2023-2024学年广东省东莞一中、实验中学等三校高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年广东省东莞一中、实验中学等三校高二（下）期中数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数为（）A．12 B．24 C．48 D．722．（5分）某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（25，σ2），且P（X＞25.1）＝0.05．若某商场购入500袋这种大米，则该种袋装大米的质量在24.9kg∼25.1kg的袋数约为（）A．300 B．350 C．400 D．4503．（5分）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P（N|M）＝（）A．23 B．59 C．124．（5分）函数y＝f（x）（x≥﹣3）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的是（）A．f（x）在（﹣3，0）上单调递减 B．f（x）在（﹣1，1）上单调递减 C．f（x）在（2，4）上存在极小值点 D．f（x）在[﹣3，+∞）上有最大值5．（5分）2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：时间x12345销售量y/万只54.543.52.5若y与x线性相关，且线性回归方程为ŷA．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．当x＝5时，残差为0.2 C．可以预测当x＝6时销量约为2.1万只 D．线性回归方程ŷ=−0.6x+6．（5分）足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的56，女性喜爱足球的人数占女性人数的1χ2a0.100.050.010.0050.001xa2.7063.8415.6357.87910.828A．10 B．11 C．12 D．137．（5分）若对任意的x1，x2∈（m，+∞），且x1＜x2，x1lnxA．(1e，e) B．[1e，e]8．已知随机变量ξ的分布列为：ξxyPyx则下列说法正确的是（）A．存在x，y∈（0，1），E(ξ)＞1B．对任意x，y∈（0，1），E(ξ)≤1C．对任意x，y∈（0，1），D（ξ）≤E（ξ） D．存在x，y∈（0，1），D(ξ)＞二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）关于(x+2A．所有的二项式系数和为16 B．所有项的系数和为243 C．只有第3项的二项式系数最大 D．x的系数为40（多选）10．（6分）过点P（a，b）作直线l与函数f（x）＝﹣2x3的图象相切，则（）A．若P与原点重合，则l方程为y＝0 B．若l与直线x﹣6y＝0垂直，则6a+b＝4 C．若点P在f（x）的图象上，则符合条件的l只有1条 D．若符合条件的l有3条，则a（多选）11．（6分）学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为23，选择B套餐的概率为13．而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为12，选择B套餐的概率也是12，如此反复．记某同学第n天选择A套餐的概率为An，选择B套餐的概率为BA．An+Bn＝1 B．数列{AnC．E（X）＝1.5 D．P(X=1)=三、填空题12．（5分）口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，则取出的两个球都是红球的概率是．13．（5分）为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如图），现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有种．14．（5分）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式有自驾、坐公交车、骑共享单车三种，某天早上他选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13三.解答题15．（13分）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求：（1）求第1次抽到黑球且第2次也抽到黑球的概率；（2）已知第1次抽到黑球，则第2次抽到黑球的概率；（3）判断事件“第1次抽到黑球”与“第2次抽到黑球”是否互相独立．16．（15分）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（e﹣2）x+3﹣e．（1）求实数a，b的值；（2）求f（x）的单调区间和极值．17．（17分）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计这1000个脐橙的果径的中位数；（2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70mm～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数X的分布列和数学期望；（3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为Y，记一级果的个数为k的概率为P（Y＝k），写出P（Y＝k）的表达式，并求出当k为何值时，P（Y＝k）最大？18．（17分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣2ax，a∈R．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．求2f（x1）﹣f（x2）的最小值．

