2023-2024学年福建省厦门市同安区国祺中学高三(上)第一次月考数学试卷

2023-2024学年福建省厦门市同安区国祺中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题1．（3分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（3分）若z＝，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（3分）要得到函数y＝log2（2x+4）的图象，只需将函数y＝log2（x+2）的图象（）A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度4．（3分）“函数f（x）＝sinx+（a﹣1）cosx为奇函数”是“a＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（3分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y＝ B．y＝cosx C．y＝ln（x+1） D．y＝2﹣x6．（3分）已知函数，若存在x0＞0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．[﹣1，1]二、多选题（多选）7．（3分）下列命题是真命题的是（）A．∃a∈R，使函数y＝2x+a•2﹣x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数的值恒为正数 C．∃x∈R，2x＜x2 D．（多选）8．（3分）在某市高三年级举行的一次调研考试中，共有30000人参加考试．为了解考生的某科成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50，100]，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间[50，60）的人数为16，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（）A．x＝0.016 B．n＝1000 C．考生成绩的第70百分位数为76 D．估计该市全体考生成绩的平均分为71（多选）9．（3分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下面结论一定成立的是（）​A．EF与A1C1平行 B．BC1与AB1所成角大小为 C．EF与BB1垂直 D．EF与BD垂直（多选）10．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（4+x）＝0，f（2+2x）是偶函数，f（1）＝1，则（）A．f（x）是奇函数 B．f（2023）＝﹣1 C．f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．三、填空题11．（3分）若幂函数y＝（α2+α﹣1）xα在（0，+∞）上单调递增，则α＝．12．（3分）某校表演队的演员中，会演歌唱节目的有6人，会演舞蹈节目的有5人，当中同时能歌能舞的只有2人，现在从中选派4人参加校际演出队，要求至少有2人能演舞蹈节目，那么不同选派方法共有（用数字作答）．13．（3分）已知圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形，下底边长为2a，对角线长为a，则这个圆台的体积是．14．（3分）已知函数，若函数y＝f（x）﹣m+2恰有3个不同零点，则实数m的取值范围为．四、解答题15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sinAcosB＝sinB（2﹣cosA）．（1）求证：c＝2b；（2）若，求A．16．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，，AC＝AA1＝2．（1）证明：AC⊥平面BEF；（2）求直线BE与平面BCD所成角的正弦值．17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝12且a4＝8．（1）求数列{an}的通项公式及Sn；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（12分）已知函数f（x）＝x2+alnx．（1）当a＝﹣8时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在[2，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．19．（12分）为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内n（n∈N*）个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计．若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为．（1）求n的值；（2）若一次抽取4个城市，假设抽取出的小城市的个数为X，求X的概率分布列．20．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝x﹣2与椭圆C交于M，N两点，O是原点，求△OMN的面积．

2023-2024学年福建省厦门市同安区国祺中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（3分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【答案】B【分析】容易求出B＝{﹣1，0，1}，然后进行交集的运算即可求出A∩B．【解答】解：解x2＜4得，﹣2＜x＜2；又x∈Z；∴B＝{﹣1，0，1}，且A＝{x|﹣1≤x＜3}；∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：B．2．（3分）若z＝，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】共轭复数；复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】D【分析】利用复数代数形式的乘除运算，求出的坐标得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），在第四象限．故选：D．3．（3分）要得到函数y＝log2（2x+4）的图象，只需将函数y＝log2（x+2）的图象（）A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】C【分析】利用对数的运算法则先进行化简，结合函数的图象变换法则进行判断即可．【解答】解：y＝log2（2x+4）＝log22（x+2）＝log22+log2（x+2）＝1+log2（x+2），故只需将函数y＝log2（x+2）的图象向上平移1个单位长度，即可，故选：C．4．（3分）“函数f（x）＝sinx+（a﹣1）cosx为奇函数”是“a＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】两角和与差的三角函数；充分条件与必要条件．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性求出a的值，再根据充要条件的定义判断即可．【解答】解：若f（x）是奇函数，则a﹣1＝0，解得a＝1，故“函数f（x）＝sinx+（a﹣1）cosx为奇函数”是“a＝1”的充要条件，故选：C．