2023-2024学年广西南宁市马山县周鹿中学高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年广西南宁市马山县周鹿中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。1．（5分）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（）A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3}2．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点(22，A．9 B．3 C．3 D．13．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω，φ是常数，ω＞0，|φ|＜π2）．若f（x）在区间[πA．f（x）的周期为2π B．f（x）的单调递减区间为[−πC．f（x）的图像与g(x)=cos(2x−π6D．f（x）的对称轴为x=π12+kπ（k4．（5分）在△ABC中，D为BC的中点，EB→=3AE→，AF→A．12 B．411 C．495．（5分）已知M（﹣2，7），N（10，﹣2），点P是线段MN上的点，且PN→=−2PM→A．（﹣14，16） B．（22，﹣11） C．（6，1） D．（2，4）6．（5分）设z＝（2i﹣1）i，则复数z的实部和虚部之和为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣17．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2．过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长为（）A．22+6 B．2+26 8．（5分）等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB=2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′DA．22 B．2 C．24二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。（多选）9．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的相邻对称轴之间的距离为π2，且f（A．该函数解析式为f(x)=sin(2x+πB．函数f（x）的一个对称中心为(−2πC．函数y=2f(x)−1的定义域为D．将函数y＝f（x）的图象向右平移b（b＞0）个单位，得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的图象关于原点对称，则b的最小值为π（多选）10．（5分）有下列说法，其中正确的说法为（）A．若a→∥b→，B．若PA→⋅PB→=PBC．两个非零向量a→，b→，若|a→−bD．若a→∥b→（多选）11．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1∗ω2=ω1ω2，其中ω2是ω2A．（z1+z2）*z3＝z1*z3+z2*z3 B．z1*（z2+z3）＝z1*z2+z1*z3 C．（z1*z2）*z3＝z1*（z2*z3） D．z1*z2＝z2*z1（多选）12．（5分）已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点，SO=1，OC=3A．圆锥SO的侧面积为23B．∠SAB的取值范围为(πC．若AB＝BC，E为线段AB上的动点，则(SE+CE)D．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）命题：∃x∈[1，4]，x2﹣（a2﹣4a﹣1）x+4＜0的否定为真命题，则实数a的最大值为．14．（5分）已知单位向量a→，b→满足|3a15．（5分）在复平面内，等腰直角三角形OZ1Z2以OZ2为斜边（其中O为坐标原点），若Z2对应的复数z2＝1+3i，则直角顶点Z1对应的复数z1＝16．（5分）n为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使（sinθ+icosθ）n＝sinnθ+icosnθ成立，则满足上述条件的n值共有个．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要得文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）设函数f（x）＝sin2x−3cos2x（1）设x∈[−π2，π6]，求函数f（2）设函数g(x)=f(x+φ)+4m(m∈R)(0＜φ＜π2)为偶函数，求φ的值，并求函数g18．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝5，∠CBD＝60°．（1）若sin∠BCD=14，求（2）若AD＝2，求cos∠ABD．19．（12分）已知复数z1＝a+2+（a﹣1）i，z2＝2+（3a+1）i，a∈R．（1）若复数z1﹣z2在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是方程x2﹣8x+m＝0的一个根，求实数m的值．20．（12分）圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．21．（12分）一条河南北两岸平行．如图所示，河面宽度d＝1km，一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．游船在静水中的航行速度是v→1，水流速度v→2的大小为|v→2|＝4km/h．设v→1和v→（1）若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为6min，求v→1的大小和cos（2）当θ＝60°，|v→1|＝10km/22．（12分）已知4kx2﹣4kx+k+1＝0是关于x的实系数一元二次方程．（1）若a是方程的一个根，且|a|＝1，求实数k的值；（2）若x1，x2是该方程的两个实根，且k∈Z，求使x1x2

