2023-2024学年广东省华南师大附属茂名滨海学校高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年广东省华南师大附属茂名滨海学校高一（下）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{2，4，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1，2，4，5} B．∅ C．{2，4} D．{﹣1，1，2，4}2．（5分）命题“∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＞0”的否定为（）A．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＜0 B．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6≤0 C．∃xD．∃3．（5分）函数y=x−2A．（0，+∞） B．（2，+∞） C．[0，+∞） D．[2，+∞）4．（5分）若α是第四象限角，且cosα=35，则sinA．45 B．−45 C．35．（5分）已知平面向量a→=(1，m)，b→=(−2，4)A．2 B．12 C．−16．（5分）若a＝30.5，b＝0.82，c＝log0.52，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝bsinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定8．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，E是边AC的中点，则BE→A．[−23，0] B．[0，23]二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）设复数z=3−iA．z的实部为1 B．复数z的虚部是2 C．复数z的模为5 D．在复平面内，复数z对应的点在第四象限（多选）10．（6分）下列各式中，值为12A．sin5π6 B．2sin15°cos15°C．2cos215°﹣1 D．32（多选）11．（6分）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若AM→=12AB→B．若AM→=2AB→−ACC．若AM→=−BM→−CMD．若AM→=xAB→+yAC→，且x+y三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）12．（5分）已知点A（2，3），B（1，4），则向量AB→的坐标为13．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝7，b＝5，c＝3，则∠A＝．14．（5分）若函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，其图象与函数g（x）＝cos2x的图象重合，则m四、解答题（共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知指数函数f（x）＝3x．（1）求f（2）的值；（2）若f（a）＝1，求a的值；（3）若f（x﹣1）＞f（﹣x），求x的取值范围．16．（15分）已知向量a→（1）求a→（2）求|a（3）求向量a→在向量b17．（15分）已知|a→|=3，|b→（1）求a→（2）若(2a→+（3）求向量b→与向量a18．（17分）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=23（1）求角B；（2）若a+c＝4，求△ABC的面积；（3）求△ABC的周长的取值范围．19．（17分）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π（1）求函数f（x）的解析式；（2）先将函数f（x）保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A2(A≠0)倍，再将图象向左平移m(0＜m＜π2)个单位，得到的函数g（x）为偶函数．若对任意的x1∈[−π3，0]，总存在x2∈[−π

2023-2024学年广东省华南师大附属茂名滨海学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．（5分）A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{2，4，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1，2，4，5} B．∅ C．{2，4} D．{﹣1，1，2，4}【考点】交集及其运算．【答案】C【分析】根据交集的含义即可．【解答】解：根据交集的含义知A∩B＝{2，4}．故选：C．2．（5分）命题“∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＞0”的否定为（）A．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＜0 B．∀x＜0，﹣x2+5x﹣6≤0 C．∃xD．∃【考点】全称量词命题的否定．【答案】C【分析】原命题是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由全称命题的否定方法，我们易得到答案．【解答】解：因为命题“∀x＜0，﹣x2+5x﹣6＞0”为全称命题；故其否定为：∃x0＜0，﹣x02+5x0﹣6≤0．故选：C．3．（5分）函数y=x−2A．（0，+∞） B．（2，+∞） C．[0，+∞） D．[2，+∞）【考点】简单函数的定义域．【答案】D【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：D．4．（5分）若α是第四象限角，且cosα=35，则sinA．45 B．−45 C．3【考点】同角三角函数间的基本关系．【答案】B【分析】由α是第四象限角，得到sinα小于0，根据cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinα的值．【解答】解：∵α是第四象限角，且cosα=3∴sinα=−1−co故选：B．5．（5分）已知平面向量a→=(1，m)，b→=(−2，4)A．2 B．12 C．−1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【答案】D【分析】根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．【解答】解：平面向量a→=(1，m)，b则﹣2m＝4，解得m＝﹣2．故选：D．6．（5分）若a＝30.5，b＝0.82，c＝log0.52，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【答案】A【分析】结合函数的单调性分别判断a，b，c的范围即可比较a，b，c的大小．【解答】解：因为a＝30.5＞1，b＝0.82∈（0，1），c＝log0.52＜0，故a＞b＞c．故选：A．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝bsinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【考点】三角形的形状判断．【答案】B【分析】由正弦定理可得sinA＝sinBsinA，可得sinB＝1，B=π【解答】解：∵在△ABC中，a＝bsinA，∴由正弦定理可得sinA＝sinBsinA，∵sinA≠0，同除以sinA可得：sinB＝1，可得：B=π∴△ABC一定是直角三角形．故选：B．8．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，E是边AC的中点，则BE→A．[−23，0] B．