2023-2024学年广东省清远市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年广东省清远市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）通过计算样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数r，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（）A．r＝0.93 B．r＝0.82 C．r＝0.04 D．r＝﹣0.052．（5分）以下求导计算正确的是（）A．(sinπ6)′=cosπC．(lnx)′=1x D．（e2x）′＝e3．（5分）某市高二数学统考，满分为150分．假设学生考试成绩X～N（100，102），如果从高到低按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，则A等级分数线大概为（参考数据：若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ⩽X⩽μ+δ）≈0.6827，P（μ﹣2δ⩽X⩽μ+2δ）≈0.9545，P（μ﹣3δ⩽X⩽μ+3δ）≈0.9973）（）A．134 B．120 C．116 D．1104．（5分）曲线f（x）＝﹣2x3+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．6x+y+5＝0 B．6x+y﹣5＝0 C．5x﹣y﹣6＝0 D．5x+y﹣4＝05．（5分）生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的．有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表：父亲身高x/cm166169170172173儿子身高y/cm168170171175176并利用相关知识得到儿子身高y关于父亲身高x的经验回归方程为ŷ=1.2x+aA．176cm B．177cm C．178cm D．179cm6．（5分）在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25．某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为X，则X的方差D（X）＝（）A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.57．（5分）甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为23A．3281 B．827 C．16818．（5分）现要对三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（）A．264种 B．216种 C．192种 D．144种二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知离散型随机变量X的分布列如表所示：X012Pq20.5﹣q0.74则下列选项中正确的是（）A．q＝0.6 B．q＝0.4 C．E（X）＝1.58 D．D（X）＝0.5636（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+4，x∈[0，2]，则下列选项中正确的是（）A．f（x）的值域为[2，6] B．f（x）在x＝1处取得极小值为2 C．f（x）在[0，2]上是增函数 D．若方程f（x）＝a有2个不同的根，则a∈[2，4]（多选）11．（6分）现有数字0，1，1，1，2，3，4，5，下列说法正确的是（）A．可以组成600个没有重复数字的六位数 B．可以组成288个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成3240个六位数 D．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）函数f（x）＝ex﹣ex+2024的单调递减区间为．13．（5分）在x（x+y）5的展开式中，含x3y3项的系数为．14．（5分）若函数f(x)=ax2+lnxx四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚。15．（13分）某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病．采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名；接受乙种疗法的患者中治愈的有85名．（1）根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位：人）疗法疗效合计未治愈治愈甲乙合计并依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；（2）根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+α0.150.100.050.0050.001xα2.0722.7063.8417.87910.82816．（15分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中．（1）求证：BD⊥PC；（2）若PA=AB=22，求平面CPD与平面PBD17．（15分）在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”．（1）若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为X，求X的分布列及数学期望；（2）若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率．18．（17分）设函数f(x)=1（1）当a＝0时，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若a＞0，证明f（x）只有一个零点．19．（17分）若各项为正的无穷数列{an}满足：对于∀n∈N*，lnan+1﹣lnan＝d，其中d为非零常数，则称数列{an}为指形数列；若数列{cn}满足：m+n＝2k（m，n，k∈N*，且m≠n）时，有cm+cn＞2ck，则称数列{cn}为凹形数列．（1）若an=10n（2）若a1＝e，证明指形数列{an}也是凹形数列；（3）若指形数列{an}是递减数列，令a1=ed，b

