2023-2024学年广东省茂名市信宜市高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年广东省茂名市信宜市高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数z＝2﹣i的虚部是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣i2．（5分）已知向量a→，b→满足a→=（2，1），b→=（1，y），且a→A．5 B．52 C．5 3．（5分）已知e1→，e2→是两个不共线的单位向量，a→=e1→A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣24．（5分）已知cos2（π4+α）=4A．35 B．−35 C．15．（5分）在△ABC中，A＝105°，C＝45°，c=2，则bA．1 B．2 C．3 D．26．（5分）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，将函数y＝f（x）的图象向右平移π3个单位得到函数y＝g（A．12 B．1 C．2 D．7．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D在线段BC上，且BD→=2DC→，E为线段AD上一点，若△ABE与△A．76AB→−C．56AB→8．（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（）A．13 B．32 C．2324二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分。（多选）9．（6分）下列各式中值为12A．2sin75°cos75° B．1﹣2sin25π12C．sin45°cos15°﹣cos45°sin15° D．tan20°+tan25°+tan20°tan25°（多选）10．（6分）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i B．3+i＞2+i C．方程x2+2x+2＝0，（x∈C）的根是﹣1±i D．若1≤|z|≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为（多选）11．（6分）在△ABC中，有如下四个命题，其中正确的是（）A．若AC→⋅AB→B．△ABC内一点G满足GA→+GB→+GCC．若|BA→+BCD．△ABC内一点P满足PA→⋅三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知角α的终边过点（﹣1，2），则cos(π2+α)13．（5分）设向量a→=（1，﹣2），b→=（m+1，2m﹣4），若a→⊥b14．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0，AB→在AC→方向上的投影是|AC→|的23，△ABC四、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知α∈（0，π），cosα=4（1）求tanα的值；（2）求sin(π+α)+2sin(π16．（15分）已知向量a→（1）当θ=π6时，求向量a→（2）求|2a17．（15分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量a→=（2a，3），b→=（c，sinC），且（1）求角A；（2）若c＝2，且△ABC的面积为332，求AC边上的中线18．（17分）已知函数f(x)=3（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[−π6，π3]时，求19．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcosC＝2a﹣c．（1）求角B；（2）如图，若△ABC外接圆半径为263，D为AC的中点，且BD＝2，求△

2023-2024学年广东省茂名市信宜市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数z＝2﹣i的虚部是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣i【考点】虚数单位i、复数．【答案】C【分析】利用复数的虚部的意义即可得出．【解答】解：复数z＝2﹣i的虚部是﹣1．故选：C．2．（5分）已知向量a→，b→满足a→=（2，1），b→=（1，y），且a→A．5 B．52 C．5 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】C【分析】根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得a→•b→=2+y＝0，解可得y的值，即可得b→的坐标，进而计算可得向量（【解答】解：根据题意，a→=（2，1），b→=（1，y），且则有a→•b→=2+y＝0，解可得y则a→+2b→=（4，﹣3），故|a→故选：C．3．（5分）已知e1→，e2→是两个不共线的单位向量，a→=e1→A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2【考点】平面向量的相等与共线．【答案】C【分析】根据平面向量基本定理可得出2e1→【解答】解：∵a→与b→共线，且∴存在λ，使b→=λa→，即∴根据平面向量基本定理，λ=2−k=2λ，解得k故选：C．4．（5分）已知cos2（π4+α）=4A．35 B．−35 C．1【考点】二倍角的三角函数．【答案】B【分析】利用降幂公式，化简求值．【解答】解：因为cos2（π4+α）则sin2α=−3故选：B．5．（5分）在△ABC中，A＝105°，C＝45°，c=2，则bA．1 B．2 C．3 D．2【考点】正弦定理．【答案】A【分析】先求出B，然后结合正弦定理即可求解b．【解答】解：△ABC中，A＝105°，C＝45°，c=2则B＝30°，由正弦定理得，bsin30°则b＝1．故选：A．6．（5分）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，将函数y＝f（x）的图象向右平移π3个单位得到函数y＝g（A．12 B．1 C．2 D．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】B【分析】由顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点作图求出φ，可得函数的解析式，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而得到g(π【解答】解：函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π可得A＝2，14×2πω再结合五点法作图，可得12×2π3+φ=π2，∴φ=将函数y＝f（x）的图象向右平移π3个单位得到函数y＝g（x）＝2sinx则g(π3)=故选：B．7．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D在线段BC上，且BD→=2DC→，E为线段AD上一点，若△ABE与△A．76AB→−C．56AB→【考点】平面向量的基本定理．【答案】D【分析】△ABE与△ACD的面积相等，S△ABE=12S△ABD，进而可得S△ABE＝S△BDE，【解答】解：∵D在线段BC上，且BD→=2DC又△ABE与△ACD的面积相等，∴S△ABE∴S△ABE＝S△BDE，∴E为AD的中点，∴AD→=13AB→+∴BE→故选：D．8．（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（）A．13 B．32 C．2324【考点】二倍角的三角函数；三角形的形状判断．【答案】D【分析】设直角三角形的边长为a，a+1，a2+（a+1）2＝25，a＞0．