2023-2024学年广东省东莞一中、实验中学等三校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数为（）A．12 B．24 C．48 D．72【考点】部分元素相邻的排列问题．【答案】C【分析】用排列中的捆绑法直接求出即可．【解答】解：由题意知：则“木、土”相邻的排法种数为A22A44=2×24=48．所以故选：C．2．（5分）某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（25，σ2），且P（X＞25.1）＝0.05．若某商场购入500袋这种大米，则该种袋装大米的质量在24.9kg∼25.1kg的袋数约为（）A．300 B．350 C．400 D．450【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】D【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：由题意可得，P（24.9≤X≤25.1）＝1﹣2P（X＞25.1）＝0.9，所以该种袋装大米的质量在24.9kg∼25.1kg的袋数约为500×0.9＝450．故选：D．3．（5分）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P（N|M）＝（）A．23 B．59 C．12【考点】条件概率．【答案】B【分析】确定基本事件的个数，即可求出P（N|M）．【解答】解：事件M为“两次所得点数均为奇数”，则事件为（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）；N为“至少有一次点数是5”，则事件为（1，5），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），所以P（N|M）=5故选：B．4．（5分）函数y＝f（x）（x≥﹣3）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的是（）A．f（x）在（﹣3，0）上单调递减 B．f（x）在（﹣1，1）上单调递减 C．f（x）在（2，4）上存在极小值点 D．f（x）在[﹣3，+∞）上有最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】B【分析】结合导数的符号与函数单调性、极值的关系，以及题图即可得解．【解答】解：x∈（﹣3，﹣1）时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（﹣3，0）上不单调，A错误；x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈（﹣1，1）上单调递减，B正确；x∈（2，4）时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈（2，4）上单调递减，无极值点，C不正确；x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在x∈（4，+∞）上单调递增，故在[﹣3，+∞）上无最大值，D不正确．故选：B．5．（5分）2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：时间x12345销售量y/万只54.543.52.5若y与x线性相关，且线性回归方程为ŷA．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．当x＝5时，残差为0.2 C．可以预测当x＝6时销量约为2.1万只 D．线性回归方程ŷ=−0.6x+【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】B【分析】对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解．【解答】解：对于选项A，从数据看y随x的增大而减小，所以变量y与x负相关，故A正确；对于选项B，由表中数据知x=1+2+3+4+55所以样本中心点为（3，3.9），将样本中心点（3，3.9）代入ŷ所以线性回归方程为ŷ所以ŷ5=−0.6×5+5.7=2.7，对于选项C，当x＝6时销量约为ŷ=−0.6×6+5.7=2.1（万只），故对于选项D，由上3.9+1.8＝5.7，故D正确．故选：B．6．（5分）足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的56，女性喜爱足球的人数占女性人数的1χ2a0.100.050.010.0050.001xa2.7063.8415.6357.87910.828A．10 B．11 C．12 D．13【考点】独立性检验．【答案】C【分析】根据题意，设出男生人数，从而计算出列联表，再算出χ2≥7.879比较即可．【解答】解：设被调查的男性为x人，则女性为2x人，依据题意可得列联表如下表：男性女性合计喜爱足球5x62x33x2不喜爱足球x64x33x2合计x2x3xχ2因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，所以有χ2≥7.879，即2x3解得x≥11.8185，又因为上述列联表中的所有数字均为整数，故x的最小值为12．故选：C．7．（5分）若对任意的x1，x2∈（m，+∞），且x1＜x2，x1lnxA．(1e，e) B．[1e，e]【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．【答案】C【分析】根据题意易知m≥0，变形x1lnx2−x2lnx1x2−x1【解答】解：对任意的x1，x2∈（m，+∞），且x1＜x2，x1lnx则x1lnx2﹣x2lnx1＜2x2﹣2x1，所以x1（lnx2+2）＜x2（lnx1+2），即lnx令f(x)=lnx+2x，则函数f（x）在（因为f′(x)=−lnx+1x2，由f′（x所以函数f（x）的单调递减区间为(1所以(m，+∞)⊆(1e，+∞)即实数m的取值范围为[1故选：C．8．