2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第六节 空间向量在立体几何中的应用

第八章立体几何与空间向量第六节

空间向量在立体几何中的应用课标解读考向预测空间向量是高中数学的一个重要组成部分，具有工具性作用，尤其在立体几何中的应用是最为典型的，主要体现在三个方面：(1)确定空间中的位置关系；(2)求解空间角；(3)求解空间距离．从近几年的高考试卷来看，立体几何解答题往往会在已知中给出两两垂直且交于一点的三条线段，方便考生建立空间直角坐标系，考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力．若题中找不到这样的三条线段，可用几何法或向量基底法的知识来解决．预计2026年的高考立体几何解答题主要考查空间线面位置关系及空间角的计算，难度中档．必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l________________，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法

向量．注意：方向向量和法向量均为非零向量且不唯一；同一直线的方向向量共线；同一平面的法向量共线．平行或重合位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔___________(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔__________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔_________l⊥αn∥m⇔_________(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔________(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔_________(3)空间位置关系的向量表示n1＝λn2n1·n2＝0n·m＝0n＝λmn＝λmn·m＝02．用向量法求空间角|cos〈a，b〉||cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉|[0，π](2)二面角θ与两平面法向量夹角〈n1，n2〉的关系图2(2)(4)中，θ＝π－〈n1，n2〉；图2(1)(3)中，θ＝〈n1，n2〉．1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|．2．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两个半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补．题组一走出误区——判一判(1)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角．(

)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(

)(3)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(

)(4)直线l的一个方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1，1)，l⊄α，则l∥α．(

)×√××题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第一册1．4．1练习T1改编)已知直线l的一个方向向量为a＝(－3，2，5)，平面α的一个法向量为b＝(1，x，－1)，若l∥α，则x＝(

)A．4 B．3C．2 D．1解析：因为l∥α，所以a⊥b，即a·b＝0，即－3＋2x－5＝0，解得x＝4．故

选A.(3)(人教B选择性必修第一册1．2．2练习AT1改编)若平面α的法向量为a＝(3，－1，2)，平面β的法向量为n＝(－6，2，－4)，则(

)A．α∥β

B．α⊥βC．α与β相交但不垂直 D．无法确定解析：由题意，得n＝－2a，则n∥a，α∥β．故选A．考点探究—提素养

利用空间向量证明平行、垂直

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，E为棱PC的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD．

利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和正方形B1C1CB的中心．求证：(1)AC1⊥平面A1BD；(2)EF∥平面A1BD；(3)平面B1EF∥平面A1BD．

利用空间向量求空间角(多考向探究)考向1求异面直线所成的角

如图四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为(

)

向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系．(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．考向2求直线与平面所成的角

在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝CB＝2DB，∠ACB＝90°，M为AD的中点．(1)证明：EM⊥AB；(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．解：(1)证明：由EC⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，得EC⊥AC，EC⊥BC，又∠ACB＝90°，则AC⊥BC，故以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设DB＝1，则CE＝CA＝CB＝2．

向量法求线面角的两种方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角(夹角为钝角时取其补角)，取其余角就是斜线与平面所成的角．考向3求二面角解：(1)证明：因为BC∥AD，BC＝2，AD＝4，M为AD的中点，所以BC∥MD，BC＝MD，所以四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD，又因为BM⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以BM∥平面CDE．

向量法求二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意有时需要结合实际图形判断所求角是锐二面角还是钝二面角．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．4．(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．(1)证明：B2C2∥A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P．利用空间向量求空间距离如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的棱DA，DC和DD1的长分别为1，2，1．求：(1)顶点B到平面DA1C1的距离；(2)直线B1C到平面DA1C1的距离．解析：由正方体的性质，得AB1∥DC1，D1B1∥DB，AB1∩D1B1＝B1，DC1∩DB＝D，且AB1⊂平面AB1D1，D1B1⊂平面AB1D1，DC1⊂平面BDC1，DB⊂平面BDC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，由正方体的棱长为1，得A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0)，6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．(1)求直线FC1到直线AE的距离；(2)求点A1到平面AB1E的距离．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★考向利用空间向量证明平行、垂直利用空间向量证明平行、垂直利用空间向量证明平行、垂直利用空间向量求空间角利用空间向量求空间距离空间向量在立体几何中的综合应用利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角利用空间向量证明平行、垂直空间向量在立体几何中的综合应用考点求异面直线所成的角求点面距求直线与平面所成的角求平面与平面的夹角题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向空间向量在立体几何中的综合应用利用空间向量求空间距离利用空间向量证明平行、垂直利用空间向量求空间角利用空间向量求空间距离利用空间向量求空间角空间向量在立体几何中的综合应用利用空间向量求空间角空间向量在立体几何中的综合应用利用空间向量求空间角考点求点线距利用空间向量证明平行求二面角求点面距求平面与平面的夹角求二面角求直线与平面所成的角一、单项选择题1．若直线l的一个方向向量为m，平面α的一个法向量为n，则可能使l∥α的是(

)A．m＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．m＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．m＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．m＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)解析：要使l∥α成立，需使m·n＝0，将选项一一代入验证，只有D满足m·n＝1×0－1×3＋3×1＝0．故选D．2．已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，给出下列说法：①n1∥n2⇔α∥β；②n1⊥n2⇔α⊥β；③v∥n1⇔l∥α；④v⊥n1⇔l⊥α．其中说法正确的有(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：n1∥n2⇔α∥β，故①正确；n1⊥n2⇔α⊥β，故②正确；v∥n1⇔l⊥α，故③错误；v⊥n1⇔l∥α或l⊂α，故④错误．故选B．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(

)A．异面 B．平行C．垂直不相交 D．垂直且相交三、填空题12．已知点A(1，0，2)，B(－1，1，2)，C(1，1，－2)，则点A到直线BC的距离是________．13．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝_____．四、解答题15．(2025·江苏南通模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别为AB，BC，B1B的中点．(1)证明：A1C1∥平面B1DE；(2)若AB＝1，AB⊥AC，B1D⊥A1F，求点E到平面A1FC1的

距离．解：(1)证明：因为ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以A1C1∥AC，又D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，所以DE∥A1C1，又A1C1⊄平面B1DE，DE⊂平面B1DE，所以A1C1∥平面B1DE．解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，又AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB．因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，根据平面知识可知AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．解法二：如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F，连接DF，因为PA⊥底面ABCD，所以平面PAC⊥底面ABCD，又平面PAC∩底面ABCD＝AC，所以DE⊥平面PAC，所以DE⊥CP，又EF⊥CP，DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以CP⊥平面DEF，根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A－CP－D的平面角，19．如图，平行六面体ABCD－