2023-2024学年广西南宁市马山县周鹿中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。1．（5分）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（）A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3}【考点】元素与集合关系的判断．【答案】A【分析】根据题意及集合的概念，即可得解．【解答】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，∴M＝{1}．故选：A．2．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点(22，A．9 B．3 C．3 D．1【考点】幂函数的概念．【答案】A【分析】设y＝f（x）＝xα，根据f(22)=【解答】解：设y＝f（x）＝xα，则f(22)=则f（x）＝x2，所以f（3）＝32＝9．故选：A．3．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω，φ是常数，ω＞0，|φ|＜π2）．若f（x）在区间[πA．f（x）的周期为2π B．f（x）的单调递减区间为[−πC．f（x）的图像与g(x)=cos(2x−π6D．f（x）的对称轴为x=π12+kπ（k【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性．【答案】C【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，先求出f(x)=sin(2x+π【解答】解：对于选项A，∵f（x）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f（∴x=π2和x=2π3均不是f（∵f（π6）＝﹣f（π2），∴x=π6也不是函数f（x）的最值点，又f（∴x=π2+π62=π3故函数f（x）的最小正周期T=4×(7π12−对于选项B：由选项A可知ω=2πT=2，所以f（x）＝sin（2x因为|φ|＜π2，f（x）＝sin（2x+φ），过点(π3，0)令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z对于选项C，g（x）＝cos（2−π6）＝cos（2x+π3−π2）＝sin（2x+对于选项D：令2x+π3=kπ+π2，k∈Z，得f（故选：C．4．（5分）在△ABC中，D为BC的中点，EB→=3AE→，AF→A．12 B．411 C．49【考点】平面向量的基本定理；平面向量的数乘与线性运算．【答案】B【分析】由已知可得AD→=2AE→+34AF→，根据E，【解答】解；由题设，AD→=12(AB→+所以μAE→+(1−μ)AF→故选：B．5．（5分）已知M（﹣2，7），N（10，﹣2），点P是线段MN上的点，且PN→=−2PM→A．（﹣14，16） B．（22，﹣11） C．（6，1） D．（2，4）【考点】平面向量的坐标运算．【答案】D【分析】先写出2个向量的坐标，利用2个向量相等，则他们的坐标对应相等．【解答】解：D设P（x，y），则PN→=(10−x，−2−y)，∵PN→=−2PM→，∴10−x=−2(−2−x)∴P点的坐标为（2，4），故选D．6．（5分）设z＝（2i﹣1）i，则复数z的实部和虚部之和为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【考点】复数的实部与虚部．【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z的实部与虚部，则答案可求．【解答】解：∵z＝（2i﹣1）i＝﹣2﹣i，∴z的实部为﹣2，虚部为﹣1，实部与虚部之和为﹣3；故选：B．7．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2．过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长为（）A．22+6 B．2+26 【考点】平面与平面垂直；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论．【答案】C【分析】结合面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理和性质定理，以及三角形的中位线定理，作出平面α，运用勾股定理，计算可得所求值．【解答】解：取AC的中点D，连接BD，取A1C1的中点D1，连接B1D1，DD1，取AD的中点G，连接EG，连接EF，并延长，与A1B1的延长线交于H，取C1D1的中点M，连接MH，交B1C1于N，连接FN，GM，可得EG∥BD，BD∥B1D1，MN∥B1D1，即有EG∥MN，又AB＝BC，可得BD⊥AC，AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BD，所以BD⊥平面AA1C1C，可得EG⊥平面AA1C1C，由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C，则平面EGMNF即为平面α，由EG=12BD=22，GM=4+2=6，MN=12B1D可得所得截面周长为22+6故选：C．8．（5分）等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB=2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′DA．22 B．2 C．24【考点】斜二测法画直观图．【答案】A【分析】根据题意，求出原图形的面积，再求出它的直观图的面积即可．【解答】解：如图所示，，梯形ABCD的高为1，面积为12∴它的直观图的面积为2×2故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。