已知随机变量ξ的分布列为：ξxyPyx则下列说法正确的是（）A．存在x，y∈（0，1），E(ξ)＞1B．对任意x，y∈（0，1），E(ξ)≤1C．对任意x，y∈（0，1），D（ξ）≤E（ξ） D．存在x，y∈（0，1），D(ξ)＞【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】C【分析】对任意x，y∈（0，1），E（ξ）＝xy+xy＝2xy＝2x（1﹣x）＝﹣2x2+2x＝﹣2（x−12）2+12∈（0，12），由此排除A和B；取x＝y＝0.5时，求出E（ξ）＝0.5，D【解答】解：由随机变量ξ的分布列得：x，y∈[0，1]，且x+y＝1，对任意x，y∈（0，1），E（ξ）＝xy+xy＝2xy＝2x（1﹣x）＝﹣2x2+2x＝﹣2（x−12）2+12∈（0，12取x＝y＝0.5时，则E（ξ）＝0.5×0.5+0.5×0.5＝0.5，D（ξ）＝（0.5﹣0.5）2•0.5+（0.5﹣0.5）2•0.5＝0，排除D．故选：C．二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）关于(x+2A．所有的二项式系数和为16 B．所有项的系数和为243 C．只有第3项的二项式系数最大 D．x的系数为40【考点】二项式定理．【答案】BD【分析】直接利用二项式的展开式以及赋值法的应用求出结果．【解答】解：对于A：所有的二项式系数和为25＝32，故A错误；对于B：令x＝1时，所有项的系数和为35＝243，故B正确；对于C：由于展开式一共有6项，故第3和第4的二项式系数最大，故C错误；对于D：根据(x+2x)5的展开式故(x+2x)故选：BD．（多选）10．（6分）过点P（a，b）作直线l与函数f（x）＝﹣2x3的图象相切，则（）A．若P与原点重合，则l方程为y＝0 B．若l与直线x﹣6y＝0垂直，则6a+b＝4 C．若点P在f（x）的图象上，则符合条件的l只有1条 D．若符合条件的l有3条，则a【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】AD【分析】设切点坐标，求出切线斜率满足的等量关系，依据在点处的切线方程的求法求出切线方程判断选项A；根据斜率求出切点的横坐标，分别讨论点P（a，b）是否在函数f（x）的图象上，可判断选项B；通过切线斜率求解切点个数可判断直线条数，从而判断选项C；符合条件的l有3条时，点P（a，b）不在图象上，通过斜率求切点与点P（a，b）坐标的关系可判断选项D．【解答】解：设l与f（x）＝﹣2x3的图象切于点Q（t，﹣2t3），当点P与点Q不重合时，切线斜率k=f′(t)=−6t2=−2t3−bt−a，整理得：4当点P与点Q重合时，切线斜率k＝f′（a）＝﹣6a2＝﹣6t2，对于A，若P与原点重合，点P在函数f（x）＝﹣2x3图象上，则a＝b＝0，此时t＝0，k＝0，l即x轴，方程为y＝0，A正确；对于B，若l与直线x﹣6y＝0垂直，则k＝﹣6t2＝﹣6，t＝±1，当点P（a，b）为切点时，6a+b＝4或6a+b＝﹣4，当点P（a，b）不为切点时，满足−6t2=−2t3−bt−a，整理得4当t＝1时4﹣6a﹣b＝0，6a+b＝4，当t＝﹣1时﹣4﹣6a﹣b＝0，6a+b＝﹣4，B错误；对于C，当点P在f（x）的图象上时，b＝﹣2a3，4t3﹣6at2﹣b＝0，则4t3﹣6at2+2a3＝0，即（t﹣a）2（2t+a）＝0，所以t＝a或t=−a2，故a≠0有两解，符合条件的直线有两条，对于D，若符合条件的l有3条，则点P（a，b）不在f（x）图象上，设l与f（x）＝﹣2x3的图象切于点Q（t，﹣2t3），则有4t3﹣6at2﹣b＝0，设g（t）＝4t3﹣6at2﹣b＝0，g′（t）＝12t2﹣12at＝0，由g′（t）＝0得t＝0或t＝a，符合条件的l有3条，g（t）有3个零点，则g（0）g（a）＝﹣b（﹣2a3﹣b）＜0，所以b（2a3+b）＜0，2a3b+1＜0，故选：AD．（多选）11．（6分）学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为23，选择B套餐的概率为13．而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为12，选择B套餐的概率也是12，如此反复．记某同学第n天选择A套餐的概率为An，选择B套餐的概率为BA．An+Bn＝1 B．数列{AnC．E（X）＝1.5 D．P(X=1)=【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】ABD【分析】对于A，结合每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，即可求解，对于BCD，结合等比数列的性质，以及期望公式，即可依次求解．【解答】解：对于A，由于学校食堂每天中都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），故An+Bn＝1，故A正确，对于B，由题意可得，An+1则An+1又∵n＝1时，A1∴数列{An−25∴An当n＞30时，Bn∴X～B(3，3故BD正确，C错误．故选：ABD．三、填空题12．（5分）口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，则取出的两个球都是红球的概率是110【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】110【分析】基本事件总数n=C52=【解答】解：口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，基本事件总数n=C取出的两个球都是红球包含的基本事件个数m=C则取出的两个球都是红球的概率是P=m故答案为：11013．（5分）为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如图），现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有72种．