2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第8讲 函数零点与方程

第三章函数第8讲

函数零点与方程1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y＝f(x)，把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与_______有公共点⇔函数y＝f(x)有________．f(x)＝0x轴零点(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有___________，那么，函数y＝f(x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得_________，这个____也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝0cf(a)·f(b)<0有关函数零点的结论(1)若图象连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．1．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的零点是2，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是(

)A．2 B．0和2C．0 D．－2和0解析：由条件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零点为0和2.故选B.3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(

)A．(0，0.5)，f(0.125) B．(0，0.5)，f(0.375)C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.25)4．(人教A必修第一册习题4.5T13改编)若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，则实数a的值为________．解析：当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点；当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.综上，实数a的值为0或1.0或1核心考向突破考向一

函数零点所在区间的判断(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(

)A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析：函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．

判断函数零点所在区间的常用方法(1)定义法利用函数零点存在定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)解方程法当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(3)数形结合法画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．2．已知函数f(x)＝20×3－x－x的零点x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．2考向二

函数零点或方程根的个数的判定(1)函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数是(

)A．3 B．4C．5 D．6解析：求函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数，转化为求方程(x2－x)ln|2x－3|＝0在区间[－2，2]上的根的个数．由(x2－x)ln|2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln|2x－3|＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数为3.故选A.解析：作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象交点的个数，由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象只有一个交点；当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点；当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有三个交点，所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有两个交点．故选C.

判定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)函数零点存在定理法利用定理不仅要求函数f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所满足的条件．(3)数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(

)A．1 B．2C．3 D．46考向三

函数零点的应用角度1与零点有关的比较大小问题

在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较．角度2由函数零点存在情况或个数求参数范围

已知函数零点求参数范围的常用方法

高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，其中的一个成果是：设x∈R，则y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非负纯小数，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为__________．课时作业5．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点个数为(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝lnx(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.8．(2025·福建漳州高三开学检测)x1，x2为函数f(x)＝|logax|－3的两个零点，其中x1<x2，则下列说法错误的是(

)A．x1x2＝1 B．x1＋x2>2C．x1＋4x2的最小值为4 D．4x1＋x2的最小值为4二、多项选择题9．某同学求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：则方程lnx＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为(

)A．2.52B．2.56C．2.66 D．2.75f(2)≈－1.307f(3)≈1.099f(2.5)≈－0.084f(2.75)≈0.512f(2.625)≈0.215f(2.5625)≈0.066解析：由表格可知方程lnx＋2x－6＝0的解在(2.5，2.5625)内，又|2.5625－2.5|＝0.0625<0.1，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合．故选AB.三、填空题12．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数为f(x)＝____________________．x3－x(答案不唯一)解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，所以a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同的零点，所以b<0，所以f(x)＝x3－x满足题意．[4，9)14．(2025·河