2027届新高考数学一轮热点复习函数模型的应用

2027届新高考数学一轮热点复习函数模型的应用知识清单1.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)“对勾”函数模型2.指数、对数、幂函数性质比较性质函数y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调________单调________单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与________平行随x的增大逐渐表现为与________平行随n值变化而各有不同递增递增y轴x轴

××√×2．(人教A版必修一P139T1改编)下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使公司获益最大的函数模型是________．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x2；③y＝30＋lg(x＋1)；④y＝50.答案：①解析：结合三类函数的增长差异可知指数型函数增长最快，所以①的预期收益最大．3．(人教A版必修一P139T3改编)如图，对数函数y＝lgx的图象与一次函数y＝f(x)的图象有A，B两个公共点，则一次函数y＝f(x)的解析式为________．答案：f(x)＝(lg2)(x－1)4．(人教A版必修一P150T2改编)在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要________年．(参考数据：lg2≈0.3)答案：24

命题点一用函数图象刻画变化过程例1(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示(服用药物时间对应0时)则下列说法中正确的有(

)A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用答案：ABD解析：对于A，从题图的持续期可以得出，服用药物后10分钟到5.5小时之间，血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，药物发挥作用，故A正确；对于B，服药1单位后，若2.5小时后再次服药，则在首次服药3.5小时后，即第2次服药1小时后，体内血药浓度将会超过最低中毒浓度，会引起中毒，因此若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药，故B正确；对于C，服药1单位后，若3小时后再次服药，则在首次服药4小时后，即第2次服药1小时后，血药浓度将会超过最低中毒浓度，引起中毒，故C错误；对于D，第一次服药10分钟到5.5小时之内，药物会持续发挥治疗作用，第1次服药5.5小时后第2次服药，由于第2次服药对应的血药浓度增长速度大于第1次服药对应的血药浓度降低速度，从而体内的血药浓度会超过最低有效浓度，同时观察两次累计的最大值，不会超过最低中毒浓度，故D正确．故选ABD.学霸笔记：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．跟踪训练

(衔接·人教A版必修一P140T6)在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(

)答案：B解析：在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C；药物含量Q不能为负值，排除D；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.故选B.

声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(

)A．p1≥p2

B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2答案：ACD

学霸笔记：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．

答案：D

(1)求更新技术后的利润L(x)(千元)关于年产量x(千台)的函数解析式；

(2)更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润．

学霸笔记：解题步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理与运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；(3)评价与解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价与解释，并返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．

(1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？答案：由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为60＋0.5＝60.5(元)，故总利润为10×(85－60.5)＝245(万元)．(2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？

答案：C

答案：A

答案：A

4．(2026·嘉兴一模)为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：每户每年天然气用量天然气价格不超过300m32.98元/m3超过300m3但不超过480m3的部分3.60元/m3超过480m3的部分4.50元/m3若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为(

)A．610m3

B．600m3C．558.7m3

D．462.7m3答案：B

5．(2026·邯郸模拟)某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为P(t)＝P0·ert，其中r为年收益率，t为投资时间(单位：年)，e为自然对数的底数，P0为初始资金，P(t)为t年后的资金，已知某产品年收益率r＝5%，则使初始资金翻倍至少需要(参考数据：ln2≈0.6931)(

)A．12年

B．13年

C．14年

D．15年答案：C

6．(2026·深圳模拟)某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量(单位：个)分别记为y1和y2.设培育时间为t(单位：天)，据统计，两者数量满足以下关系：y1＝3×4t，y2＝8×3t.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要(

)A．3天

B．4天

C．5天

D．6天答案：B

答案：B

答案：A

9．某智能手机生产厂家对旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试(一轮测试时长为6小时)，得到了剩余电量y(单位：百分比)与测试时间t(单位：h)的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有(

)A．测试结束时，该手机剩余电量为85%B．该手机在前5h内电量始终在匀速下降C．该手机在0h～3h内电量下降的速度比3h～5h内下降的速度更快D．该手机在5h～6h进行了充电操作答案：ACD

10．已知放射性物质质量随时间t的衰变公式N(t)＝N0e－t,τ，N0表示物质的初始质量，τ是一个具有时间量纲的数．半衰期T指的是放射性物质质量从初始质量到衰变成一半所需的时间，已知铀234、铀235、铀238对应的τ的取值分别为35.58万年，10.2亿年，64.75亿年．若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则(取ln2＝0.7)(

)A．T＝τln0.5 B．T与τ成正比例关系C．T1>T2

D．T3>10000T1答案：BD

答案：BD

12．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如下表：研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a≠0)．当温度t为20℃时，声音传播的速度v为________m/s.温度t(℃)－1001030声音传播的速度v(m/s)324330336348答案：342解析：由题意，当t＝0时，v＝330，则330＝a×0＋b

①，当t＝10时，v＝336，则336＝a×10＋b

②，联立

①②解得b＝330，a＝0.6，所以v＝0.6t＋330，将t＝20代入，则v＝0.6×20＋330＝342(m/s)．

答案：36

14．(2026·临沂模拟