[0，23]【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】C【分析】先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（﹣1，0），C（1，0），B（0，3），E（0，0），设CD→=λCB则OD→则AD→=(2−λ，3所以BE→⋅AD又0≤λ≤1，所以BE→故选：C．二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）设复数z=3−iA．z的实部为1 B．复数z的虚部是2 C．复数z的模为5 D．在复平面内，复数z对应的点在第四象限【考点】复数的运算；复数的模．【答案】ACD【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合复数的概念，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：z=3−i1+i=z的实部为1，故A正确；z的虚部为﹣2，故B错误；|z|=12+(−2复数z对应的点（1，﹣2）在第四象限，故D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）下列各式中，值为12A．sin5π6 B．2sin15°cos15°C．2cos215°﹣1 D．32【考点】二倍角的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值．【答案】ABD【分析】利用诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值即可逐一求解．【解答】解：对于A，sin5π6=sin对于B，2sin15°cos15°＝sin30°=1对于C，2cos215°﹣1＝cos30°=3对于D，32tan210°=32tan（180°+30°）=故选：ABD．（多选）11．（6分）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若AM→=12AB→B．若AM→=2AB→−ACC．若AM→=−BM→−CMD．若AM→=xAB→+yAC→，且x+y【考点】平面向量的数乘与线性运算．【答案】ACD【分析】由向量的中点表示可判断A；由向量的加减运算，可判断B；由三角形的重心的向量表示可判断C；由三点共线的向量表示，以及三角形的面积公式可判断D．【解答】解：若AM→=12AB→+若AM→=2AB→−则点M在边CB的延长线上，故B错误；若AM→=−BM→−CM→，即AM若AM→=xAB→+yAC→，且x+y=12，可得2AM→=由右图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的12，故D故选：ACD．三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）12．（5分）已知点A（2，3），B（1，4），则向量AB→的坐标为（﹣1，1）【考点】平面向量的坐标运算．【答案】（﹣1，1）．【分析】结合向量坐标的运算法则，即可求解．【解答】解：点A（2，3），B（1，4），则向量AB→故答案为：（﹣1，1）．13．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝7，b＝5，c＝3，则∠A＝120°．【考点】余弦定理．【答案】120°．【分析】在△ABC中，由a＝7，b＝5，c＝3，利用余弦定理可得cosA的值，从而得到A的值．【解答】解：在△ABC中，∵a＝7，b＝5，c＝3，∴由余弦定理可得cosA=b∴A＝120°．故答案为：120°．14．（5分）若函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，其图象与函数g（x）＝cos2x的图象重合，则m的最小正数值为【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】π6【分析】直接利用函数图象的平移变换和函数的性质求出结果．【解答】解：函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，得到函数y＝sin（2x+2其图象与函数g（x）＝cos2x的图象重合，故2m+π6=2kπ+π2解得m＝kπ+π6（k∈当k＝0时，m的最小正数值为π6故答案为：π6四、解答题（共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知指数函数f（x）＝3x．（1）求f（2）的值；（2）若f（a）＝1，求a的值；（3）若f（x﹣1）＞f（﹣x），求x的取值范围．【考点】指数函数的图象；指数函数的值域．【答案】（1）9；（2）0；（3）（12【分析】（1）直接利用指数函数f（x）的解析式求解；（2）直接利用指数函数f（x）的解析式求解；（3）利用指数函数的单调性求解．【解答】解：（1）f（2）＝32＝9；（2）若f（a）＝1，则3a＝1，解得a＝0；（3）因为指数函数f（x）＝3x在R上单调递增，所以由f（x﹣1）＞f（﹣x），可得x﹣1＞﹣x，解得x＞1即x的取值范围（1216．（15分）已知向量a→（1）求a→（2）求|a（3）求向量a→在向量b【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．【答案】（1）﹣1；（2）3；（3）(−1【分析】（1）结合平面向量的数量积运算，直接求解；（2）结合向量模公式，即可求解；（3）结合投影向量的定义，即可求解．【解答】解：（1）a→则a→（2）a→则a→故|a（3）a→则a→⋅b故向量a→在向量b→上的投影向量的坐标为：17．（15分）已知|a→|=3，|b→（1）求a→（2）若(2a→+（3）求向量b→与向量a【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】（1）﹣6；（2）13（3）513【分析】（1）结合a→（2）若(2a→+（3）设向量b→与向量a→+b→【解答】解：（1）已知|a→|=3，|b→则a→（2）若(2a则(2a则2ka则12k＝4，即k=1（3）由题意可得：b→又|a设向量b→与向量a→+则cosθ=b18．（17分）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=23（1）求角B；（2）若a+c＝4，求△ABC的面积；（3）求△ABC的周长的取值范围．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）π3；（2）33；（3）（4【分析】（1）由正弦定理及三角形内角的关系，可得cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小；（2）由余弦定理可得ac的值，进而求出三角形的面积；（3）由余弦定理及基本不等式可得a+c的范围，再由两边之和大于第三边，可得a+c的范围，进而求出三角形周长的范围．【解答】解：（1）因为2a﹣c＝2bcosC，由正弦定理可得2sinA﹣sinC＝2sinBcosC，而在三角形中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，所以2cosBsinC﹣sinC＝0，sinC＞0，可得cosB=12，B∈（0，解得B=π（2）因为b＝23，a+c＝4，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac•12即12＝16﹣3ac，解得ac=4所以S△ABC=12acsinB（3）由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac•12即（a+c）2＝3ac+b2≤3•（a+c2）2+b2可得（c+a）2≤4b2，即a+c≤2b＝2×23=43在三角形中，a+c＞b＝23，所以a+b+c∈（43，63]．即△ABC的周长范围为（43，63]．19．（17分）函数f(x)