【考点】排列组合的综合应用．【答案】72．【分析】按先后顺序分别涂区域③④①②⑤，确定每个区域的涂色方法种数，结合分步乘法计数原理可得结果．【解答】解：先涂区域③，有4种选择，接下来涂区域④，有3种选择，接下来涂区域①②，涂区域①有2种选择，涂区域②有1种选择，最后涂区域⑤，有3种选择，由分步计数原理可知，不同的着色方法种数为4×3×2×1×3＝72种．故答案为：72．14．（5分）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式有自驾、坐公交车、骑共享单车三种，某天早上他选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为14，【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【答案】见试题解答内容【分析】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用全概率公式可得小明这一天迟到的概率；利用贝叶斯公式即可得到若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率；或者在迟到的前提下计算概率即可．【解答】解：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D表示“迟到”，则P(A)=P(B)=P(C)=1由全概率公式可得小明这一天迟到的概率为：P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=1解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是P(A|D)=P(AD)解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率P=1故答案为：37180；15三.解答题15．（13分）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求：（1）求第1次抽到黑球且第2次也抽到黑球的概率；（2）已知第1次抽到黑球，则第2次抽到黑球的概率；（3）判断事件“第1次抽到黑球”与“第2次抽到黑球”是否互相独立．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用古典概型求解；（2）利用条件概率公式求解；（3）利用相互独立事件定义判断．【解答】解：设事件A表示“第一次抽到黑球”，事件B表示“第二次抽到黑球”，（1）第1次抽到黑球且第2次也抽到黑球的概率为：P（AB）=3（2）P（A）=3第1次抽到黑球，则第2次抽到黑球的概率为：P（B|A）=P(AB)（3）P（A）=35，P（B）P（AB）≠P（A）P（B），∴事件“第1次抽到黑球”与“第2次抽到黑球”不是相互独立事件．16．（15分）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（e﹣2）x+3﹣e．（1）求实数a，b的值；（2）求f（x）的单调区间和极值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）a＝1，b＝2；（2）单调递增区间是（﹣∞，0），（ln2，+∞），单调递减区间是（0，ln2），极大值为1，极小值为2ln2﹣（ln2）2．【分析】（1）求导根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析导函数的正负区间进而求解极值即可．【解答】解：（1）由题可得f′（x）＝xex﹣2ax，由题意f′（1）＝e﹣2a＝e﹣2，故a＝1，又f（1）＝﹣1+b＝（e﹣2）×1+3﹣e＝1，故b＝2．（2）由（1）可得f′（x）＝xex﹣2x＝x（ex﹣2），令f′（x）＞0可得x＞ln2或x＜0，令f′（x）＜0可得0＜x＜ln2，故f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0），（ln2，+∞），单调递减区间是（0，ln2），则f（x）的极大值为f（0）＝1，极小值为f（ln2）＝（ln2﹣1）eln2﹣（ln2）2+2＝2ln2﹣（ln2）2．17．（17分）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计这1000个脐橙的果径的中位数；（2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70mm～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数X的分布列和数学期望；（3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为Y，记一级果的个数为k的概率为P（Y＝k），写出P（Y＝k）的表达式，并求出当k为何值时，P（Y＝k）最大？【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用频率分布直方图求中位数的方法即可得解；（2）根据题意，分析得一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，从而得到X的所有可能取值，再利用超几何分布的分布列即可得解；（3）利用二项分布得到P（Y＝k），再利用作商法判断出当k＝30时，P（Y＝k）最大，从而得解．【解答】解：（1）果径[65，80）的频率为（0.013+0.030+0.045）×5＝0.44＜0.5，果径[65，85）的频率为（0.013+0.030+0.045+0.060）×5＝0.74＞0.5，故果径的中位数在[80，85），不妨设为a，则0.44+（a﹣80）×0.060＝0.5，解得a＝81，所以估计这1000个脐橙的果径的中位数为81；（2）果径[70，75），[75，80），[80，85）的频率之比为（0.03×5）：（0.045×5）：（0.06×5）＝2：