20.1 勾股定理及其应用数学八年级下册

20.1勾股定理及其应用(课时1)第二十章勾股定理人教版(2024)素养目标1掌握勾股定理，并会运用勾股定理解决一些几何问题；

2经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想；3尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性.新知导入直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角，其余两个角互余.ABC如图，在直角△ABC

中，∠C=90°，∠A+∠B=90°【思考】对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？探究新知在《周髀算经》的开篇，商高(约公元前11世纪)构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.探究新知商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？探究新知如图所示，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？A1B1A2C1B2C2B3C3A3探究新知A1B1A2C1B2C2B3C3A3如图，以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.探究新知A1的面积B1的面积C1的面积A2的面积B2的面积C2的面积A3的面积B3的面积C3的面积145491392534A1的面积+B1的面积=C1的面积A2的面积+B2的面积=C2的面积A3的面积+B3的面积=C3的面积ABC探究新知以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？A的面积B的面积C的面积91625A的面积+B的面积=C的面积你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？探究新知【发现】以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.【思考】如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么两直角边与斜边之间有什么关系呢？abc如何验证呢？猜想：两直角边的平方和等于斜边的平方.即，a2+b2=c2.探究新知如图是我国古代证明该猜想的“赵爽弦图”.朱实朱实朱实朱实黄实赵爽弦图如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形(红色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色).探究新知如图，把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2.这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色)，把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形，它的面积是c2.因为图(1)与图(3)都由四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色)组成，所以它们的面积相等，即a2+b2=c2.探究新知bcabac归纳总结abca、b、c为正数勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.公式变形：在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.探究新知赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.探究新知根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？abc赵爽弦图b-a∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2，∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，证明：探究新知【拓展】毕达哥拉斯证法aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，例题练习如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=82+62=100，所以AB=10.(2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2+EF2=DF2，从而DE2=DF2-

EF2=172