解出利用倍角公式即可得出．【解答】解：设直角三角形的边长为a，a+1，则a2+（a+1）2＝25，a＞0．解得a＝3．∴sinθ=35，cos∴sin2θ=2×4故选：D．二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分。（多选）9．（6分）下列各式中值为12A．2sin75°cos75° B．1﹣2sin25π12C．sin45°cos15°﹣cos45°sin15° D．tan20°+tan25°+tan20°tan25°【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．【答案】AC【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：对于A：2sin75°cos75°＝sin150°=12，故对于B：1﹣2sin25π12=cos10π对于C：sin45°cos15°﹣cos45°sin15°＝sin（45°﹣15°）＝sin30°=12，故对于D：由于，tan45°=整理得tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1，故D错误；故选：AC．（多选）10．（6分）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i B．3+i＞2+i C．方程x2+2x+2＝0，（x∈C）的根是﹣1±i D．若1≤|z|≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为【考点】复数对应复平面中的点．【答案】CD【分析】对于A，结合特殊值法，即可求解；对于B，结合虚数不能比较大小，即可求解；对于C，直接求解方程，即可求解；对于D，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：对于A，令z=12+32i，满足|z|＝1，但z＝±1或对于B，虚数不能表大小，故B错误；对于C，因为Δ＝22﹣2×4＝﹣4＜0，所以方程有两个虚根，因为x2+2x+2＝0，所以x=−2±所以x＝﹣1±i，所以C正确；对于D，设z＝a+bi，则|z|=因为1≤|z|≤2所以1≤a所以点Z的集合所构成的图形的面积为π(2)2故选：CD．（多选）11．（6分）在△ABC中，有如下四个命题，其中正确的是（）A．若AC→⋅AB→B．△ABC内一点G满足GA→+GB→+GCC．若|BA→+BCD．△ABC内一点P满足PA→⋅【考点】平面向量数量积的性质及其运算；命题的真假判断与应用．【答案】BD【分析】根据向量数量积定义，向量线性运算，向量垂直性质即可求解．【解答】解：对A，∵，∴A为锐角，但其余两角不清楚，∴△ABC不一定为锐角三角形，∴A错误；对B，∵GA→+GB∴G是△ABC的重心，∴B正确；对C，∵|BA∴根据向量加法平行四边形法则得平行四边形的对角线相等，∴该平行四边形为矩形，∴△ABC的形状为直角三角形，∴C错误；对D，∵PA→⋅PB∴CA→⋅PB→=0故选：BD．三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知角α的终边过点（﹣1，2），则cos(π2+α)的值为【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】−2【分析】根据三角函数的定义求解sinα，再根据诱导公式求解即可．【解答】解：已知角α的终边过点（﹣1，2），则sinα=2所以cos(π故答案为：−213．（5分）设向量a→=（1，﹣2），b→=（m+1，2m﹣4），若a→⊥b【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】3．【分析】根据a→⊥b→即可得出【解答】解：∵a→∴a→⋅b故答案为：3．14．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0，AB→在AC→方向上的投影是|AC→|的23，△ABC的面积为3【考点】平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理．【答案】13．【分析】先利用正弦定理整理三角函数关系式求出A的值，再由AB→在AC→方向上的投影是|AC→|的23，以及三角形面积公式求得【解答】解：整理（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0，得：2bcosA＝sinAcosC+cosAsinC，解得：cosA=12，由于0＜A＜π，则A因为AB→在AC→方向上的投影是|AC→|的23，即|AB→|cosA=1所以c=43因为△ABC的面积为33，即12bcsinA=23b²•所以b＝3，则c＝4，由余弦定理可得：a²＝b²+c²﹣2bccosA，解得a=13故答案为：13．四、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知α∈（0，π），cosα=4（1）求tanα的值；（2）求sin(π+α)+2sin(π【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【答案】（1）34（2）−5【分析】（1）结合同角基本关系即可直接求解；（2）结合诱导公式及同角基本关系进行化简，结合（1）即可求解．【解答】解：（1）由题意有α∈（0，π），cosα=4所以α∈(0，π所以sinα=1−co又因为tanα=sinα所以tanα=3（2）sin(π+α)+2sin(=−sinα+2cosα16．（15分）已知向量a→（1）当θ=π6时，求向量a→（2）求|2a【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量的概念与平面向量的模．【答案】（1）π3【分析】（1）根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合向量模公式，以及三角函数的恒等变换公式，即可求解．【解答】解：（1）当θ=π6时，∴|a设a→与b→的夹角为则cosβ=a∵0≤β≤π，∴β=π3，即a→与b（2）∵a→∴2a∴|2a=8−43cosθ+4sinθ∴|2a17．（15分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量a→=（2a，3），b→=（c，sinC），且（1）求角A；（2）若c＝2，且△ABC的面积为332，求AC边上的中线【考点】正弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由a→∥b→，可得2asinC=3（2）根据△ABC的面积为332，可得12【解答】解：（1）∵a→∥b→，∴2asinC=3由正弦定理asinA=c∵sinC≠0，∴sinA=∵A∈（0，π2），∴A=（2）∵△ABC的面积为332，∴∵c＝2，A=π3，∴在三角形ABM中，由余弦定理，得BM∴BM=1318．（17分）已知函数f(x)=3（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[−π6，π3]时，求【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【答案】（1）[−π（2）x=π6时，取最大值2；【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数为正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可得解；（2）求出x∈[−π6，π3]时f（x）的值域，即可得出【解答】解：（1）f(x)=3=2(sin2xcosπ由−π2+2kπ≤2x+π得−π所以f（x）的单调递增区间为[−π（2）因为x∈[−π6，所以当2x+π6=−π6当2x+π6=π219．（17分）在△ABC