5i−2A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i5．（5分）已知平面向量a→，b→满足|a→|＝|b→|＝2，（a→+2b→A．π6 B．π3 C．2π36．（5分）已知a＝20.3，b＝log0.32，c＝0.50.3，则（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b7．（5分）三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则AB→•CDA．﹣2 B．2 C．﹣23 D．238．（5分）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x−πA．3 B．4 C．6 D．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（）A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若x＞5，则x＞10 C．若ac＝bc，则a＝b D．若0＜x＜5，则|x﹣1|＜1（多选）10．（6分）若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则1aB．若a＞b＞0且c＞0，则b+ca+cC．若0＜a＜1，则a2＞a D．a2+b2+1≥2（a﹣2b﹣2）（多选）11．（6分）已知函数y＝f（x）对任意实数x，y都满足2f(x+y2)f(A．f（x）是偶函数 B．f（0）＝0 C．f（x）+f（1﹣x）＝0 D．f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2023）＝﹣1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）函数f（x）＝（x2﹣1）lnx的零点个数为．13．（5分）函数f（x）＝2cosx•sin（x+π3）的最大值为14．（5分）设函数f（x）=(2ex+1)24ex，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量a→=(3，2)，（1）求|a（2）若3a→−b→16．（15分）如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．17．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3（1）求A；（2）若a＝2，2bsinC=csin2B，求△ABC18．（17分）已知集合A＝{x|x2﹣8x+12≤0}，B＝{x|2x≥8}．（1）求A∩B和∁R（A∪B）；（2）若集合C＝{x|a﹣4＜x≤a+4}，且A∩C＝A，求实数a的取值范围．19．（17分）已知函数f（x）的定义域为D，若存在常数k（k＞0），使得对D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|，则称f（x）是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）判断函数y＝2x+1，y＝x是否为“2﹣利普希兹条件函数”，并说明理由；（2）若函数y＝f（x）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的x1，x2∈R（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．

2023-2024学年福建省泉州市德化二中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B＝{1} B．A＝B C．A∪B＝B D．A⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算．【答案】A【分析】求得集合B，再根据集合的运算以及包含关系，即可判断和选择．【解答】解：B＝{x∈Z|x2﹣2x＜0}＝{1}，又A＝{0，1，2}，故A∩B＝{1}，A≠B，A∪B＝A，B⊆A，故A正确，其它选项错误．故选：A．2．（5分）已知2a+b＝1，a＞0，b＞0，则1aA．22 B．3﹣22 C．3+22 D．3+【考点】基本不等式及其应用．【答案】C【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵2a+b＝1，a＞0，b＞0，∴1a+1b=（2a+b）(1a+1b)=3∴1a+1故选：C．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝cosx B．y＝e|x| C．y＝lgx D．y=【考点】奇偶性与单调性的综合；由函数的单调性求解函数或参数；函数的奇偶性．【答案】B【分析】由余弦函数的性质判断A；对于B，先判断函数为偶函数，再根据指数函数性质判断在（0，+∞）上的单调性即可；由对数函数的性质判断C；由幂函数的性质判断D．【解答】解：对于A，y＝cosx为偶函数，但在（0，+∞）上不单调递增，故不满足题意；对于B，因为f（x）＝e|x|，x∈R，f（﹣x）＝e|﹣x|＝e|x|＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝ex，由指数函数的性质可知在（0，+∞）上单调递增，满足题意；对于C，y＝lgx，x＞0，定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性，不满足题意；对于D，由幂函数的性质可知y=1故选：B．4．