2023-2024学年广东省潮州市潮安区凤塘中学高三(上)统测数学试卷(一)

2023-2024学年广东省潮州市潮安区凤塘中学高三（上）统测数学试卷（一）一、单选题1．下列不等式中，解集为{x|x＜1或x＞3}的不等式是（）A．1﹣|﹣1| B．|2x﹣4|＞3 C．≥0 D．x2﹣4x+3≥02．已知集合A＝{y|y＝x2﹣2}，集合B＝{x|y＝x2﹣1}，则有（）A．A＝B B．A∩B＝∅ C．A∪B＝A D．A∩B＝A3．“|x﹣1|＜2”是“x＜3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列各命题的否定为真命题的是（）A． B．∃x∈R，2x＞x2 C． D．5．已知且f（0）＝3，f（﹣1）＝4，则f（f（﹣3））＝（）A．﹣1 B．﹣lg3 C．0 D．16．下列命题为真命题的是（）A．“a2＞b2”是“a＞b”的必要不充分条件 B．“22x﹣1≤128”是“3＜x＜4”的充分不必要条件 C．∀x∈[1，2），x2﹣a≤0成立的一个充分不必要条件是a＞4 D．“∃x＞1，e2x≥x+1”的否定是“∀x≤1，e2x＜x+1”（e为自然对数的底数）7．下列命题正确的是（）A．“”的否定为假命题 B．若a＞0，b＞0，a+b+ab＝3，则a+b≥2 C．若“∀x∈R，ax2+4x+1＞0”为真命题，则a≤4 D．a+b＝0的必要不充分条件是8．已知正数x、y满足2xy＝x+2y，则的最小值为（）A．2 B．4 C． D．二、多选题（多选）9．下列各组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1 B．与 C．f（x）＝x与g（x）＝x（x＞0） D．与（多选）10．下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（）A．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件 B．“a2＜1”是“a＜1”的必要不充分条件 C．设a，b，c∈R，则“a2+b2+c2＝ab+bc+ac”是“a＝b＝c”的充要条件 D．设a，b∈R，则“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的必要不充分条件（多选）11．已知函数，则下列结论中正确的是（）A．函数f（x）有且仅有一个零点0 B．f（e）＝1 C．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 D．f（x）在（0，+∞）上单调递减（多选）12．设正实数x，y满足x+2y＝3，则下列说法正确的是（）A．的最小值为4 B．xy的最大值为 C．的最小值为2 D．x2+4y2的最小值为三、填空题13．函数，则f（x）定义域是．14．已知二次函数f（x）满足f（0）＝0，f（x﹣1）＝f（x）+3x﹣5，则不等式f（x）＞0的解集为．15．已知不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，若函数f（x）＝loga（3x﹣4）+b（a＞0且a≠1），则f（4）＝．16．正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为．四、解答题17．已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn＝n2+n；（1）求它的通项an（2）若bn＝2n﹣1，求数{an+bn}的前n项和Tn．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求c的值．19．（100分）为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防．某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答．共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]这六组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值，并估计这100人问答成绩的平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60，80）内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在[70，80）内的概率．20．已知函数f（x）＝x3﹣3x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设三棱锥E﹣ACD的体积是，AP＝1，AD＝，求平面DAE与AEC的夹角．22．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，|BF|＝2，离心率为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l：y＝x﹣2m（m≠0）与椭圆E相交于A，C两点，且点N（0，m），当△ACN的面积最大时，求直线l的方程．

