2027届新高三数学热点复习导数中的构造问题

2027届新高三数学热点复习导数中的构造问题

答案：B

答案：A

学霸笔记：根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点，构造具体的函数解析式，利用导数研究该函数的性质从而解决问题．

答案：A

(2)已知x，y∈(0，＋∞)，x，y满足x2－y>lny－2lnx，则(

)A．y－2x>0 B．y－x2>0C．2x－y>0 D．x2－y>0答案：D

视角二构造抽象函数解不等式或比较大小题型1构造f(x)±g(x)型可导函数例2：(2026·唐山模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若对任意x∈R都有f′(x)<2，f(2)＝3，则使得f(ex)<2ex－1成立的x的取值范围是___________．(ln2，＋∞)解析：设g(x)＝f(x)－2x，则g′(x)＝f′(x)－2<0，g(2)＝f(2)－2×2＝－1，可知g(x)在R上单调递减，由f(ex)<2ex－1，得f(ex)－2ex<－1，即g(ex)<g(2)，故ex>2，则x>ln2，即使得f(ex)<2ex－1成立的x的取值范围是(ln2，＋∞)．学霸笔记：当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝(f(x)±g(x))′”，构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．跟踪训练定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)>3，f(2)＝6，则f(x)>3x的解集为(

)A．(－∞，0) B．(－∞，2)C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)答案：D解析：令函数g(x)＝f(x)－3x，求导得g′(x)＝f′(x)－3，而f′(x)>3，则g′(x)>0，函数g(x)在R上单调递增，又f(2)＝6，则g(2)＝f(2)－6＝0，不等式f(x)>3x⇔f(x)－3x>0⇔g(x)>g(2)，解得x>2，所以所求解集为(2，＋∞)．故选D.题型2构造f(x)·g(x)型可导函数例3：(1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，满足f(x)＋f′(x)>0(f′(x)为f(x)的导函数)，设a＝ef(1)，b＝e3f(3)，c＝e2f(2)，则(

)A．a>b>c

B．b>c>aC．b>a>c

D．a>c>b答案：B

解析：令g(x)＝exf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，因为f(x)＋f′(x)>0，所以g′(x)>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为1<2<3，所以b>c>a.故选B.

答案：A

学霸笔记：当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＝(f(x)·g(x))′”，构造可导函数y＝f(x)·g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．

答案：D

答案：B

跟踪训练已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)－f(x)<0，f(1)＝e，则不等式f(x)>ex的解集为__________．(－∞，1)

答案：D

2．设函数f(x)，g(x)在[a，b]上的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且f′(x)>g′(x)，f(a)＝g(a)，则当x∈(a，b)时，下列各式一定成立的是(

)A．f(x)＋g(x)>0 B．f(x)<g(x)C．f(x)>g(x) D．f(x)＋g(x)<0答案：C解析：由题可知f(x)，g(x)的正负无法判断，所以f(x)＋g(x)与0的关系无法判断，故AD错误；设F(x)＝f(x)－g(x)，F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0，所以F(x)在[a，b]上单调递增，因为f(a)＝g(a)，所以F(a)＝0，所以当x∈(a，b)时，F(x)>F(a)＝0，即f(x)>g(x)，故B错误，C正确．故选C.

答案：A

4．(2026·泉州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2)＝1，对任意的x∈R，f(x)＋xf′(x)<0，则不等式(x＋1)f(x＋1)>2的解集是(

)A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)答案：A解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，所以g(x)在R上单调递减，又g(2)＝2f(2)＝2，由(x＋1)f(x＋1)>2，即g(x＋1)>g(2)，所以x＋1<2，解得x<1，所以不等式(x＋1)f(x＋1)>2的解集是(－∞，1)．故选A.

答案：B

6．(2026·邯郸模拟)已知函数f′(x)是定义域为R的奇函数f(x)的导函数，当x<0时，xf′(x)－f(x)>0，且f(2)＝4，则不等式f(x)≤2x的解集为(

)A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2，0]∪[2，＋∞)D．[－2，0)∪[2，＋∞)答案：C

7．若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“ea－eb>a－b”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：由题意设f(x)＝ex－x(x>0)，对其求导得f′(x)＝ex－1，则当x>0时，f′(x)＝ex－1>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增．充分性判断：因为a>b>0，所以

f(a)>f(b)，即ea－a>eb－b，移项得ea－eb>a－b，所以“a>b”可推出“ea－eb>a－b”，充分性成立．必要性判断：因为a>0，b>0且ea－eb>a－b，得ea－a>eb－b，即f(a)>f(b)，根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，可得a>b，所以“ea－eb>a－b”可推出“a>b”，必要性成立．因此，“a>b”是“ea－eb>a－b”

的充要条件．故选C.

答案：C

9．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，满足f′(x)＋2f(x)>0，e为自然对数的底数，则(

)A．f(1)>e2f(2)B．e2f(－1)>f(－2)C．f(2)<e2f(3)D．e4f(－1)>f(－3)答案：BCD解析：令g(x)＝e2xf(x)，由题可知g(x)在R上可导，g′(x)＝e2x[f′(x)＋2f(x)]，当x∈R时，g′(x)>0，g(x)在R上单调递增；由g(1)<g(2)，得f(1)<e2f(2)，故A错误；由g(－1)>g(－2)，得e2f(－1)>f(－2)，故B正确；由g(2)<g(3)，得f(2)<e2f(3)，故C正确；由g