（多选）9．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的相邻对称轴之间的距离为π2，且f（A．该函数解析式为f(x)=sin(2x+πB．函数f（x）的一个对称中心为(−2πC．函数y=2f(x)−1的定义域为D．将函数y＝f（x）的图象向右平移b（b＞0）个单位，得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的图象关于原点对称，则b的最小值为π【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】ABC【分析】选项A，根据T=2πω，可得ω的值，再将点P(π选项B，计算f（−2π选项C，结合正弦函数的图象与性质，解不等式f（x）≥2选项D，根据函数图象的平移法则，可得g（x）＝sin（2x+π3−2b），由奇函数的性质，令π3−2b＝kπ【解答】解：选项A，由题意知，最小正周期为T=2×π2=π=所以f（x）＝sin（2x+φ），因为f（x）图象经过点P(π所以f（π3）＝sin（2•π3+φ）＝0，即2π3+φ＝kπ又0＜φ＜π2，所以φ所以f(x)=sin(2x+π3)选项B，f（−2π3）＝sin（﹣2•2π3选项C，由题意知，2f（x）﹣1≥0，即f（x）＝sin（2x+π3）所以2x+π3∈[2kπ+π4，2kπ+3π4]（k∈选项D，g(x)=sin[2(x−b)+π因为该函数为奇函数，所以π3−2b=kπ(k∈Z)，即b=π6−所以b的最小值为π6，即D故选：ABC．（多选）10．（5分）有下列说法，其中正确的说法为（）A．若a→∥b→，B．若PA→⋅PB→=PBC．两个非零向量a→，b→，若|a→−bD．若a→∥b→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的相等与共线．【答案】BC【分析】利用零向量与共线向量的定义可判断ACD，利用向量数量积的运算法则可判断B．【解答】解：对于A：若a→∥b→，则a→当b→=0→时，故A错误；对于B：PA→整理得PA→故PB→同理PA→⋅BC故点P为△ABC的垂心，故B正确；对于C：两个非零向量a→，b若|a→−b→|＝|则a→与b故C正确；对于D：若a→∥b则存在唯一实数λ使得a→故D错误．故选：BC．（多选）11．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1∗ω2=ω1ω2，其中ω2是ω2A．（z1+z2）*z3＝z1*z3+z2*z3 B．z1*（z2+z3）＝z1*z2+z1*z3 C．（z1*z2）*z3＝z1*（z2*z3） D．z1*z2＝z2*z1【考点】复数的运算；共轭复数．【答案】AB【分析】利用新定义ω1【解答】解：对任意复数ω1，ω2，定义ω1∗ω2=ω对于A，（z1+z2）*z3＝（z1+z2）z3=z1z3+z2z3=（z1对于B，z1*（z2+z3）＝z1(z2+z3)=z1（z2+z3）=z1z2对于C，（z1*z2）*z3＝（z1*z2）z3=z1z2z3，z1*（z2*z3）＝z1*（z2对于D，z1*z2=z1z2，z2*z1故选：AB．（多选）12．（5分）已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点，SO=1，OC=3A．圆锥SO的侧面积为23B．∠SAB的取值范围为(πC．若AB＝BC，E为线段AB上的动点，则(SE+CE)D．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】AC【分析】依次判断每个选项，直接计算A正确；当AB＝2时，∠SAB=π3，B错误；当S1，E，C三点共线时SE+CE最小，根据余弦定理计算得到C正确；计算截面S△SMN＝a•4−a【解答】解：对于A，母线长SC=12+(3)2=2，侧面积为S＝对于B，△SAB中，SA＝SB＝2，0＜AB＜23，则当AB＝2时，∠SAB=π3，故对于C，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC=6，将△SAB放平得到△S1AB，如图2所示，当S1，E，C三点共线时SE+CE最小，F为AB中点，连接S1F，则S1F⊥ABsin∠ABS1=SS1C=BS1对于D，如图3，设截面为SMN，Q为MN中点，连接OQ，SQ，设MN＝2a，a∈（0，3]，则S△SMN=12•MN•SQ＝a•1+OQ2=a当且仅当a=4−a2，即a=故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）命题：∃x∈[1，4]，x2﹣（a2﹣4a﹣1）x+4＜0的否定为真命题，则实数a的最大值为5．【考点】存在量词命题的否定；存在量词和存在量词命题．【答案】5．【分析】利用含有量词命题的否定及不等式恒成立可解得a的最大值【解答】解：由特称命题的否定可知：∃x∈[1，4]，x2﹣（a2﹣4a﹣1）x+4＜0的否定为：∀x∈[1，4]，x2﹣（a2﹣4a﹣1）x+4≥0，为真命题．分离参数化简得：a2对∃x∈[1，4]，x2+4即a2﹣4a﹣1≤4，∴a∈[﹣1，5]，∴a的最大值为5．故答案为：5．14．（5分）已知单位向量a→，b→满足|3a【考点】平面向量的概念与平面向量的模；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】[1，7]．【分析】根据条件，利用向量数量积的定义及运算得到m2＝25﹣24cosθ，再利用cosθ∈[﹣1，1]，即可求出结果．【解答】解：设a→，b→的夹角为θ（因为|3a又因为a→，b→为单位向量，所以m2＝9+16﹣24cos又因为cosθ∈[﹣1，1]，且m＞0，所以1≤m2≤49，所以1≤m≤7．故答案为：[1，7]．15．（5分）在复平面内，等腰直角三角形OZ1Z2以OZ2为斜边（其中O为坐标原点），若Z2对应的复数z2＝1+3i，则直角顶点Z1对应的复数z1＝1+32+【考点】由复平面中的点确定复数．【答案】1+32+【分析】根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及向量模公式，即可求解．