2023-2024学年广东省清远市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）通过计算样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数r，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（）A．r＝0.93 B．r＝0.82 C．r＝0.04 D．r＝﹣0.05【考点】样本相关系数．【答案】A【分析】根据相关系数的性质判断．【解答】解：由相关系数r的性质可知，当r＞0时，样本数据成正相关，当|r|的值越接近于1，线性相关程度越强，故4个选项中，r＝0.93反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强．故选：A．2．（5分）以下求导计算正确的是（）A．(sinπ6)′=cosπC．(lnx)′=1x D．（e2x）′＝e【考点】基本初等函数的导数．【答案】C【分析】结合基本初等函数的求导公式检验各选项即可判断．【解答】解：（sinπ6）′＝0，A（x）′=12x（lnx）′=1x，（e2x）′＝2e2x，D错误．故选：C．3．（5分）某市高二数学统考，满分为150分．假设学生考试成绩X～N（100，102），如果从高到低按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，则A等级分数线大概为（参考数据：若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ⩽X⩽μ+δ）≈0.6827，P（μ﹣2δ⩽X⩽μ+2δ）≈0.9545，P（μ﹣3δ⩽X⩽μ+3δ）≈0.9973）（）A．134 B．120 C．116 D．110【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】D【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：因为X～N（100，102），所以μ＝100，δ＝10，所以P（μ﹣δ⩽X⩽μ+δ）＝P（90≤X≤110）≈0.6827，所以P（X＞110）=12×[1﹣P所以A等级分数线大概为110分．故选：D．4．（5分）曲线f（x）＝﹣2x3+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．6x+y+5＝0 B．6x+y﹣5＝0 C．5x﹣y﹣6＝0 D．5x+y﹣4＝0【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【答案】B【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）＝﹣2x3+1，得f′（x）＝﹣6x2，∴f′（1）＝﹣6，则曲线f（x）＝﹣2x3+1在点（1，﹣1）处的切线方程为y+1＝﹣6（x﹣1），即6x+y﹣5＝0．故选：B．5．（5分）生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的．有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表：父亲身高x/cm166169170172173儿子身高y/cm168170171175176并利用相关知识得到儿子身高y关于父亲身高x的经验回归方程为ŷ=1.2x+aA．176cm B．177cm C．178cm D．179cm【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】C【分析】根据图表，先求出x，y，进而得到ŷ＝1.2x﹣32，即可求出结果．【解答】解：因为x=166+169+170+172+1735所以172＝1.2×170+â，解得â＝﹣32，所以ŷ＝1.2x﹣32，当x＝175时，y＝178，故选：C．6．（5分）在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25．某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为X，则X的方差D（X）＝（）A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.5【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【答案】D【分析】设答对题目个数为Y，根据题目可知，Y～B（8，0.25），X＝5Y，根据方差公式及方差性质计算即可．【解答】解：设答对题目个数为Y，根据题目可知，Y～B（8，0.25），从而得到方差D（Y）＝8×0.25×0.75＝1.5，又X＝5Y，所以X的方差D（X）＝25D（Y）＝37.5．故选：D．7．（5分）甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为23A．3281 B．827 C．1681【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】B【分析】应用独立事件概率乘积公式结合比赛的规则求解即可．【解答】解：因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有C3所以甲通过4局比赛获得胜利的概率是C3故选：B．8．（5分）现要对三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（）A．264种 B．216种 C．192种 D．144种【考点】排列组合的综合应用．【答案】A【分析】根据题意，先设该三棱柱为ABC﹣DEF，4种颜色分别为1′、2′、3′、4′；由三棱柱的性质分析可得：A、B、C颜色互不相同，D、E、F颜色也互不相同；A与D、B与E、C与F颜色不同；则分2步进行，先分析底面ABC，易得其涂色情况数目，再对另一底面分类讨论，可得其情况数目；最后由分步计数原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，设该三棱柱为ABC﹣DEF，4种颜色分别为1′、2′、3′、4′；由三棱柱的特点可知A、B、C颜色互不相同，D、E、F颜色也互不相同；A与D、B与E、C与F颜色不同；先为A、B、C涂颜色有涂法A4对于D、E、F的涂法可分为两种情况：①是选颜色4′，再选择两个颜色有C3②是没选颜色4′，易知涂色方法有2种．于是共有涂色方法24×（9+2）＝264种．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知离散型随机变量X的分布列如表所示：X012Pq20.5﹣q0.74则下列选项中正确的是（）A．q＝0.6 B．q＝0.4 C．E（X）＝1.58 D．D（X）＝0.5636【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量的方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【答案】BCD【分析】利用分布列的性质，即可判断出选项A和B的正误；再利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项C和D的正误．【解答】解：由题知q2解得q＝0.4，所以选项A错误，选项B正确；对于选项C，E（X）＝0×（0.4）2+1×0.1+2×0.74＝1.58，所以选项C正确；对于选项D，因为D（X）＝E2（X）﹣（E（X））2＝0×（0.4）2+1×0.1+4×0.74﹣（1.58）2＝0.5636，所以选项D正确，故选：BCD．