山西省运城市2025-2026学年高二下学期5月份过程性素质评价数学试卷（含解析）

山西太原新希望双语学校、第四中学校等校2025-2026学年高二下学期5月份过程性素质评价数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则的真子集个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．82．某同学记录了当地月最后天每天的最低气温（单位：），分别为、、、、、、、，则该组数据的第百分位数为（

）A． B． C． D．3．已知x1，x2∈R，则“且”是“且”的A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．以下结论错误的是（

）A．命题：“，”的否定为“，”B．设随机变量服从正态分布，若，则C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好D．回归直线一定过样本中心5．已知，，，则（

）A． B． C． D．6．在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（

）A．18种 B．24种 C．30种 D．36种7．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知服从正态分布，记函数，，则正确的是（注：若，则，（

）A． B．C． D．的图象关于对称二、多选题9．设，为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（

）A．若事件，互斥，则B．若事件，互斥，则C．若事件，相互独立，则D．若，则10．已知实数a，b满足，，，则（

）A．ab的最大值为1 B．的最小值为C．的最小值为2 D．的最大值为211．已知定义在上的函数满足，，则（

）A．的图象关于直线对称 B．为奇函数C．的最小正周期为4 D．三、填空题12．求值：______________.13．展开式中的系数为______．（用数字作答）14．如图，用个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从到的电路为通路的状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则______.四、解答题15．某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．

(1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数；(2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？属于“优等生”不属于“优等生”合计男生女生合计附：．16．已知集合，集合，其中．(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；(3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围．17．如图，平行四边形中，中点为，现以为折痕把折起，使点到达点的位置.(1)若中点为，证明：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值.18．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.19．某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响．(1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率；(2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值；(3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求．参考答案1．C【详解】由题意得，集合，则．则的真子集个数为．2．D【详解】将这个数据由小到大依次排序为：、、、、、、、，因为，故该组数据的第百分位数为.3．A【详解】由“且”，则“且”，故充分性满足；反之，若“且”，取，显然成立，但并不满足“且”，故不满足必要性.故选：A4．C【详解】对于A，命题：“，”的否定是“，”，故A正确；对于B，根据正态分布的性质可知，，则,那么，所以，，故B正确；对于C，用决定系数来刻画回归效果，越大拟合效果越好，故C错误；对于D，样本中心点一定在回归直线上，故D正确.5．D【详解】由题意可知，.则，所以.则，所以.所以.故选：D.6．C【详解】因为4个人分配到3个不同的岗位，且每个岗位至少1名，所以必有一个岗位2人，另2个岗位各一人，共有种方法.若安排甲、乙在同一个岗位，为2人组，而丙、丁各为一人一组，3个小组全排列到3个不同的岗位，共有种方法，所以安排甲、乙不在同一个岗位有种方法.故选：C7．A【详解】当时，函数在上单调递增，函数值集合为，由函数的值域为R，得函数在上的值域包含，当时，函数，求导得，而，当时，，函数在上单调递增，函数值集合为，而恒成立，则；当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，，函数值集合为，于是，解得，则，所以a的取值范围是.故选：A8．D【详解】因为，所以均值，标准差，对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，因为，则，，因为，而区间与不关于直线对称，所以，故C错误；对于D，因为，所以，，所以，又，所以，即，所以，即的图象关于对称，故D正确.9．ACD【详解】选项A：若事件，互斥，则，A正确；选项B：，.若事件，互斥，事件，不一定互斥，因此.实际（事件，互斥，），B错误；选项C：若事件相互独立，则，C正确；选项D：由得，，所以，D正确.10．BC【详解】A，,，解得，当且仅当时等号成立，因此最小值为，无最大值.B，因为，则，所以，当且仅当时等号成立.C，，则，整理得，因此，因为，所以，当且仅当时等号成立.D，根据题设及A分析知，显然的最大值为2说法有误.11．ABD【详解】由，可知，所以的图象关于直线对称，A正确；由，可知，所以为奇函数，B正确；因为，所以，所以函数的一个周期为2，C错误；因为为奇函数，所以，因为的图象关于直线对称，所以，D正确；12．2【详解】易知.故答案为：213．【详解】的展开式通项为，的展开式通项为，所以的展开式通项为，由可得，故展开式中的系数为.14．【详解】每个单元由2个元件组成，各单元之间相互独立，设事件：某单元正常工作，：某单元中有损坏元件，则，，由条件概率公式得，所以，.15．(1)，人(2)表格如下：属于“优等生”不属于“优等生”合计男生女生合计不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．【详解】（1）由各组频率之和为，得，解得，则属于“优等生”的有人.（2）由题意，样本中男生有人，则女生有人．属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人.不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人．所以得到列联表如下：属于“优等生”不属于“优等生”合计男生女生合计零假设：这次成绩是否优秀与性别无关．根据表中数据，计算得．根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．16．(1)(2)(3)或【详解】（1）解不等式，得．当时，，故．因此．（2）“”是“”的必要不充分条件．由题意得：，列不等式组：，解得，所以实数m的取值范围为．（3）由，解得或，命题p为真或，即或得：或．17．(1)证明见解析；(2).【详解】（1）取中点，连接，因为分别为中点，所以，且，又四边形是平行四边形，且为中点，所以，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在中，，所以，所以，因为，所以.在中，，所以，即，解得.因为，所以，又，平面，所以平面ABCD.以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值是.18．(1)(2)(3)【详解】（1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，∴，即，整理得到：恒成立，解得或（舍）.（2）当时，，∴.（3）由（1）知，，即，即即在上有解，在上单调递减，的值域为，∴.19．(1)(2)(3)【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为；（2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次；或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为；故当时，的最小值为（3