5．（3分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y＝ B．y＝cosx C．y＝ln（x+1） D．y＝2﹣x【考点】函数单调性的性质与判断．【答案】D【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y＝cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y＝ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选：D．6．（3分）已知函数，若存在x0＞0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．[﹣1，1]【考点】分段函数的应用．【答案】B【分析】由条件转化为lnx0＝ax0﹣1有解，求出y＝ax﹣1与y＝lnx的切点，数形结合求解即可．【解答】解：由题意f（x0）＝lnx0，f（﹣x0）＝﹣ax0+1，即lnx0＝ax0﹣1有解，先求y＝ax﹣1与y＝lnx相切时，y＝ax﹣1过定点（0，﹣1），y＝lnx的导数，设切点为（x1，lnx1），则由导数可知，所以，解得x1＝1，即切点为（1，0），此时切线斜率a＝1，作出函数图象，如图，由图象可知，当a≤1时，存在存在x0＞0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立．故选：B．二、多选题（多选）7．（3分）下列命题是真命题的是（）A．∃a∈R，使函数y＝2x+a•2﹣x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数的值恒为正数 C．∃x∈R，2x＜x2 D．【考点】全称量词和全称命题；命题的真假判断与应用．【答案】AC【分析】对于选项A，通过取a＝1，得到y＝2x+2﹣x，再利用函数奇偶性的判定方法即可得出结果；对于选项B，利用“合二为一”公式对函数化简变形即可判断出结果的正误；对于选项C和D，通过取特殊值x＝3和，即可判断出结果的正误．【解答】解：选项A，当a＝1时，y＝2x+a⋅2﹣x＝2x+2﹣x，易知定义域为R，且f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x），所以y＝2x+2﹣x为偶函数，故A为真命题；选项B，，当时，y＝0，故B为假命题；选项C，当x＝3时，23＝8＜9＝32，故C为真命题；选项D，当时，由的图像与性质知，，又，所以，故D为假命题．故选：AC．（多选）8．（3分）在某市高三年级举行的一次调研考试中，共有30000人参加考试．为了解考生的某科成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50，100]，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间[50，60）的人数为16，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（）A．x＝0.016 B．n＝1000 C．考生成绩的第70百分位数为76 D．估计该市全体考生成绩的平均分为71【考点】频率分布直方图．【答案】ACD【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，即可判断A，根据成绩落在区间[50，60）内的人数和频率可判断B，根据百分位数的定义和平均数的定义可判断CD．【解答】解：对于A，因为（x+0.030+0.040+0.010+0.004）×10＝1，解得x＝0.016，故A正确；对于B，因为成绩落在区间[50，60）内的人数为16，所以样本容量n＝＝100，故B错误；对于C，因为（0.016+0.030）×10＝0.46＜0.7，（0.016+0.030+0.040）×10＝0.86＞0.7所以考生成绩的第70百分位数落在区间[70，80），设考生成绩的第70百分位数为x，则0.46+（x﹣70）×0.04＝0.7，解得x＝76，即考生成绩的第70百分位数为76，故C正确；对于D，学生成绩平均分为0.016×10×55+0.030×10×65+0.040×10×75+0.010×10×850.004×10×95＝70.6，故D正确．故选：ACD．（多选）9．（3分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下面结论一定成立的是（）​A．EF与A1C1平行 B．BC1与AB1所成角大小为 C．EF与BB1垂直 D．EF与BD垂直【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．【答案】ACD【分析】连接A1B，利用中位线的性质，即可证明EF∥A1C1，再利用平行，垂直关系的转化，即可判断选项．【解答】解：对于选项A，连接A1B，即点E是A1B与AB1的交点，点E，F分别是A1B，BC1的中点，∴EF∥A1C1，故选项A正确；对于选项B，连接DC1，∵AB1∥DC1，∴∠BC1D是异面直线BC1与AB1所成角，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，∴△BC1D不一定是等边三角形，∴BC1与AB1所成角不一定为，只有正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正方体时，BC1与AB1所成角为，故B错误；对于选项C，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又∵EF∥A1C1，BB1⊥EF，故C正确；对于选项D，∵AC⊥BD，AC∥A1C1，∴BD⊥A1C1，又∵EF∥A1C1，∴BD⊥EF，故D正确．故选：ACD．（多选）10．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（4+x）＝0，f（2+2x）是偶函数，f（1）＝1，则（）A．f（x）是奇函数 B．f（2023）＝﹣1 C．f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质与判断．【答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可．【解答】解：对于选项A，∵f（2+2x）是偶函数，∴f（2﹣2x）＝f（2+2x），∴函数f（x）关于直线x＝2对称，∴f（﹣x）＝f（4+x），∵f（x）+f（4+x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，则A正确；对于选项B，∵f（4+x）＝﹣f（x），∴f（8+x）＝﹣f（4+x），∴f（8+x）＝f（x），∴f（x）的周期为8，∴f（2023）＝f（253×8﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，则B正确；对于选项C，若f（x）的图象关于直线x＝1对称，则f（3）＝f（﹣1），但是f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，f（3）＝f（1）＝1，即f（3）≠f（﹣1），这与假设条件矛盾，则选项C错误；对于选项D，将x＝代入f（2﹣2x）＝f（2+2x），得f（3）＝f（1）＝1，将x＝1代入f（x）+f（4+x）＝0，得f（5）＝﹣f（1）＝﹣1，同理可知f（7）＝﹣f（3）＝﹣1，又∵f（x）的周期为8，∴f（x）正奇数项的周期为4，∴kf（2k﹣1）＝f（1）+2f（3）+3f（5）+...+100f（199）＝[f（1）+2f（3）+3f（5）+4f（7）]+[5f（9）+6f（1l）+7f（13）+8f（15）]+...+[97f（193）+98f（195）+99f（197）+100f（199）]＝25×（﹣4）＝﹣100，则D正确．故选：ABD．三、填空题11．（3分）若幂函数y＝（α2+α﹣1）xα在（0，+∞）上单调递增，则α＝1．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【答案】1．【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得α的值．【解答】解：∵幂函数y＝（α2+α﹣1）xα在（0，+∞）上单调递增，∴α2+α﹣1＝1，且α＞0，则α＝1，故答案为：1．12．（3分）某校表演队的演员中，会演歌唱节目的有6人，会演舞蹈节目的有5人，当中同时能歌能舞的只有2人，现在从中选派4人参加校际演出队，要求至少有2人能演舞蹈节目，那么不同选派方法共有105（用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】105．【分析】至少有2人能演舞蹈节目分为4人都不会表演舞蹈和只有1人会表演舞蹈两种情况，再结合总体剔除法计算即可．【解答】解：根据题意，该表演队一共有9人，不会表演舞蹈的有4人，从9人中任选4人，有种选法，其中4人都不会表演舞蹈的有种情况，只有1人会表演舞蹈的有种情况，则至少有2人能演舞蹈节目，有126﹣1﹣20＝105种．故答案为：105．13．（3分）已知圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形，下底边长为2a，对角线长为a，则这个圆台的体积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】见试题解答内容【分析】欲求圆台的体积，需要求出两个底面的面积与圆台的高，根据轴截面的几何性质求出圆台上底半径、圆台的高．【解答】解：∵a2+（a）2＝（2a）2∴等腰梯形的腰、对角线及下底构成直角三角形，且腰与下底所成的角为60°．过上底的一端点作腰的平行线，则等腰梯形被分为一个等边三角形和一个菱形，故上底为a，因此圆台上底半径是，高为a．∴这个圆台的体积是π（++a2）•a＝．故答案为：．14．（3分）已知函数，若函数y＝f（x）﹣m+2恰有3个不同零点，则实数m的取值范围为．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】见试题解答内容【分析】利用二次函数的对称轴以及单调性，结合函数的导数判断函数的单调性，求出函数的极值，转化利用函数的零点，列出不等式求解即可．【解答】解：当x≤0时，函数f（x）＝﹣x2﹣2x﹣1+e＝﹣（x+1）2+e，x≤0在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减；当x＞0时，，则当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在上递增，在上递减，故函数极大值为，所以．函数y＝f（x）﹣m+2恰有3个不同零点，则，所以．故答案为：．四、解答题15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sinAcosB＝sinB（2﹣cosA）．（1）求证：c＝2b；（2）若，求A．【考点】正弦定理．【答案】（1）见证明过程；（2）．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinC＝2sinB，进而根据正弦定理即可求证；（2）由（1）知c＝2b，代入，可求a的值，由余弦定理得可求cosA的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值．【解答】解：（1）证明：由sinAcosB＝sinB（2﹣cosA），得sinAcosB＝2sinB﹣cosAsinB，即sin（A+B）＝2sinB．因为A+B＝π﹣C，所以sinC＝2sinB，由正弦定理得c＝2b．（2）由（1）知c＝2b，代入，得．由余弦定理得，因为0＜A＜π，所以．16．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，，AC＝AA1＝2．（1）证明：AC⊥平面BEF；（2）求直线BE与平面BCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BB1⊥AC，证明AC⊥BE，再根据线面垂直的判定定理即可得解；（2）以点E为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得解．【解答】解：（1）证明：因为E为AC的中点，AB＝BC，所以AC⊥BE，因为CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1，所以BB1⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC，又BB1∩BE＝B，BB1，BE⊂平面BEF，所以AC⊥平面BEF；（2）如图，以点E为原点建立空间直角坐标系，因为，AC＝AA1＝2，所以AE＝CE＝1，BE＝2，则B（0，2，0），C（﹣1，0，0），D（1，0，1），则，设为平面BCD的一条法向量，则，令x＝2，则y＝﹣1，z＝﹣4，所以，则，所以直线BE与平面BCD所成角的正弦值为．17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝12且a4＝8．（1）求数列{an}的通项公式及Sn；（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用等差数列的性质建立方程组，求出首项和公差，再求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，利用裂项相消法，求出数列{bn}的前n项和．【解答】解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，由于数列{an}满足，S3＝12且a4＝8．所以，整理得，解得，所以an＝2+2（n﹣1）＝2n，故；（2）由（1）得，故＝1﹣．18．（12分）已知函数f（x）＝x2+alnx．（1）当a＝﹣8时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在[2，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】（1）函数的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2），函数极小值为4﹣8ln2，无极大值；（2）[﹣7，+∞）．【分析】（1）先求导函数f′（x）＝2x﹣＝，然后判断单调区间，求极值即可；（2）在[2，+∞）上是单调增函数等价于g′（x）＝2x+≥0在[2，+∞）恒成立，设h（x）＝2x，x∈[2，+∞），求函数h（x）的最小值即可得解．【解答】解：（1）当a＝﹣8时，f（x）＝x2﹣8lnx，则f′（x）＝2x﹣＝，即当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，即函数的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2），则当x＝2时，函数取极小值4﹣8ln2，无极大值