（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+4，x∈[0，2]，则下列选项中正确的是（）A．f（x）的值域为[2，6] B．f（x）在x＝1处取得极小值为2 C．f（x）在[0，2]上是增函数 D．若方程f（x）＝a有2个不同的根，则a∈[2，4]【考点】利用导数求解函数的极值；函数与方程的综合运用；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】AB【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性、极值和值域，进而可判断选项A，B，C，将方程f（x）＝a有2个不同的根转化成直线y＝a与曲线y＝f（x）的图象有两个交点，再进行求解即可．【解答】解：因为f（x）＝x3﹣3x+4，函数定义域为[0，2]，可得f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），当0≤x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当1＜x≤2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故选项C错误；当x＝1时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1）＝2，故选项B正确；又f（0）＝4，f（2）＝6，所以函数f（x）的值域为[2，6]，故选项A正确；要使方程f（x）＝a有2个不同的根，即直线y＝a与曲线y＝f（x）的图象有两个交点，此时2＜a≤4，故选项D错误．故选：AB．（多选）11．（6分）现有数字0，1，1，1，2，3，4，5，下列说法正确的是（）A．可以组成600个没有重复数字的六位数 B．可以组成288个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成3240个六位数 D．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数【考点】部分元素不相邻的排列问题；简单排列问题；部分位置的元素有限制的排列问题．【答案】ACD【分析】对于A，根据分步乘法计数原理即可求解；对于B，根据分类加法计数原理即可求解；对于C，分析出六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况，再根据分类加法计数原理即可求解；对于D，利用插空法和分步乘法计数原理，并减去0在首位的情况即可求解．【解答】解：对于A，由题意，可选取的数字为：0，1，2，3，4，5，且首位不能为0，第一步，先排首位有C5第二步，再排其他5位数，有A5所以由分步乘法计数原理可知，可以组成C51A对于B，由题意，末位只能为：0，2，4，当末位为0时，有A5当末位为2时，有C4当末位为4时，有C4所以由分类加法计数原理可知，可以组成312个没有重复数字的六位偶数，故B错误；对于C，由题意，六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况，当六位数中有1个1时，由A选项知有600种排法；当六位数中有2个1时，分为有0与无0两种情况，有0时，有C5无0时，有C6当六位数中有3个1时，分为有0与无0两种情况，有0时，有C5无0时，有C6所以由分类加法计数原理可知，可以组成600+1200+360+600+480＝3240个六位数，故C正确；对于D，因为相邻两个数字不相同，即3个1不能相邻，故用插空法：第一步，先排，除1外的5个数字，有A5第二步，再将3个1插入6个空位，有C6所以由分步乘法计数原理可知，共有2400种排法，又因为0不能在首位，而0在首位时，有A4所以可以组成2400﹣240＝2160个相邻两个数字不相同的八位数，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）函数f（x）＝ex﹣ex+2024的单调递减区间为．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】（﹣∞，1）．【分析】由题意，先求出导函数f′（x），令f′（x）＜0，解不等式即可．【解答】解：易知函数f（x）的定义域为R，可得f′（x）＝ex﹣e，令f′（x）＜0，解得x＜1，则函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．13．（5分）在x（x+y）5的展开式中，含x3y3项的系数为．【考点】二项展开式的通项与项的系数．【答案】10．【分析】利用二项展开式的通项与项的系数的关系求解即可．【解答】解：∵（x+y）5的展开式中，含x2y3项的系数为C5∴在x（x+y）5的展开式中，含x3y3项的系数为C5故答案为：10．14．（5分）若函数f(x)=ax2+lnxx【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】（0，16【分析】将导数方程参变分离，转化为g(x)=lnx−12x3与y＝a有两个交点的问题，利用导数讨论【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2ax+1−lnx令f′（x）＝0，得a=lnx−1令g(x)=lnx−12x令g′（x0）＝0，则3lnx0＝4，即lnx0=当0＜x＜x0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞x0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g(x)又当x趋近于0时，g（x）趋近于﹣∞；当x趋近于+∞时，g（x）趋近于0，作出g（x）的草图如图，由图可知，当0＜a＜16e4时，方程a=lnx−1故答案为（0，16四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚。15．（13分）某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病．采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名；接受乙种疗法的患者中治愈的有85名．（1）根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位：人）疗法疗效合计未治愈治愈甲乙合计并依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；（2）根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+α0.150.100.050.0050.001xα2.0722.7063.8417.87910.828【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；独立性检验．