2023-2024学年广东省潮州市潮安区凤塘中学高三（上）统测数学试卷（一）参考答案与试题解析一、单选题1．下列不等式中，解集为{x|x＜1或x＞3}的不等式是（）A．1﹣|﹣1| B．|2x﹣4|＞3 C．≥0 D．x2﹣4x+3≥0【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式及其应用；绝对值不等式的解法．【答案】A【分析】根据不等式的解法或采用举反例的方式即可得到答案．【解答】解：对于A，不等式即为，即|x﹣2|＞1，解得x＜1或x＞3，符合题意；对于B，由|2x﹣4|＞3，可得2x﹣4＜﹣3或2x﹣4＞3，解得或，不合题意；对于C，举反例，当x＝1时，不等式成立，不合题意；对于D，举反例，当x＝1时，不等式成立，不合题意；故选：A．2．已知集合A＝{y|y＝x2﹣2}，集合B＝{x|y＝x2﹣1}，则有（）A．A＝B B．A∩B＝∅ C．A∪B＝A D．A∩B＝A【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】D【分析】由题意化简A＝{y|y＝x2﹣2}＝[﹣2，+∞），B＝{x|y＝x2﹣1}＝R，从而求A∩B＝A．【解答】解：A＝{y|y＝x2﹣2}＝[﹣2，+∞），B＝{x|y＝x2﹣1}＝R，故A∩B＝A．故选：D．3．“|x﹣1|＜2”是“x＜3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】A【分析】由绝对值的意义解出“|x﹣1|＜2”再进行判断．【解答】解析：由|x﹣1|＜2得﹣1＜x＜3，所以易知选A故选：A．4．下列各命题的否定为真命题的是（）A． B．∃x∈R，2x＞x2 C． D．【考点】全称命题的否定；特称命题的否定；命题的真假判断与应用．【答案】D【分析】依次判断各命题的真假即可得其否定的真假．【解答】解：对于A，为真命题，故其否定为假命题，错误；对于B，因为x＝5时，25＝32＞52＝25，∃x∈R，2x＞x2为真命题，故其否定为假命题，错误；对于C，当x∈（0，1）时，，为真命题，故其否定为假命题，错误；对于D，当x＝0时，sin0＝0，故为假命题，故其否定为真命题，正确；故选：D．5．已知且f（0）＝3，f（﹣1）＝4，则f（f（﹣3））＝（）A．﹣1 B．﹣lg3 C．0 D．1【考点】函数的值．【答案】A【分析】根据题意，由函数的解析式可得，解可得a、b的值，即可得f（﹣3）的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，且f（0）＝3，f（﹣1）＝4，则，解可得，则f（﹣3）＝（）﹣3+2＝10，则f（f（﹣3））＝f（10）＝﹣lg10＝﹣1；故选：A．6．下列命题为真命题的是（）A．“a2＞b2”是“a＞b”的必要不充分条件 B．“22x﹣1≤128”是“3＜x＜4”的充分不必要条件 C．∀x∈[1，2），x2﹣a≤0成立的一个充分不必要条件是a＞4 D．“∃x＞1，e2x≥x+1”的否定是“∀x≤1，e2x＜x+1”（e为自然对数的底数）【考点】充分条件与必要条件；全称量词和全称命题；命题的真假判断与应用．【答案】C【分析】根据充分与必要条件的概念，指数函数的单调性，恒成立问题化最值法，含一个量词命题的否定的结论，即可分别求解．【解答】解：对A选项，∵a2＞b2”是“a＞b”既不充分也不必要条件，∴A选项错误；对B选项，∵22x﹣1≤128⇔22x﹣1≤27⇔2x﹣1≤7⇔x≤4，∴22x﹣1≤128”是“3＜x＜4”的必要不充分条件，∴B选项错误；对C选项，∵∀x∈[1，2），x2﹣a≤0⇔a≥4，∴∀x∈[1，2），x2﹣a≤0成立的一个充分不必要条件是a＞4，∴C选项正确；对D选项，∵“∃x＞1，e2x≥x+1”的否定是“∀x＞1，e2x＜x+1”，∴D选项错误．故选：C．7．下列命题正确的是（）A．“”的否定为假命题 B．若a＞0，b＞0，a+b+ab＝3，则a+b≥2 C．若“∀x∈R，ax2+4x+1＞0”为真命题，则a≤4 D．a+b＝0的必要不充分条件是【考点】命题的否定；命题的真假判断与应用；充分条件与必要条件．【答案】B【分析】结合含有量词的命题的否定及对数运算性质检验选项A；结合基本不等式检验选项B；结合二次不等式的恒成立检验选项C；结合充分必要条件检验选项D．【解答】解：的否定为∀x∈R，lo（1+x2）≤lo1＝0为真命题，A错误；若a＞0，b＞0，a+b+ab＝3，则ab＝3﹣（a+b）≤（）2，当且仅当a＝b＝1时取等号，解得a+b≥2，B正确；若∀x∈R，ax2+4x+1＞0为真命题，当a＝0时，不符合题意，故，解得a＞4，C错误；当a+b＝0时，＝﹣1不一定成立，当＝﹣1时，a+b＝0一定成立，故＝﹣1为a+b＝0的充分不必要条件，D错误．故选：B．8．已知正数x、y满足2xy＝x+2y，则的最小值为（）A．2 B．4 C． D．【考点】基本不等式及其应用．【答案】B【分析】由已知等式变形可得，利用基本不等式可求得的最小值．【解答】解：因为正数x、y满足2xy＝x+2y，在等式2xy＝x+2y两边同时除以2xy可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为4．故选：B．二、多选题（多选）9．下列各组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1 B．与 C．f（x）＝x与g（x）＝x（x＞0） D．与【考点】判断两个函数是否为同一函数．【答案】AD【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案．【解答】解：对于A，f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1的定义域都是R，对应关系相同，值域相同，故f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1是同一函数，故A正确；对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，故B错误；对于C，f（x）＝x与g（x）＝x（x＞0），前者的定义域为R，后者定义域为（0，+∞），故二者不是同一函数，故C错误；对于D，与的定义域以及对应关系都相同，故二者是同一函数，D正确．故选：AD．