2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的1．（5分）已知向量a→表示“向东航行3km”，向量b→表示“向南航行3km，则A．向东南航行6km B．向东南航行32km C．向东北航行32km D．向东北航行6km2．（5分）复数5i−2A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i3．（5分）在四边形ABCD中，若AC→=ABA．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形4．（5分）复数a+bi与c﹣di（其中a，b，c，d∈R，i为虚数单位）的积是实数的充要条件是（）A．ad+bc＝0 B．ac+bd＝0 C．ac＝bd D．ad＝bc5．（5分）已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A．.AD→+BE→C．AD→+CE6．（5分）平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无数条直线都与β平行 B．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α C．α内的任何直线都与β平行 D．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内7．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（0，3，0），B（0，0，0），C（4，0，0），D（0，3，2），则四面体ABCD外接球的表面积为（）A．29π B．28π C．32π D．30π8．（5分）中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图．E对应的是正四棱台中间位置的长方体，B、D、H、F对应四个三棱柱，A、C、I、G对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积，则四棱锥I与三棱柱H的体积之比为（）A．3：1 B．1：3 C．2：3 D．1：6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分。在每小题给出的备选答案中，有多个选项符合题意的。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽取了10名运动员的年龄进行统计分析．下列说法中正确的有（）A．1000名运动员的年龄是总体 B．所抽取的10名运动员是一个样本 C．样本容量为10 D．每个运动员被抽到的机会相等（多选）10．（6分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为4πR2 B．圆锥的侧面积为5πC．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小（多选）11．（6分）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）A．复数z＝3﹣2i的共轭复数的虚部为2 B．若z2∈R，则z∈R C．若（1+i）z＝1﹣i，则|z|＝1 D．若z2+1＝0，则z＝i三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。12．（5分）设向量a→=（k，2），b→=（1，﹣1），且a→∥b13．（5分）点Z1对应的复数是4+i，点Z2对应的复数是﹣2+3i，则线段Z1Z2的中点对应的复数是．14．（5分）正方体的棱长扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的倍．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明过程。15．（13分）已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量AD→的模|AD16．（15分）如图，空间四边形ABCD的每条边和AC，BD的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD．17．（15分）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW•h之间．进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中a的值；（2）求在被调查的用户中，用电量落在[100，250）内的户数．18．（17分）已知复数z满足|z|=2，z2的虚部为2，z在复平面上所对应的点A（1）求z；（2）若z2，z﹣z2在复平面上的对应点分别为B，C，求cos∠ABC．19．（17分）如图，点O1是正方体ABCD﹣A1B1C1D1上底面的中心，过D1，B1，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上．

2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的1．（5分）已知向量a→表示“向东航行3km”，向量b→表示“向南航行3km，则A．向东南航行6km B．向东南航行32km C．向东北航行32km D．向东北航行6km【考点】平面向量的概念与几何表示．【答案】B【分析】根据平行四边形法则作图，计算平行四边形对角线的长度和方向即可得出答案．【解答】解：设OA→=a→，OB→=b→，则以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，由平行四边形法则可知OC→∵OA⊥OB，OA＝OB，∴平行四边形OACB是正方形，∴OC方向为东南方向，∵OA＝OB＝3，∴OC＝32．故选：B．2．（5分）复数5i−2A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】B【分析】首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．【解答】解：∵复数5i−2=5(−i−2)∴共轭复数是﹣2+i故选：B．3．（5分）在四边形ABCD中，若AC→=ABA．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形【考点】平面向量的加法．【答案】D【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可得解【解答】解：∵在四边形ABCD中，若AC→=AB∴由向量加法加法的平行四边形法则知，线段AC是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线∴四边形ABCD是平行四边形故选：D．4．（5分）复数a+bi与c﹣di（其中a，b，c，d∈R，i为虚数单位）的积是实数的充要条件是（）A．ad+bc＝0 B．ac+bd＝0 C．ac＝bd D．ad＝bc【考点】虚数单位i、复数；充分条件与必要条件．【答案】D【分析】根据实数的定义求解即可．【解答】解：因为（a+bi）（c﹣di）＝（ac+bd）+（bc﹣ad）i，要使此式为实数必有bc﹣ad＝0，即ad＝bc．故选：D．5．（5分）已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A．.AD→+BE→C．AD→+CE【考点】平面向量的基本定理．【答案】A【分析】根据向量的四则运算进行求解即可．【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，∴AD→=12AB则AD→+BE→+故选：A．6．（5分）平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无数条直线都与β平行 B．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α C．α内的任何直线都与β平行 D．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】C【分析】在A中，平面α与平面β相交或平行；在B中，平面α与平面β相交或平行；在C中，由平面平行的判定定理得α∥β；在D中，平面α与平面β相交或平行．