【解答】解：∵z2＝1+3i∴|z2|＝2，∴点Z2的坐标为（1，3），设点Z1的坐标为（x，y），则Z1由题意得，OZ1→⊥Z∴x2+y2=2∴复数z1=1+故答案为：1+32+16．（5分）n为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使（sinθ+icosθ）n＝sinnθ+icosnθ成立，则满足上述条件的n值共有498个．【考点】复数的运算．【答案】498．【分析】求出（sinθ+icosθ）n＝[i（cosθ﹣isinθ）]n＝in（cosnθ﹣sinnθ）＝in﹣1（sinnθ+icosnθ），从而in﹣1（sinnθ+icosnθ）＝sinnθ+icosnθ，进而in﹣1＝1，n＝4k+1，由此得到不超过1996被4除余1的正整数都符合要求，从而能求出结果．【解答】解：∵（sinθ+icosθ）n＝[i（cosθ﹣isinθ）]n＝in（cosnθ﹣sinnθ）＝in﹣1（sinnθ+icosnθ），∴in﹣1（sinnθ+icosnθ）＝sinnθ+icosnθ，∵sinθ+icosθ≠0，∴in﹣1＝1，n＝4k+1，∴不超过1996被4除余1的正整数都符合要求，这种数共有[1996−14故答案为：498．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要得文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）设函数f（x）＝sin2x−3cos2x（1）设x∈[−π2，π6]，求函数f（2）设函数g(x)=f(x+φ)+4m(m∈R)(0＜φ＜π2)为偶函数，求φ的值，并求函数g【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【答案】（1）最大值为3−1，最小值为﹣3；（2）[−π2+kπ，kπ]（【分析】（1）首先利用关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．（2）利用整体思想的应用求出函数的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）＝sin2x−3cos2x﹣1＝2sin（2x−由于x∈[−π2，所以−4π3≤2x−故函数f（x）的最大值为3−（2）函数g（x）＝f（x+φ）+4m为偶函数，所以2φ−π3=kπ+π2整理得φ=5π12+kπ2由于0＜φ＜π故φ=5π此时g（x）＝cos2x+4m﹣1，令﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，整理得−π2+kπ≤x≤kπ（k故函数的单调递增区间为[−π2+kπ，kπ]（k18．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝5，∠CBD＝60°．（1）若sin∠BCD=14，求（2）若AD＝2，求cos∠ABD．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）103；（2）419【分析】（1）在△BCD中，由正弦定理可得CD的值；（2）在△ABD中，由余弦定理可得AB的值，再由余弦定理可得cos∠ABD的值．【解答】解：（1）在△BCD中，BD＝5，∠CBD＝60°，sin∠BCD=1由正弦定理得BDsin∠BCD则CD＝103；（2）因为AD∥BC，所以∠ADB＝∠CBD＝60°，在△ABD中，AD＝2，BD＝5，由余弦定理得：AB2＝BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠ADB＝19，解得AB=19所以cos∠ABD=A19．（12分）已知复数z1＝a+2+（a﹣1）i，z2＝2+（3a+1）i，a∈R．（1）若复数z1﹣z2在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是方程x2﹣8x+m＝0的一个根，求实数m的值．【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义．【答案】（1）（﹣∞，﹣1）．（2）17．【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解；（2）根据已知条件，结合韦达定理，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：（1）复数z1＝a+2+（a﹣1）i，z2＝2+（3a+1）i，则z1﹣z2＝a﹣（2a+2）i，复数z1﹣z2在复平面内的对应点落在第二象限，则a＜0−(2a+2)＞0，解得a故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（2）虚数z1是方程x2﹣8x+m＝0的一个根，则z1也是方程x2﹣8x+m故a+2+(a−1)i+a+2−(a−1)i=8(a+2)2+(a−1)20．（12分）圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．【考点】简单组合体的结构特征．【答案】见试题解答内容【分析】画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．【解答】解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示（2分）设正方体棱长为x，则CC1＝x，C1D1=2作SO⊥EF于O，则SO=2，OE∵△ECC1∽△EOS，∴CC1SO∴x=22(cm)，即内接正方体棱长为21．（12分）一条河南北两岸平行．如图所示，河面宽度d＝1km，一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．游船在静水中的航行速度是v→1，水流速度v→2的大小为|v→2|＝4km/h．设v→1和v→（1）若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为6mi