【备考2026】吉林省中考模拟数学试卷4（含解析）

【备考2026】吉林省中考模拟数学试卷4姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________题号一二三总分得分一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）A． B． C． D．2．（2分）下列各式计算正确的是（）A．﹣2﹣7×5＝（﹣2﹣7）×5 B．3QUOTE3÷1＝3 C．3QUOTE3÷（QUOTE） D．﹣（﹣32）＝93．（2分）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1.若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的取值范围是（）A．0＜L＜35 B．L＞35 C．0＜L≤35 D．35≤L≤504．（2分）实数a在数轴上的位置如图所示，则a，﹣a，a2，QUOTE中最大的是（）A．a B．﹣a C．a2 D．QUOTE5．（2分）如图所示，下列推理不正确的是（）A．若∠1＝∠B，则BC∥DE B．若∠2＝∠3，则AD∥CE C．若∠AEC＝∠ADC，则AD∥EC D．若∠A+∠ADC＝180°，则AB∥CD6．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在对角线AC上，以点A为圆心，2为半径长作⊙A，以点P为圆心作⊙P，如果点C在⊙P内而点D在⊙P外，并且⊙P与⊙A外切，那么可以作为⊙P半径长的值是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）7．（3分）实数QUOTE的相反数是．8．（3分）已知ax＝3，ax+y＝6，则ax+ay的值为．9．（3分）如图，在长方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上一点，连接DE，DF．用含x的代数式表示阴影部分的面积为（结果须化简）．10．（3分）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．若要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为．11．（3分）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为度．（写出一个即可）12．（3分）对于任意两实数a、b，用max{a，b}表示其中较大的数，例如max{2，﹣4}＝2．如图在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），⊙M半径为1，圆心M在直线y＝2上运动，若对于⊙M上任意点C，都有4≤max{CA，CB}≤8，则圆心M的横坐标x的取值范围是．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，在BC边上取一点E，连接AE，使∠AEB＝2∠BDA，若BE＝3，BD＝4QUOTE，则AE＝．14．（3分）如图，点A，B，C在半径为4的⊙O上，AC∥OB．若∠AOB＝130°，则QUOTE长为．三．解答题（共4小题，满分20分，每小题5分）15．（5分）如图所示，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF，EF与AC交于点G．试说明：AB＝AE．16．（5分）小明同学准备完成题目：“化简：（*x2+5x+6）﹣（5x+4x2+2）”，发现系数“*”印刷不清楚．（1）他把“*”猜成3，请你帮助小明化简：（3x2+5x+6）﹣（5x+4x2+2）；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“*”是几．17．（5分）在“阳光体育”活动时间，班主任将全班同学随机分成了A、B两组进行活动，用画树状图的方法，求该班小光、小明和小亮三位同学中恰有两人被分在同一个组的概率．18．（5分）如图所示，（1）请你画出这3个图形关于点O的中心对称图形．（2）将所画图形与原图形看作两个图形，那么它是否是轴对称？如果是，先回答，它有几条对称轴？并且在图中画出所有对称轴．四．解答题（共4小题，满分28分，每小题7分）19．（7分）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？20．（7分）如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数y（单位：N）是关于x（弹簧秤与中点O的距离）（单位：cm）的反比例函数，当x＝15时，y＝10．（1）求y关于x的函数表达式．（2）左侧所挂物体的质量与位置不变，移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值．21．（7分）图1是某款笔记本支架，它可以进行多角度调节，将笔记本电脑抬高到合适的位置，图2是它的平面简易图．已知AO＝OB＝22cm，当∠AOB＝123°，∠B＝15°时，用眼舒适度较为理想，求此时顶部边缘A处离桌面BC的高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）22．（7分）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率QUOTE．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口108万人，则常住人口城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017～2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是%；（2）2021年年末全国人口为141260万人，2021年年末全国城镇常在人口为万人；（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是（填序号）．①2017～2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年和末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）23．（8分）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费y（单位：元）与骑行时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．（1）A品牌每分钟收费元．（2）求B品牌超过10min以后费用与时间之间的函数关系式．