（5分）复数5i−2A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】C【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数5i−2=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=故选：C．5．（5分）已知平面向量a→，b→满足|a→|＝|b→|＝2，（a→+2b→A．π6 B．π3 C．2π3【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】B【分析】设a→与b→的夹角为θ，由题意可得4+2×2×cosθ﹣2×4＝﹣2，解得cosθ的值，再结合θ∈[0，π]，求得【解答】解：设a→与b→的夹角为θ，由题意可得a→2即4+2×2×cosθ﹣2×4＝﹣2，解得cosθ=1再结合θ∈[0，π]，∴θ=π故选：B．6．（5分）已知a＝20.3，b＝log0.32，c＝0.50.3，则（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．【答案】D【分析】直接应用指数函数、对数函数单调性进行比较．【解答】解：因为20.3＞20＝1，log0.32＜log0.31＝0，0＜0.50.3＜0.50＝1，所以a＞1，b＜0，0＜c＜1，所以a＞c＞b．故选：D．7．（5分）三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则AB→•CDA．﹣2 B．2 C．﹣23 D．23【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】A【分析】用AD→，AC【解答】解：∵CD→=AD→−AC→，∴AB故选：A．8．（5分）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x−πA．3 B．4 C．6 D．8【考点】正弦函数的图象．【答案】C【分析】作出两函数在[0，2π]上的图象，结合图象即可得出答案．【解答】解：在同一坐标系中，作出函数y＝sinx与y＝2sin（3x−π6）在[0，2由图象可知，当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x−π故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（）A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若x＞5，则x＞10 C．若ac＝bc，则a＝b D．若0＜x＜5，则|x﹣1|＜1【考点】必要条件的判断．【答案】BCD【分析】根据充分必要条件的意义即可判断出结论．【解答】解：A．两个三角形全等⇒这两个三角形相似，反之，不成立，故p是q的充分条件；B．p：x＞5，q：x＞10，p推不出q，由q⇒p．故p是q的必要条件；C．p：ac＝bc，q：a＝b，p推不出q，由q⇒p．故p是q的必要条件；D．|x﹣1|＜1⇔0＜x＜2，p：0＜x＜5，q：0＜x＜2，p推不出q，由q⇒p．故p是q的必要条件；∴只有B，C，D中p是q的必要条件．故选：BCD．（多选）10．（6分）若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则1aB．若a＞b＞0且c＞0，则b+ca+cC．若0＜a＜1，则a2＞a D．a2+b2+1≥2（a﹣2b﹣2）【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【答案】BD【分析】根据已知条件，结合作差法，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：当a＝﹣1，b＝1时，满足a＜b，但1a＜1a＞b＞0且c＞0，则b+ca+c−ba=0＜a＜1，则a2﹣a＝a（a﹣1）＜0，即a2＜a，故C错误；a2+b2+1﹣[2（a﹣2b﹣2）]＝a2﹣2a+1+b2+4b+4＝（a﹣1）2+（b+2）2≥0，故a2+b2+1≥2（a﹣2b﹣2），故D正确．故选：BD．（多选）11．（6分）已知函数y＝f（x）对任意实数x，y都满足2f(x+y2)f(A．f（x）是偶函数 B．f（0）＝0 C．f（x）+f（1﹣x）＝0 D．f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2023）＝﹣1【考点】抽象函数的周期性；函数的奇偶性．【答案】ACD【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性和周期性求解即可．【解答】解：函数y＝f（x）对任意实数x，y都满足2f(x+y令y＝x，得2f（x）f（0）＝2f（x），即2f（x）[f（0）﹣1]＝0，所以对任意实数x，2f（x）[f（0）﹣1]＝0都成立，所以f（0）＝1，故B错误，令y＝﹣x，得2f（0）f（x）＝f（x）+f（﹣x），因为f（0）＝1，所以2f（x）＝f（x）+f（﹣x），即f（x）＝f（﹣x），所以f（x）为偶函数，故A正确，令x＝1，y＝0，得2f（12）f（12）＝f（1）+所以f（12令y＝1﹣x，得2f（12）f（2x−12）＝f（x）+f（1﹣x）＝0，故因为f（x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），所以f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），所以f（x）的周期为2，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2023）＝1012f（1）+1011f（0）＝﹣1012+1011＝﹣1，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）函数f（x）＝（x2﹣1）lnx的零点个数为．