2027届新高三数学热点复习函数的概念及表示

2027届新高三数学热点复习函数的概念及表示知识清单知识点1函数的有关概念1.函数的概念函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法y=f(x),x∈A,x叫做自变量,与x的值相对应的y值叫做函数值定义域x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域值域函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域提醒直线x=a(a为常数)与函数y=f(x)的图象有0或1个交点.2.同一个函数如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也

相同,那么这两个函数是同一个函数.3.函数的表示法解析法、列表法、图象法.知识点2分段函数若函数在其定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的

函数称为分段函数.提醒

分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,

值域是各段值域的并集.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)A=N,B=N,f:x→y=(x-1)2是从集合A到集合B的函数.

()(2)y=

与y=

是同一个函数.

()(3)任何一个函数都有三种表示法.

()

✕

✕

√

2.下列图象中,y不是x的函数的是

()

D

3.函数f(x)=

的定义域是____________________.

(-∞,2)∪(2,3]

4.已知f(x)=

+

,若f(-2)=0,则a的值为_________.

1

5.若f(x)=

则f(f(-1))=_________.

3

考点清单考点1函数的概念及表示角度1函数的概念典例1

(1)(多选)下列选项中正确的是

(

)A.函数f(x)=

-

的定义域为[0,+∞)B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点C.函数y=

与y=x-1表示同一个函数D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同(2)已知函数y=f(x+1)的定义域为[1,2],则函数y=f(2x-1)的定义域为

()A.

B.

C.[-1,1]

D.[3,5]

B

ABD

解析

(1)对于A,由题意得

解得x≥0,即函数f(x)的定义域为[0,+∞),A正确.对于B,D,根据函数的定义知B,D正确.对于C,函数y=

的定义域是{x|x≠-1},函数y=x-1的定义域是R,C不正确.故选ABD.(2)由函数y=f(x+1)的定义域为[1,2]知2≤x+1≤3.因此函数y=f(x)的定义域为[2,3].在函数y=f(2x-1)中,2≤2x-1≤3,解得

≤x≤2,故选B.方法总结求复合函数的定义域

变式训练1.(关键元素变式)若函数f(x)的定义域为[-2,4],则y=

的定义域为

()A.(1,8]

B.[-4,1)∪(1,8]C.(1,2]

D.[-1,1)∪(1,2]

D

解析由题意得

解得-1≤x≤2且x≠1.故选D.角度2求函数的解析式典例2

(1)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,则f(x)=______________.(2)若f(

+1)=x+2

,则f(x)的解析式为______________________.

f(x)=x2-1(x≥1)

x2-x+1

解析

(1)由f(x)是二次函数设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1.由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,整理得2ax+a+b=2x,则有

解得

所以f(x)=x2-x+1.(2)解法一换元法令

+1=t,则x=(t-1)2,t≥1.所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).解法二配凑法

f(

+1)=x+2

=x+2

+1-1=(

+1)2-1.因为

+1≥1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).方法总结函数解析式的求法待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等),则可用待定系数法换元法主要适用于求解:已知f(g(x))的解析式,求函数f(x)的解析式.其求解的步骤如下:(1)先令g(x)=t,求出t的取值范围;(2)反解出x,用含t的代数式表示x;(3)将f(g(x))中的x换为用t来表示,可求得f(t)的解析式,从而求得f(x)配凑法由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式构造法已知关于f(x)与f

或f(-x)或f

的一个等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出f(x)赋值法f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可对变量赋值求出f(x)变式训练2.(构造法)已知函数f(x)的定义域为R,且满足2f(x)-f(1-x)=x,则f(x)=

()A.x-2

B.

C.

D.-x+2

B

解析因为2f(x)-f(1-x)=x①,所以2f(1-x)-f(x)=1-x②,由①×2+②得3f(x)=x+1,则f(x)=

.故选B.3.(赋值法)已知f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对任意实数x,y恒成立,且f(0)=1,则f(x)的解析式为

___________________.

f(x)=x2+x+1

解析令y=x,则f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1),因为f(0)=1,所以f(x)-x(x+1)=1,所以f(x)=x2

+x+1.考点2分段函数典例3

(1)(分段函数求值)设f(x)=

则f(9)的值为

()A.9

B.11

C.28

D.14(2)(分段函数的值域)已知函数f(x)=

若函数f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是_______________.

[-10,6]

B

解析

(1)f(9)=f(f(14))=f(2×14-15)=f(13)=2×13-15=11.故选B.(2)在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x+6与y=x2-4x的图象,如图.结合图象可知要使f(x)的值域为R,则有

解得-10≤a≤6.

方法总结

1.求分段函数的函数值的方法先确定自变量的取值属于哪一段区间,再代入该段区间所对应的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.2.与分段函数有关的方程或不等式问题依据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应解析式分类讨论求解,最后将讨论结

果并起来,特别地,可以借助函数单调性求解不等式.3.分段函数求值域(1)根据自变量的不同范围,求出每段函数的值域,每段函数的值域的并集就是函数的值域.(2)借助函数的图象,确定函数的值域,解含有参数的值域问题常用此法.变式训练4.(分段函数与不等式)设函数f(x)=

若f(a2-3)>f(a-1),则实数a的取值范围是______________________.

(-∞,-1)∪(2,+∞)

解析作出函数f(x)=

的图象,如图所示,

由图可知,函数f(x)=

在R上单调递增,所以由f(a2-3)>f(a-1),可得a2-3>a-1,即a2-a-2>0,解得a<-1或a>2,则实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).5.(已知函数值求自变量)函数f(x)=

当f(f(a))=8时,实数a=_________.

8

解析令f(a)=t,当t≤1时,t2+2t=8,解得t=-4或t=2(舍去);当t>1时,

-5=8,解得t=

(舍去),因此t=-4,所以f(a)=-4.当a