（多选）10．下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（）A．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件 B．“a2＜1”是“a＜1”的必要不充分条件 C．设a，b，c∈R，则“a2+b2+c2＝ab+bc+ac”是“a＝b＝c”的充要条件 D．设a，b∈R，则“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的必要不充分条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】AC【分析】根据充分必要条件的定义对各个选项进行判断即可．【解答】解：对于A：a，b都是偶数”能提出“a+b是偶数”，是充分条件，反之不成立，比如a＝1，b＝3，故A正确；对于B：由a2＜1，解得：﹣1＜a＜1是“a＜1“的充分不必要条件，故B错误；对于C：a2+b2+c2＝ab+bc+ac得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，解得：a＝b＝c，故“a2+b2+c2＝ab+bc+ac”是“a＝b＝c”的充要条件，故C正确；对于D：a，b∈R，则a≥2且b≥2时，a2+b2≥4，充分性成立，a2+b2≥4时，不能得出a≥2且b≥2，必要性不成立，是充分不必要条件，故D错误；故选：AC．（多选）11．已知函数，则下列结论中正确的是（）A．函数f（x）有且仅有一个零点0 B．f（e）＝1 C．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 D．f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质与判断．【答案】BC【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点．【解答】解：由函数，可得f（x）有两个零点0、1，故A错误；由于f（e）＝|lne|＝1，故B正确；当x≤0时f（x）＝x，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故C正确；当x＞0时，所以f（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，故D错误．故选：BC．（多选）12．设正实数x，y满足x+2y＝3，则下列说法正确的是（）A．的最小值为4 B．xy的最大值为 C．的最小值为2 D．x2+4y2的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【答案】ABD【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解．【解答】解：对于A，，当且仅当x＝y且x+2y＝3即x＝y＝1时取等号，故A正确；对于B，，当且仅当x＝2且x+2y＝3，即，时取等号，故B正确；对于C，，则，当且仅当x＝2y且x+2y＝3，即，时，故C错误；对于D，，当且仅当x＝2y且x+2y＝3，即，时取等号，故D正确．故选：ABD．三、填空题13．函数，则f（x）定义域是（﹣1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【答案】见试题解答内容【分析】求函数定义域，就是求使得函数有意义的x的取值范围．【解答】解：若函数有意义，需满足，则有，所以x＞﹣1．故答案为：（﹣1，+∞）．14．已知二次函数f（x）满足f（0）＝0，f（x﹣1）＝f（x）+3x﹣5，则不等式f（x）＞0的解集为（0，）．【考点】二次函数的性质与图象．【答案】（0，）．【分析】由二次函数f（x）满足f（0）＝0，可设f（x）的表达式为f（x）＝ax2+bx（a≠0，a，b为常数），从而求出f（x﹣1）和f（x）+3x﹣5并比较系数即可确定a与b的值，最后求解f（x）＞0的解集即可．【解答】解：由二次函数f（x）满足f（0）＝0，可设f（x）的表达式为f（x）＝ax2+bx（a≠0，a，b为常数），则f（x﹣1）＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝ax2+（b﹣2a）x+a﹣b；f（x）+3x﹣5＝ax2+（b+3）x﹣5，根据f（x﹣1）＝f（x）+3x﹣5，得，解得，所以f（x）＝﹣x2+x，令f（x）＝﹣x2+x＞0，则3x2﹣7x＜0，解得0＜x＜，所以f（x）的解集为（0，）．故答案为：（0，）．15．已知不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，若函数f（x）＝loga（3x﹣4）+b（a＞0且a≠1），则f（4）＝6．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】由题意知﹣1，3是方程x2﹣ax﹣b＝0的两个根，利用根与系数的关系求出a，b，写出f（x）的解析式，再求f（4）的值．【解答】解：因为一元二次不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，所以﹣1，3是方程x2﹣ax﹣b＝0的两个根，所以，解得，所以f（x）＝log2（3x﹣4）+3，所以f（4）＝log2（3×4﹣4）+3＝log28+3＝3+3＝6．故答案为：6．16．正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为[﹣1，2]．【考点】基本不等式及其应用；函数恒成立问题．【答案】见试题解答内容【分析】由已知结合基本不等式求出的最小值，然后结合不等式的恒成立与最值关系，求出m的范围．