【答案】（1）2×2列联表如下：疗法疗效合计未治愈治愈甲3565100乙1585100合计50150200根据小概率值α＝0.005的独立性检验，乙种疗法的效果比甲种疗法好；（2）X分布列为：X012P153128E（X）=1【分析】（1）根据题意，由条件可完成列联表，再由χ2的计算公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由分层抽样的公式可得抽取到未治愈的人数为2人，治愈的人数为6人，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望．【解答】解：（1）根据题意，补充2×2列联表如下：疗法疗效合计未治愈治愈甲3565100乙1585100合计50150200假设H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，根据列联表中的数据可得χ2根据小概率值α＝0.005的独立性检验，乙种疗法的效果比甲种疗法好；（2）由分层抽样可得，从200名患者中抽取8名患者，其中抽取到未治愈的人数为50200×8=2人，抽取到治愈的人数为则X～H（8，2，2），所以P(X=0)=C62C8则X分布列为：X012P153128则期望E(X)=0×1516．（15分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中．（1）求证：BD⊥PC；（2）若PA=AB=22，求平面CPD与平面PBD【考点】直线与平面垂直；二面角的平面角及求法．【答案】（1）证明见解答；（2）33【分析】（1）连接AC，设AC∩BD＝O，连接PO，利用线面垂直的判定定理和性质可得结果．（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面CPD与平面PBD的法向量，再利用面面角的向量求法求解即可．【解答】（1）证明：在正四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，设AC∩BD＝O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，则BD⊥PO，在正方形ABCD中，有BD⊥AC，又AC∩PO＝O，AC，PO⊂平面PAC，因此BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．（2）解：由（1）知，直线OB，OC，OP两两垂直，以点O为原点，直线OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，而PA=AB=22则B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，0，0），P（0，0，2），DC→=(2，2，0)，设平面PCD的法向量为n→=（x，y，则n→令x＝﹣1，n→因为AC⊥BD，PO⊥AC，BD∩PO＝O，BD，PO⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，则平面PBD的一个法向量为12设平面CPD与平面PBD的夹角为θ，则cosθ=|cos〈m所以平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值为3317．（15分）在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”．（1）若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为X，求X的分布列及数学期望；（2）若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；古典概型及其概率计算公式．【答案】（1）分布列见解析，期望为97（2）2049【分析】（1）求出取出1个“粽子”是绿豆焰的概率，再求出X的可能值，利用二项分布概率求出分布列及期望；（2）根据给定条件，利用全概率公式计算得解．【解答】解：（1）依题意，抽取到绿豆馅的“粽子”的概率p=3且X～B（3，37），X则P(X=0)=C30P(X=2)=C32所以X的分布列为：X0123P6434314434310834327343则E(X)=3×3（2）记甲同学取出的“粽子”是2个蛋黄馅的“粽子”的事件为A1，蛋黄馅的和绿豆馅的“粽子”各1个的事件为A2，2个绿豆馅的“粽子”的事件为A3，乙同学取出1个绿豆馅的“粽子”的事件为B，则P(A1)=C4P(B|A1)=27因此P（B）＝P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（B|A3）P（A3）=2=20所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率204918．（17分）设函数f(x)=1（1）当a＝0时，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若a＞0，证明f（x）只有一个零点．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】（1）﹣1；（2）当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；当0＜a＜1时，f（x）在(−∞，0)，(ln1a，+∞)当a＝1时，f（x）在R上单调递增；当a＞1时，f（x）在(−∞，ln1a)（3）证明过程见解析．【分析】（1）由题意，将a＝0代入解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而可得最值；（2）对函数f（x）进行求导，分别讨论a≤0，0＜a＜1，a＝1和a＞1这四种情况，进而即可求解；（3）先判断函数值的正负，再利用零点存在性定理进行求证．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝﹣ex+x，可得f'（x）＝﹣ex+1，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝0时，函数f（x）取得最大值，最大值f（0）＝﹣1；（2）易知函数f（x）的定义域为R，可得f′（x）＝ae2x﹣（a+1）ex+1＝（ex﹣1）（aex﹣1），令f′（x）＝0，解得x1=ln1a当ln1a=0，即a＝1时，f′（所以f（x）在R上单调递增，当ln1a＜0，即可得Δ＞0，此时f（x）在(−∞，ln1a)当ln1a＞0，即0＜可得Δ＞0，此时f（x）在(−∞，0)，(ln1a，+∞)当a≤0时，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；综上，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；当0＜a＜1时，f（x）在(−∞，0)，(ln1a，+∞)当a＝1时，f（x）在R上单调递增；当a＞1时，f（x）在(−∞，ln1a)（3）证明：若a＞0，当0＜a＜1时，当x