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】1．【分析】根据函数零点的定义解方程f（x）＝0，先求函数的定义域，即可得结果．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），由f（x）＝0得x2﹣1＝0或lnx＝0，即x＝1或x＝﹣1（舍），故函数的零点个数为1个，故答案为：1．13．（5分）函数f（x）＝2cosx•sin（x+π3）的最大值为【考点】三角函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】解：f(x)=2cosx(1当2x+π3=2kπ+π2，即x=kπ+π故答案为：1+314．（5分）设函数f（x）=(2ex+1)24ex，【考点】指数函数的值域．【答案】[9【分析】化简f（x）的表达式，可得f（x）=ex+14【解答】解：f(x)=4由基本不等式，得ex当ex=14ex时，即x＝﹣ln2时，等号成立，f（x）在因此，f（x）在（﹣∞，﹣ln2）上为减函数，在（﹣ln2，+∞）上为增函数．根据x≥0，可知ex≥1，结合f（x）在[0，+∞）上是增函数，可知f（x）的最小值为f（0）=9综上所述，函数f（x）的值域是[9四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量a→=(3，2)，（1）求|a（2）若3a→−b→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量加减法的坐标运算．【答案】（1）29；（2）k=−1【分析】（1）根据题意，求出a→−2（2）根据题意，求出3a→−b→【解答】解：（1）向量a→=(3，2)，则a→−2则有|a→−2b→（2）根据题意，3a→−b→=（10，4），若3a→−b→与a解可得：k=−1故k=−116．（15分）如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【考点】直线与平面平行；平面与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD17．（15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3（1）求A；（2）若a＝2，2bsinC=csin2B，求△ABC【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由辅助角公式及角A的范围，可得角A的大小；（2）由正弦定理可得cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小，进而可得角C的大小，再由正弦定理可得b，c的值，进而求出△ABC的周长．【解答】解：（1）因为sinA+3所以2sin（A+π3）＝2，即sin（A由A为三角形内角，得A+π即A=π（2）因为2bsinc=csin2B2bsinC=2csinBcosB，由正弦定理可得：2可得cosB=2又因为B∈（0，π），所以B=π4，在△ABC中，由正弦定理得asinA所以b=4sinB=22，c=4sinC=4sin所以△ABC的周长为a+b+c=2+32综上，△ABC的周长为2+3218．（17分）已知集合A＝{x|x2﹣8x+12≤0}，B＝{x|2x≥8}．（1）求A∩B和∁R（A∪B）；（2）若集合C＝{x|a﹣4＜x≤a+4}，且A∩C＝A，求实数a的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法；一元二次不等式及其应用；交、并、补集的混合运算．【答案】（1）A∪B＝{x|x≥2}，∁R（A∪B）＝{x|x＜2}；（2）[2，6）．【分析】（1）根据已知条件，结合交集、补集、并集的定义，即可求解；（2）根据已知条件，推得A⊆C，列出不等式组，即可求解．【解答】解：（1）∵A＝{x|x2﹣8x+12≤0}＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2x≥8}＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x≤6}，∴A∪B＝{x|x≥2}，∁R（A∪B）＝{x|x＜2}；（2）若C＝{x|a﹣4＜x≤a+4}，且A∩C＝A，则A⊆C，所以a−4＜2a+4≥6，解得2≤a故a的取值范围[2，6）．19．（17分）已知函数f（x）的定义域为D，若存在常数k（k＞0），使得对D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|，则称f（x）是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）判断函数y＝2x+1，y＝x是否为“2﹣利普希兹条件函数”，并说明理由；（2）若函数y＝f（x）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的x1，x2∈R（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【考点】函数恒成立问题；抽象函数的周期性．【答案】（1）y＝2x+1与y＝x是“2﹣利普希兹条件函数”，理由见解答；（2）证明见解答．【分析】（1）根据所