深圳聚龙科学中学等校高一数学2026年5月第二阶段测试试卷（含答案）

2025−2026学年度第二学期高一年级第二阶段质量监测数学试题本试卷共4页，19题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号。2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=3−4i的模长是（A.5 B.6 C.7 D.82.已知平面向量a=(6,−4)，b=(1,λ+1)，若a⊥A.−52 C.13 D.3.在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=5，b=6，cosB=7A.7 B.11C.8 D.94.已知正四棱锥的底面边长为32，侧棱长为5，则它的体积为（

A.18 B.21 C.24 D.275.已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α是空间中某平面，下列命题正确的是（

）A.若l⊥m，mB.若l∥α，mC.若l⊥m，mD.若l∥m，m6.如图，已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1

A.30° B.45°C.60° D.90°7.已知向量a与b的夹角为π6，|a|=2，|b|=1，则向量aA.b B.3C.a D.38.在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=6，AB→·AB→=6，动点P在边BCA.[−6,−2] B.[−2,10]C.[−2,6] D.[−6,10]二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.已知复数z=3−iA.z的实部为−1B.z的虚部为−C.|D.z的共轭复数为1+10.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，MA.直线AM与CCB.直线MN与BDC.直线BM与MBD.直线MN与BN所成角为90°11.在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，且2A.AB.∆ABC外接圆的面积为C.∆ABC面积的最大值为D.∆ABC周长的最大值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a→，b→的夹角为60°，且|a→13.已知某圆台的上底面和下底面的半径分别是1和2，侧面积是32π，则该圆台的体积为14.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD.若PA=a，则直线PB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题13分）在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2（1）求A；（2）若a=22，B=16.（本小题15分）（1）已知a=(4,2)，求与a（2）已知向量a=(1,0)，b=(1,1)，当λ为何值时，a+（3）已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，当k为何值时，向量17.（本小题15分）已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，a=2（1）求|a|，（2）求a与b的夹角。18.（本小题17分）如图，P为圆锥顶点，O为底面圆心，A，B，C均在底面圆周上，且△ABC(1)求证：平面POA⊥（2）若圆锥的底面半径为r=2，高为h（3）在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由.19.（本小题17分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB（1）求直三棱柱ABC−（2）求证：A1C∥（3）一只小虫从点A12025−2026学年度高一第二学期第二次阶段考试数学试题参考答案《单选题多选》参考答案题号1234567891011答案ABDCABBDABCACBCD12.3由题意，|故答案为：313.7π3圆台的上底面和下底面的半径分别是r=1和R=2，设母线长为l，高为h，侧面积是32故π(所以l=圆台的高为h=所以圆台体积为V=故答案为：714.π如图所示：将四棱锥P−ABCD放入边长为连接BC1，B1C相交于M，易知：BC1故∠BPM为直线PB与平面PCDRt∆BPM中：BP=2故答案为：π15.（1）因为2bc=b2+c2（2）因为A=π4，a所以由正弦定理，得asinA即22所以b=216.（1）设与a垂直的单位向量为e=(则{x2+y2所以e=55（2）因为a=(1,0)，b=(1,1)，所以因为a+λb与a所以(1+λ,λ)·(1,0)=0，即（3）a+kb与a即a2因为a2=32=9解得k=±34。也就是说，当k=±317.解：（1）因为e1，e2是两个单位向量，其夹角为则|e1|=1，|又a2所以|a同理b2=(−3e（2）由题得，a·设a与b的夹角为θ，则cosθ=因为θ∈[0,π]，所以θ=2π3， 4分则a与b的夹角为23π。 15分18.（1）证明：延长AO，交BC于点M，由∆ABC为等边三角形，得O是∆则AO⊥BC， 2分易知PO⊥平面ABC因为BC⊂平面ABC所以PO⊥BC， 4分又PO∩AO=O，PO，所以BC⊥平面POA， 5分又BC⊂平面PBC所以平面POA⊥平面PBC。 6分（2）连接PM，作AH⊥PM于H，由（1）知BC⊥因为AH⊂平面POA，所以BC因为BC∩PM=M，BC，所以AH⊥平面PBC 8分故A到平面PBC的距离为AH的长。易知AM=32又PO=22，所以PM=PO2+MO2=3， 10分所以PM=又∠AMH=∠所以Rt

∆故AH=所以点A到平面PBC的距离为22（3）存在外接球设球心为Q，由对称性可知球心在直线PO上，由球心定义可知Q是直线PO和线段PA中垂线交点，下面为截面示意图.........13分设球半径为R，在直角三角形OAQ中，由勾股定理知：RR=所以球表面积S=419.解：（1）在直三棱柱ABC−A1B1由AB=8，AC=6，∠BAC=90°，得所以直三棱柱ABC−A1（2）连接A1由矩形ABB1A则DE∥A1C，又A1C⊄所以A1C∥（3）当小虫从点A1沿A1B1C1爬到点D，把矩形连接A1D，过A1作A1F⊥BC由BC//B1C1，得AOC1=因此A1D=当小虫从点A1沿正方形ACC1把正方形ACC1A或把正方形ACC1A在左图中，取A