【解答】解：因为正实数x，y满足，所以x+＝（x+）（）＝1+（2++）≥（2+2）＝2，当且仅当且，即x＝1，y＝4时取等号，则的最小值2．因为恒成立，所以m2﹣m≤2，解得﹣1≤m≤2．故m的范围为[﹣1，2]．故答案为：[﹣1，2]．四、解答题17．已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn＝n2+n；（1）求它的通项an（2）若bn＝2n﹣1，求数{an+bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【答案】（1）an＝2n，（2）Tn＝n2+n+2n﹣1．【分析】（1）由已知求得a1与n≥2时的an，验证首项得结论；（2）利用数列的分组求和及等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：（1）∵，∴当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n．a1＝2满足an＝2n，∴；（2）∵，∴，∴数列{bn}是以首项为1，2为公比的等比数列．∴Tn＝（a1+b1）+（a2+b2）+...+（an+bn）＝（a1+a2+⋯+an）+（b1+b2+⋯+bn）＝＝n2+n+2n﹣1．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求c的值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）2．【分析】（1）结合三角恒等变换，根据正弦定理边化角求解即可．（2）由题意利用三角形的面积公式得ac＝4，再根据余弦定理得a+c＝4，进而求解即可．【解答】解：（1）因为，由正弦定理得，又A＝π﹣（B+C），所以，所以，因为C∈（0，π），所以sinC≠0，所以，所以，因为B∈（0，π），所以，所以；（2）因为△ABC的面积为，所以，所以ac＝4，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac，所以（a+c）2＝4+3ac＝16，所以a+c＝4，与ac＝4联立，得a＝c＝2．19．（100分）为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防．某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答．共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]这六组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值，并估计这100人问答成绩的平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60，80）内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在[70，80）内的概率．【考点】频率分布直方图．【答案】（1）a＝0.015；72；（2）．【分析】（1）由频率之和为1即可求解a，由平均数的计算公式即可求解平均数，（2）根据列举法即可求解古典概型的概率．【解答】解：（1）由图可知，10×（2×0.005+a+0.02+0.025+0.03）＝1，解得a＝0.015．这100人问答成绩的平均数约为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝72．（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60，80）内的人中抽取一个容量为5的样本，则问答成绩在[60，70）内的有人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有人分别记为a，b，c，从中任意抽取2人，则实验的样本空间Ω＝{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10个样本点．设事件A为2人的问答成绩均在[70，80）内，则A＝{（a，b），（a，c），（b，c）}，所以这2人的间答成绩均在[70，80）内的概率．20．已知函数f（x）＝x3﹣3x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】（1）f（x）的单调递减区间为（﹣1，1）；（2）（﹣2，2）．【分析】（1）先求导函数，再得导函数的符号，从而得解；（2）根据题意可得f（x）的极大值为f（﹣1）＞0，且f（x）的极小值为f（1）＜0，从而得解．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣3x+a，∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），∴f′（x）的符号草图为：∴f（x）的单调递减区间为（﹣1，1）；（2）根据（1）可得f（x）的极大值为f（﹣1）＝a+2，f（x）的极小值为f（1）＝a﹣2，又f（x）有三个零点，∴，∴a∈（﹣2，2），∴a的取值范围为（﹣2，2）．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设三棱锥E﹣ACD的体积是，AP＝1，AD＝，求平面DAE与AEC的夹角．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连结BD交AC于点O，连结EO，推导出EO∥PB，由此能证明PB॥平面AEC．（2）首先根据体积计算出DC的长度，然后根据垂直关系建立空间直角坐标系，将两平面的夹角问题转为向量夹角问题计算即可．【解答】（1）证