2025-2026学年人教A版数学必修第二册全册综合练习卷（含答案）

2025-2026学年人教A版数学必修第二册全册综合检测练习卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a=(2,1),b=(1,x),若a+b与3b-2a平行,则实数x的值是()A.0 B.12C.1 D.32.某人射击一次,设事件A=“中靶”;事件B=“击中环数大于6”;事件C=“击中环数大于1且小于6”;事件D=“击中环数大于0且小于6”,则正确的关系是()A.B与C为互斥事件 B.B与C为对立事件C.A与D为互斥事件 D.A与D为对立事件3.已知z是z的共轭复数,若z+z=2,(z-z)i=2,则z=()A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i4.若“A+B”发生(A,B中至少有一个发生)的概率为0.6,则A,B同时发生的概率为(A.0.6 B.0.36 C.0.24 D.0.45.在△ABC中,若内角A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC,则cosB=()A.154 B.3C.31510 D6.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分别为x和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为()A.x,s2+1002 B.x+100,s2+1002C.x,s2 D.x+100,s27.我国古代《九章算术》里,记载了一个“商功”的例子:今有刍童,下广二丈,袤三丈,上广三丈,袤四丈,高三丈.问积几何?其意思是:今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示),下底宽2丈,长3丈,上底宽3丈,长4丈,高3丈.问它的体积是多少?该书提供的算法是:上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘,同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘,将两次运算结果相加,再乘高,最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A.13.25立方丈 B.26.5立方丈C.53立方丈 D.106立方丈8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,则A=()A.30° B.60° C.120° D.150°二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法中正确的是()A.若复数z满足|z-i|=5,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,5为半径的圆上B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8iC.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模D.复数z1对应的向量为OZ1,复数z2对应的向量为OZ2,若|z1+z2|=|z1-z210.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中正确的是()A.a为单位向量 B.b为单位向量C.a⊥b D.(4a+b)⊥BC11.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PAEC.BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.

13.已知向量a=(1,m),b=(3,3),若向量a,b的夹角为π3,则实数m.

14.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)设向量e1,e2的夹角为60°,且|e1|=|e2|=1.(1)若AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3(e1-e2),证明A,B,D三点共线;(2)试确定实数k的值,使向量2e1+e2与向量e1+ke2垂直.16.(15分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.17.(15分)如图,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,DC∥AB,BC=CD=12AB=2,G为线段AB的中点,将△ADG沿GD折起,使平面ADG⊥平面BCDG,得到几何体A-BCDG(1)若E,F分别为线段AC,AD的中点,求证:EF∥平面ABG;(2)求三棱锥C-ABD的体积.18.(17分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:等级系数X12345频率a0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值;(2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2,购买者从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出试验的样本空间,并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率.19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;(3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.2025-2026学年人教A版数学必修第二册全册综合检测练习卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.B解析:由已知得a+b=(3,1+x),3b-2a=(-1,3x-2),∵a+b与3b-2a平行,∴3(3x-2)+1+x=0,解得x=122.A解析:对于选项A,B∩C=⌀,故B和C是互斥事件;对于选项B,B∪C≠Ω,故B与C不是对立事件;对于选项C,因为事件A包含事件D,所以A与D不是互斥事件;对于选项D,因为事件A包含事件D,所以A与D不是对立事件.3.D解析:设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi.由已知得z+z=2a=2,解得a=1,(z-z)i=-2b=2,解得b=-1.故z=1-i.4.D解析:“A+B”发生指A,B中至少有一个发生,它的对立事件为A,B都不发生,即A,B同时发生,则P(AB)=1-P(A+B)=1-0.6=05.D解析:由6sinA=4sinB=3sinC,得sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4.设角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由正弦定理,得a∶b∶c=2∶3∶4.设a=2k,b=3k,c=4k,k>0,则cosB=a26.D解析:设yi=xi+100(i=1,2,3,…,10),则y=x+100,sy27.B解析:由题意知,刍童的体积为[(4×2+3)×3+(3×2+4)×2]×3÷6=26.5(立方丈),故选B.8.A解析:由sinC=23sinB及正弦定理,得c=23b,代入a2-b2=3bc,得a2-b2=6b2,即a2=7b2,由余弦定理,得cosA=b2∵0°<A<180°,∴A=30°.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.CD解析:满足|z-i|=5的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,5为半径的圆上,故A中说法错误;在选项B中,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=a2由z+|z|=2+8i,得a+bi+a2+b2∴a+a∴z=-15+8i,故B中说法错误;由复数的模的定义知C中说法正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,故D中说法正确.10.解析:∵等边三角形ABC的边长为2,AB=2a,∴|AB|=2|a|=2,∴|a|=1,故A中结论正确;∵AC=AB+BC=2a+BC=2∴BC=b,∴|b|=2,故B中结论错误;∵AB=2a,BC=b,∴a与b的夹角为120°,故C中结论错误;∵(4a+b)·BC=4a·b+|b|2=4×1×2×-12+4=0,∴(4a+b)⊥BC,故D11.BD解析:对于A,若PB⊥AD,而PA⊥AD,则AD⊥平面PAB,从而AD⊥AB,显然不成立,故A错误;对于B,易证AB⊥AE,AB⊥PA,从而AB⊥平面PAE,又因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE,故B正确;对于C,若BC∥平面PAE,则BC∥AE,显然不成立,故C错误;对于D,易知∠PDA为直线PD与平面ABC所成的角,因为PA=2AB,AD=2BC=2AB,所以PA=AD,所以∠PDA=45°,即直线PD与平面ABC所成的角为45°,故D正确.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.-2解析:由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数可得a+2=0,1-2a≠0,解得a=-2.13.-3解析:因为a·b=3+3m,且a·b=23×1+m所以3+3m=3(1+m2)14.0.46解析:设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件(A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A2A3)发生,故所求概率为P=P[(A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A2A3)]=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)∵AB=e1+e2,BD=BC+CD=5e1+∴BD=5AB,即AB与BD又AB与BD有公共点∴A,B,D三点共线.(2)∵(2e1+e2)⊥(e1+ke2),∴(2e1+e2)·(e1+ke2)=0,∴2e12+2ke1·e2+e1·e2+ke即2+k+12+k=0,解得k=-516.解:(1)由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=4+9-2×2×3×12=7,所以BC=7(2)由正弦定理,得ABsin所以sinC=ABBC·sinA=2sin60因为AB<BC,所以C为锐角,所以cosC=1-所以sin2C=2sinCcosC=2×21717.(1)因为折叠前后CD,BG的位置关系不变,所以CD∥BG.因为在△ACD中,E,F分别为AC,AD的中点,所以EF∥CD.所以EF∥BG.又因为EF⊄平面ABG,BG⊂平面ABG,所以EF∥平面ABG.(2)因为BC=CD=12AB=2,G为线段AB的中点,所以CD=BG又因为∠B=90°,CD∥BG,BC=CD,所以四边形BCDG是一个正方形,所以BG⊥DG,AG⊥DG,折叠后仍然成立.因为平面ADG⊥平面BCDG,所以AG⊥平面BCDG,所以V三棱锥C-ABD=V三棱锥A-BCD=13AG×S△BCD=13×2×12×2×218.解:(1)由题中频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35.因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b=320=0.15等级系数为5的恰有2件,所以c=220=0.从而a=0.35-b-c=0.1,所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.(2)从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取2件,试验的样本空间Ω={(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2)},共有10个样本点.设事件A=“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取2件,其等级系数相等”,则A={(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2)},共有4个样本点.故所求的概率P(A)=410=0.419.(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(2)证明:因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD