湖南省岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（解析版）

湖南省岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题(解析版）题号12345678910答案BBBBCACDABDBCD题号11答案BCD1．B【详解】依题意，，所以.2．B【详解】，故.3．B【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解.【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点．则，又平面平面，所以平面，连接，则．所以四边形为平行四边形，所以．又平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.所以平面与平面间的距离为点到平面的距离.以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量，，，则有，令得，故，其中，则点到平面的距离为.4．B【分析】可通过列举数列判断①②，对于③，求出，作差后，分类讨论公差的的3种情况来判断；对于④，求出，作差后对分奇偶分析即可确定.【详解】对于①，当时，满足为递增数列，而，，则，即，因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故①正确；对于②，当周期数列为时，周期为2，对任意的，都有，因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故②正确；对于③，设等差数列的公差为，则，，要使数列为“攀登数列”，则，对任意的恒成立，当时，是开口向上的二次函数，当时，，故不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意.综上所述，不存在等差数列，使得它是“攀登数列”，故③错误；对于④，由于等比数列的公比为，，则，所以，当为奇数时，由于，则，要使，则需使，即符合题意；当为偶数时，由于，则（*），因，由于方程的根为，而，则，而，则由（*）可得，又，要使，需使，即符合题意.综上所述，存在，对于任意，使得为攀登数列，故④正确.5．C【分析】利用概率的性质结合对立事件的概率公式得到，，最后结合条件概率公式求解即可.【详解】因为，所以，而，由条件概率公式得，故C正确.6．A【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根.当时，，只有一个零点，不符合题意，所以.当时，方程等价于.令，则问题转化为直线与函数的图象有两个不同的交点.求导得：.令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在处取得极大值.当时，；当时，.函数的图象大致如下：由图象可知，当直线与函数的图象有两个不同的交点时，需满足.当时，直线与图象只有一个交点；当时，直线与图象最多一个交点；当时，直线与图象无交点.故实数的取值范围为.7．C【分析】首先对前4次取球的颜色分类，再根据排列数和组合数公式列式，最后根据古典概型概率公式，即可求解.【详解】前4次只取到红球和黄球（两种颜色都有），第5次取到白球，；前4次只取到白球和黄球（两种颜色都有），第5次取到红球，；前4次只取到白球和红球（两种颜色都有），第5次取到黄球，.所以.故选：C.8．D【分析】利用的几何意义可判断AB；求导，结合切点与另一个切点，可得的单调性，进而可得结论.【详解】由，得，可得表示曲线上的过点与原点的直线的斜率，由图形可知，先增大，后减小，又增大，所以有两个极值点，且极小值点大于极大值点，故AB错误；设切点的坐标为，则由条件得有两个解，其中一个解为，另一个解设为，显然有，当时，；当时，，当，.，，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴当时，有极大值，且极大值为.当时，有极小值，且的极小值点大于极大值点，故C错误，D正确；9．ABD【分析】由已知公式求得线性回归方程可判断ACD，由相关系数计算公式可判断B.【详解】计算均值：，，选项A：根据公式，，线性回归方程为，A正确；选项B：相关系数，B正确；选项C：代入回归方程：，预测月销售量为千件，不是千件，C错误；选项D：时，，残差，D正确.10．BCD【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】由为偶函数，得.对作变量代换，得，因此，.将代入上式，得，结合，得，进而，，即的最小正周期为；由，可得的最小正周期也为.对于选项A：由，令，得，故A错误.对于选项B：由，令，得，故B正确.对于选项C：由，令，得，故C正确.对于选项D：由周期为，得，故D正确.11．BCD【解析】利用组合计数原理可判断A选项的正误；利用分步乘法计数原理结合组合计数原理可判断B选项的正误；计算出乙经过处的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断C选项的正误；计算出甲、乙两人相遇的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断D选项的正误.【详解】A选项，甲从到达处，需要走步，其中有步向上走，步向右走，则甲从到达处的方法有种，A选项错误；B选项，甲经过到达处，可分为两步：第一步，甲从经过需要走步，其中步向右走，步向上走，方法数为种；第二步，甲从到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法数为种.甲经过到达的方法数为种，B选项正确；C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，甲、乙两人在处相遇的方法数为，甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种；若甲、乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为种；若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有步向右走，后三步只有步向右走，乙到处，前三步有步向下走，后三步只有步向下走，所以，两人在处相遇的走法种数为种；若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种；故甲、乙两人相遇的概率，D选项正确.故选：BCD.【点睛】结论点睛：本题考查格点问题，解决这类问题可利用如下结论求解：在平面直角坐标系中，从到，每次只能向右或向上走一步，一共要走步，其中有步向上走，步向右走，走法种数为（或）种.12．14.7【分析】根据公式计算得解.【详解】,故答案为：14.713．【分析】由已知可得，则，构造数列，利用等比数列的通项公式即可求解．【详解】由得，，所以数列是以首项为，公比为3的等比数列，故故答案为：.14．【分析】利用正态分布对称性转化概率【详解】由题，，则原不等式转化为，由于该正态分布的累计分布函数单调递增，因此15．(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数．(2)；(3)证明见解析．【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性；（2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得；（3）不等式化为，引入函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证．【详解】（1），当时，，在上是增函数；当时，时，，时，，所以在上是减函数，在上是增函数．综上，时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数．（2）不等式即为，，设，则，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，，因为，所以，所以，又，所以存在唯一的，使得，即，，，在时，是单调增函数，所以，即，从而，时，，即，单调递减，时，，即，单调递增，所以，代入，，得，所以；（3）要证不等式成立，即证，也即证不等式，设，则，易知是增函数，又，，因为，所以，所以，所以存在唯一的，使得，时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，由，得，，因为，所以，，，所以，而，所以，所以，所以成立．16．(1)，，有效，理由见解析(2)有的把握认为药物对预防疾病有效．【分析】（1）根据条件概率的概念，计算事件的概率，进而判定药物X对预防疾病Y是否有效．（2）根据独立性检验方法，计算，进而判断药物是否有效.【详解】（1）在（未服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得，在（服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得，未服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，而服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，两者有较大差异．因此直观判断，药物X对预防疾病Y有效．（2）零假设：药物对预防疾病无效，由列联表得到，所以有的把握认为药物对预防疾病有效．17．(1)(2)8186人【分析】（1）由，结合对称性即可求解；（2）由正态分布对称性即可求解.【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，可得，则，所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例；（2）解：则，，所以估计成绩在内的学生人数为8186人.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定定理证明平面，继而即可证得；（2）由题意建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式求解即得.【详解】（1）因为平面，平面，所以.因为四边形ABCD为正方形，所以，因为平面，所以平面，又因平面，所以.（2）由题意以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图，则，，，，.设平面的法向量是，则，取，可得，易得是平面ABCD的一个法向量，则，故平面PBQ与平面ABCD夹角的余弦值为.19．(1)(2)或(3)是，【分析】1）根据实轴的长为，离心率，求出即可求得双曲线的标准方程;（2）假设直线的方程与双曲线的标准方程联立，通过韦达定理表示出线段的中点的坐标，从而求出轨迹方程；（3）设，求出点双曲线两条渐近线的距离，再利用分别取两条渐近线的法向量为求出两条渐近线的夹角，由于与两条渐近线垂直，故与该夹角互补，从而表示出面积，再判断是否为定值.【详解】（1）由双曲线的实轴的长为，得，所以，又，所以，所以，所以双曲线的标准方程为．（2）当直线的斜率不存在