【解答】解：在A中，α内有无数条直线都与β平行，当这无数条直线都是平行线时，平面α与平面β有可能相交，故A错误；在B中，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，则平面α与平面β相交或平行，故B错误；在C中，α内的任何直线都与β平行，由平面平行的判定定理得α∥β，故C正确；在D中，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，则平面α与平面β相交或平行，故D错误．故选：C．7．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（0，3，0），B（0，0，0），C（4，0，0），D（0，3，2），则四面体ABCD外接球的表面积为（）A．29π B．28π C．32π D．30π【考点】球的表面积．【答案】A【分析】四面体ABCD外接球即为此长方体的外接球，由此即可得．【解答】解：如图，四面体ABCD外接球即为此长方体的外接球，则有2R=3则四面体ABCD外接球的表面积为4πR2＝29π．故选：A．8．（5分）中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解．图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图．E对应的是正四棱台中间位置的长方体，B、D、H、F对应四个三棱柱，A、C、I、G对应四个四棱锥．若这四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积，则四棱锥I与三棱柱H的体积之比为（）A．3：1 B．1：3 C．2：3 D．1：6【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】B【分析】设四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，则根据题意易得b2h＝2abh，从而可得b＝2a，再利用体积公式计算，即可求解．【解答】解：设四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，则中间位置的长方体E的体积为b2h，四个三棱柱的体积为4×12×ahb=又这四个三棱柱的体积之和等于长方体E的体积，∴b2h＝2abh，∴b＝2a，∴四棱锥I与三棱柱H的体积之比：13故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分。在每小题给出的备选答案中，有多个选项符合题意的。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽取了10名运动员的年龄进行统计分析．下列说法中正确的有（）A．1000名运动员的年龄是总体 B．所抽取的10名运动员是一个样本 C．样本容量为10 D．每个运动员被抽到的机会相等【考点】简单随机抽样．【答案】ACD【分析】根据抽样方法，利用总体、样本、样本容量的定义逐项判断作答．【解答】解：对于A，1000名运动员的年龄是总体，故A正确；对于B，所抽取的10名运动员的年龄是一个样本，故B错误；对于C，样本容量为10，故C正确；对于D，每个运动员被抽到的机会相等，故D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为4πR2 B．圆锥的侧面积为5πC．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小【考点】球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】ABC【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算即可．【解答】解：依题意球的表面积为4πR2，圆柱的侧面积为2π×R×2R＝4πR2，所以AC选项正确．圆锥的侧面积为π×R×R2+(2R圆锥的表面积为πR圆柱的表面积为4πR2+2πR2＝6πR2，所以D选项不正确．故选：ABC．（多选）11．（6分）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）A．复数z＝3﹣2i的共轭复数的虚部为2 B．若z2∈R，则z∈R C．若（1+i）z＝1﹣i，则|z|＝1 D．若z2+1＝0，则z＝i【考点】复数的模；复数的运算；虚数单位i、复数；共轭复数．【答案】AC【分析】利用共轭复数的定义可判断A；利用特殊值法可判断B；利用复数的除法化简复数z，结合复数的模长公式可判断C；解方程z2+1＝0可判断D．【解答】解：对于A，因为z＝3﹣2i，则z=3+2i，其虚部为2，故A对于B，取z＝i，此时z2＝﹣1∈R，但z∉R，故B错误；对于C，若（1+i）z＝1﹣i，则z=1−i1+i=(1−i)2对于D，若z2+1＝0，则z2＝﹣1，解得z＝±i，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。12．（5分）设向量a→=（k，2），b→=（1，﹣1），且a→∥b【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】见试题解答内容【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵a→∥b→，∴﹣k﹣2＝0，解得故答案为：﹣2．13．（5分）点Z1对应的复数是4+i，点Z2对应的复数是﹣2+3i，则线段Z1Z2的中点对应的复数是．【考点】复数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】由题意求得Z1，Z2的坐标，再由中点坐标公式求得线段Z1Z2的中点坐标，则答案可求．【解答】解：由题意可得，Z1（4，1），Z2（﹣2，3），则线段Z1Z2的中点为（1，2），则线段Z1Z2的中点对应的复数是1+2i．故答案为：1+2i．14．（5分）正方体的棱长扩大到原来的n倍，则其表面积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的倍．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】见试题解答内容【分析】设原来正方体的棱长为1，则棱长扩大到原来的n倍后，正方体的棱长为n，结合正方体的表面积和体积公式，即可求解；【解答】解：由题意，设原来正方体的棱长为1，其表面积为S＝6×1×1＝6，体积为V＝1×1×1＝1，则棱长扩大到原来的n倍后，正方体的棱长为n，则其表面积为S1体积为V1=n×n×n=n3，即表面积扩大到原来的n2故答案为：n2；n3．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明过程。15．（13分）已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量AD→的模|AD【考点】三角形中的几何计算．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用正三角形的性质，通过三角形的边长，求解即可．【解答】解：因为三角形是正三角形，所以BC边上的中线向量AD→即：32BC边上的中线向量AD→的模|AD→|为：16．（15分）如图，空间四边形ABCD的每条边和AC，BD的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD．【考点】直线与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】由空间四边形ABCD的每条边和AC，BD的长都等于a，可知四面体A﹣BCD为正四面体，然后结合三角形全等得边长相等，再由等腰三角形底边上的中线即为底边上的高证得答案．【解答】证明：如图，∵AB＝BC＝AC＝AD＝BD＝CD＝a，∴△ABC≌△ABD，又M为AB的中点，∴CM＝DM，又N为CD的中点，∴MN⊥CD；同理可证，MN⊥AB．17．（15分）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW•h之间．进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中a的值；（2）求在被调查的用户中，用电量落在[100，250）内的户数．【考点】补全频率分布直方图．【答案】见试题解答内容【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可．【解答】解：（1）因为50×（0.0024+0.0036+a+0.0044+0.0024+0.0012）＝1，所以a＝0.006．（2）100×（0.0036+0.006+0.0044）＝68．18．（17分）已知复数z满足|z|=2，z2的虚部为2，z在复平面上所对应的点A（1）求z；（2）若z2，z﹣z2在复平面上的对应点分别为B，