重庆八中高一数学2026年5月学科训练5试卷（含答案）

重庆八中高2028级高一（下）数学学科训练5一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1−2A.3 B.5C.3 D.52.已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理错误的是A.A∈l，A∈αB.A∈α，A∈βC.A,B,C∈D.A∈α，A3.在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=π6A.32 B.C.2 D.14.已知向量a，b满足|a|=1，a⊥b，则向量A.a B.7C.−a D.5.若P是正方体ABCD−A1A.AP∥BCC.AP⊥BC 6.如图，将六个边长为1的小正方形拼成一个大长方形，A，B是原来小正方形的两个顶点，Pi(i

A.10个 B.7个 C.5个 D.3个7.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，

A.23 B.1C.13 D.8.已知∆ABC斜二测画法下的直观图是面积为93的正三角形A'B'C'（如图所示），则顶点CA.6B36C.6D.6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥A.三条直线可以两两相交 B.三条直线可以两两异面C.三条直线中必有两条直线平行 D.三条直线必定不共面10.已知圆O半径为2，弦AB=2，点C为圆O

A.AB→B.AB→·C.|D.满足AB→·AC11.在∆ABC中，已知3sinB+4A.BB.sinAC.ABD.∆ABC的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若一个半径为3的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为

。13.已知复数z满足z2=(z¯)2，且14.已知在底面边长为43，高为4的正三棱柱ABC−A1B四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点M，N分别是边AC，A（1）求证：平面A1BM∥（2）求证：AC1⊥16．在∆ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=30°，（1）若c=2，求C（2）若cosAcosC=−3817．如图，AB是⊙O的直径.PA与⊙O所在的平面垂直，PA=AB=2，C是⊙O上的一动点（不同于A，B），M为线段PB的中点，点（1）求证：AN⊥（2）当AC=BC时，求直线PC与直线18.已知a，b，c分别为∆ABC三个内角A，B，C的对边，b（1）求B；（2）若∆ABC的面积为3①求∆ABC②如图，若D，E为线段BC上（不含端点）的两个动点，∠DAE=60°，求19.如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，上的点，满足BM（1）若λ=1，求证：直线MN∥平面（2）是否存在实数λ，使直线MN同时垂直于直线PB，直线DC？如果有请求出λ的值，否则请说明理由；（3）若λ=1，求直线MN与直线PD=2，3bsinC且PA=2重庆八中高2028级高一（下）数学学科训练5参考答案1.B2.C3.C4.A5.B6.D7.A连接AC交BE于G点，连接GF，显然平面ACP∩平面BEF=GF，又PA∥平面EBF，PA⊂平面ACP由ABCD为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知AGGC=AE8.D过点C'作C'C''∥y设正三角形A'B'C'的边长为a在∆A'C'C∠C由正弦定理C'C''可得C'C''=6sin120°sin45°=9.ABD10.AB对于A，圆O半径为2，弦AB=2，故∆所以AB→对于B，过点O作OE∥AB，交圆于点E，过点E作EG⊥AB，并交AB的延长线于点G，连接EB，取AB中点D，连接OD，因为所以OABE是平行四边形，又AO=BO=2由投影向量可知，当C，E两点重合时，AB→·AC→取得最大值，此时AG=3对于C，因为OABE是菱形，OC→因为|EA→|=2|MA→|=23，|OC→|=2，所以当EA→与OC→平行且方向相同时，|OC→−AB→−AO→|取最大值为23+2，当EA→与OC→11.ACD由辅助角公式得3sinB+4cosB则3sinB+4cosB的最大值为5同时5sin(C−A)的最大值也为由3sinB+4cosB=5，结合sin2B+cos2由5sin(C−A)=5，得sin(C−A)=1所以cos2A=cosπ2−B=故B错误；sin2A=sinπ2−又B∈0,π2，且sinB>sinA，所以B>正弦定理得，a=5sinA=5，c=5sinC=25，即确；∆ABC的面积S=112.4π设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，高为hS球=4πR2=12π所以S侧13.设z=a+z2=a2+2几何意义知z在复平面内对应的点Z(轴上运动，如图所示即在线段AB，CD上运动，设E(4,2)，则|z−4−2i|=|14.63由题意，正三棱柱ABC当小球与上底面相切时，球心到上底面的距离为1，当小球与下底面相切时，球心到下底面的距离为1，所以在上下方向上，球心的轨迹在距离上下底面各为1的位置，即在高为4−2×1=2的范围内.正三棱柱底面是边长为43球与侧面相切时，球心到侧面的距离为1，相当于在正三角形的内切圆基础上，向正三角形的中心方向移动了1个单位，如图，而AB=BC=CA=43，又O为正三角形ABC的中心，所以OD=2，所以OD'=1，又∆A所以A'D'=为23，高为2的正三棱柱.因此，该几何体的体积为615.（1）直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C∴A1N∥MC，即四边形A1MCN为平行四边形，从而A面B1NC，故A1M∥平面B1NC∴MN∥BB1，∴四边形MNB1B为平行四边形.从而B1NC，故BM∥平面B1NC.又A1M∥平面B1A1M⊂平面A1MB（2）M为AC中点，AB=BC，BM⊥AC，直三棱柱ABC−A1面ABC，∴BM⊥AA1，BM⊥AC，A∵AC1⊂平面ACC1A1，∴tan∠C1AC=∠MA1A+∠A1AC1=π2∴AC116.（1）因为B=30°，c=2，b=因为0∘<C<180∘，所以C=45°或C=135°．所以当（2）在∆ABC中，因为cosBsinAsinC=cosAcosC+cosB，把sinAsinC=−38所以a=22sinA，c所以S∆ABC=1217.（1）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为直径，所以BC⊥AC，又PA∩AC=A，且PA，AC⊂又因为AN⊂平面PAC，所以AN⊥BC．因为AN⊥PC，且PC∩BC所以AN⊥平面PBC，因为MN⊂平面PBC，所以AN⊥（2）因为AC=BC，所以在等腰直角三角形ABC中，AB=2又在直角三角形PAC中，PA=2，得PC=6．因为∆PAB为等腰直角三角形，且PA=AB=2，得PB=22，所以AM=2，取BC的中点为S所以∠AMS为异面直线PC与AM所成的角或其补角，在Rt∆ACS中，ACAS=102，在∆AMS中，AM=cos∠AMS=AM2+18.（1）由正弦定理可得：3sinBsinC在∆ABC中，sinA=sin因为在∆ABC中，0∘<C<180∘因为0∘<B（2）①因为S∆ABC=12a2+c2=16，又a2②由a+c=23+2，得c解得：a=2或23，所以{a=2c所以a>b=2，故a=23所以∠BAC=120°，∠ACB=30°，设则∠AEC=150°−θ，∠ADC=90°−所以AE=ACsin∠Csin所以AD=ACsin∠因为0°<θ<60°，则0<tanθ19.（1）取AP的中点Q，连接QM，QD，因为λ=1，所以M是线段PB因此QM∥AB，MQ=12AB，因为所以DN∥AB，DN=12AB，因此有有NM∥QD，而NM⊄平面PDA，QD⊂平面PDA，所以直线（2）假设存在实数λ，使直线MN同时垂直于直线PB，直线DC，因为四边形ABCD是矩形，所以CD∥AB，即MN⊥PB，MN⊥AB，而ABP，所以MN⊥平面ABP，因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD，因为PA⊥平面面ABCD，所以PA