中考数学一轮复习：不等式（组）（讲义）

不等式（组）讲义讲解一：不等式及其性质知识梳理一、不等式的相关概念1.不等式：用不等号表示大小关系的式子叫做不等式.2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.【注意】一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个.3.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.【注意】不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有数值都在该解集中.二、不等式的性质不等式的性质1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.如果，那么不等式的性质2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.如果，那么不等式的性质3不等号两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.如果，那么【注意】两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义.典型例题1.给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的是()A.③④ B.①③ C.①② D.②④【答案】A【解析】当时，不成立，故①错误；当时，不等号方向改变，故②错误.故选A.讲解二：一元一次不等式及其解法知识梳理一、一元一次不等式的概念1一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.2.一元一次不等式必须同时满足三个条件：（1）不等式的两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的次数是1.【注意】含有一个未知数隐含着未知数的系数不等于0.例如，如果已知（是常数）是一元一次不等式，那么就隐含了这个条件.二、一元一次不等式的解法解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为（）或（）的形式.解一元一次不等式的步骤如下表：步骤具体做法依据注意事项①去分母不等式两边同时乘各分母的最小公倍数.不等式的性质2,3（1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号.②去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）.分配律、去括号法则若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号.③移项把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边.不等式的性质1（1）所移的项要改变符号，不移的项不变号；（2）移项时，不等号的方向不改变.④合并同类项系数相加，字母及字母的指数不变.合并同类项法则⑤系数化为1不等式的两边都除以未知数的系数（或乘未知数的系数的倒数），将不等式化为（）或（）的形式.不等式的性质2,3当不等式两边都除以同一个负数时，不等号的方向要改变.【注意】解一元一次不等式时，以上五个步骤不一定都要用到，并且不一定要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解.典型例题2.解不等式：.【答案】【解析】不等式两边同乘2，得，去括号，得，移项、合并同类项，得.讲解三：一元一次不等式组及其解法知识梳理一、一元一次不等式组的相关概念一元一次不等式组：类似于方程组，把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组，如【注意】（1）一元一次不等式组必须同时满足三个条件：①每个不等式都是一元一次不等式；②含有同一个未知数；③不等式的个数不少于2.（2）不等式组一般用“{”连接，有的也可以用形如“”方式表示.二、不等式组的解集1.不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.【注意】（1）“公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解.（2）不等式组的解集中的每一个解满足不等式组中的每一个不等式.2.一元一次不等式组的解集有四种情况：不等式组不等式组的解集无解不等式组的解集在数轴上的表示巧记口诀同大取大同小取小大大小小无处找大小小大中间找三、一元一次不等式组的解法1.解不等式组：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.2.解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴或“口诀”求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集典型例题3.已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解不等式组得由不等式组无实数解，得，解得.故选D.4.解不等式组：并将解集在数轴上表示出来.【答案】，数轴表示见解析.【解析】解不等式①，得.解不等式②，得.所以原不等式组的解集为.在数轴上表示不等式组的解集，如图所示.讲解四：一元一次不等式的应用知识梳理有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解.列不等式解决实际问题的步骤与列方程解决实际问题的步骤类似，即：步骤注意事项审认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系.抓住题目中的关键字眼，如“大于”“小于”“不等于”“至少”“超过”等设设出适当的未知数.表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现列根据题中的不等关系列出不等式.两边所表示的量应该相同，并且单位要统一解解不等式，求出其解集符号和系数不要出错验检验所求出的不等式的解集是否符合题意.一满足不等式；二符合实际意义答写出答.应把表示不等关系的文字补上典型例题5.某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建中、小型两种图书室共30个.计划养殖类图书不超过2000本，种植类图书不超过1600本.已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本.（1）符合题意的组建方案有几种？请写出具体的组建方案；（2）若组建一个中型图书室的费用是2000元，组建一个小型图书室的费用是1500元，哪种方案费用最低？最低费用是多少元？【答案】（1）设组建中型图书室x个，小型图书室个.由题意，得.解这个不等式组，得.由于x只能取整数，所以x的取值是20,21,22.当时，；当时，；当