（3）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为10km/h，小明家到工厂的距离为3km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？24．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△DEC，点E为AC中点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF．（1）求证：四边形ABDF是平行四边形．（2）如图2，过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥BF于点G，试判断DH与DG之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，延长DG，交AF于点N，BC＝a，QUOTEk．①求k的值；②在①的条件下，从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，交平行四边形的边于另一点，若该点分所在边的两条线段比值为k，则称这个平行四边形为“垂k平行四边形”，称垂足为“垂k点”．如图3，在▱ABDF中，点N分线段AF为FN，AN，因为QUOTEk，所以▱ABDF为“垂k平行四边形”，垂足G为“垂k点”．③如图4，从▱ABDF中得到△BDF，DG⊥BF于点G．在以BD为边的“垂k平行四边形”四边形BDPQ中，垂足G为“垂k点”，点F在▱BDPQ的边上．过点F作FT∥DQ，交▱BDPQ的一边于点T，将△PFT沿FT翻折得到△P′FT，连接P′D，P′Q，请直接写出S△P'QD的值（用含a的代数式表示）．六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）25．（10分）如图①在正方形ABCD中，连接BD，点E是边AB上的一点，EF⊥AB交BD于点F，点P是FD的中点，连接EP、CP．（1）如图①，探究EP与CP有何关系，并说明理由；（2）若将△BEF绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接FD，取FD的中点P，连接EP、CP，请问在该条件下，（1）中的结论是否成立，并说明理由；（3）如果把△BEF绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接FD，取FD的中点P，连接EP、CP，请你直接写出EP与CP的关系．26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC；（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D是抛物线上一动点，连接OD，点E为线段OD上一点，且OE＝2DE，点E在直线BC下方，当△BCE面积最大时，求D点坐标；（3）点P是抛物线上一动点，点Q在y轴上，∠PAQ＝∠OCB，是否存在这样的点P、Q使AP＝AQ，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．【考点】简单组合体的三视图【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．解：从左边看有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．故选：C．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2．【考点】有理数的混合运算【分析】利用有理数的相应的运算法则对各项进行运算，即可判断．解：A、﹣2﹣7×5＝﹣2﹣35，故A不符合题意；B、3QUOTE＝3QUOTEQUOTE，故B不符合题意；C、3QUOTE3QUOTE，故C不符合题意；D、﹣（﹣32）＝9，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．【考点】不等式的定义【分析】根据弹簧秤平衡的结论FL＝F1L1，以及F≤7，解不等式即可．解：由于弹簧秤在木杆的中点O的右侧，所以L≤50，又∵FL＝F1L1，即FQUOTE7，∴L≥35，所以35≤L≤50．故选：D．【点评】本题考查不等式的意义，理解“杠杆平衡的条件”以及F不超过7N的意义，列不等式进行解答解答即可．4．【考点】实数大小比较；实数与数轴【分析】根据图示，可得0＜a＜1，据此逐项判断即可．解：根据图示，可得0＜a＜1，∴﹣a＜0，0＜a2＜1，QUOTE1，∴﹣a＜a2＜aQUOTE，∴a，﹣a，a2，QUOTE中最大的是QUOTE．故选：D．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．5．【考点】平行线的判定【分析】由平行线的判定方法，即可判断．解：A、同位角相等，两直线平行，故A不符合题意；B、内错角相等，两直线平行，故B不符合题意；C、两个角不是同位角，也不是内错角，不能判定AD∥EC，故C符合题意；D、同旁内角互补，两直线平行，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．6．【考点】圆与圆的位置关系；解直角三角形；勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系【分析】过点D作DE⊥AC，求出DE、QE的长，再确定⊙P的半径r的取值范围即可．解：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则AD＝8，CD＝6，由勾股定理可得：QUOTE，过点D作DE⊥AC，则QUOTE，QUOTE，即QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，令⊙A与AC交于点Q，设PQ＝r，则AQ＝2，CQ＝8，PC＝CQ﹣PQ＝8﹣r，QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，由题意可得：QUOTE，即QUOTE，∴QUOTE，即⊙P的半径r的取值范围为：QUOTE，故答案为：C．【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）7．【考点】相反数；算术平方根【分析】直接利用相反数的定义，只有符号不同的两数是相反数，即可得出答案．解：实数QUOTE的相反数是QUOTE．故答案为：QUOTE．【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．8．【考点】同底数幂的乘法【分析】利用同底数幂的乘法运算计算．解：∵ax＝3，ax+y＝6，∴ax+y＝ax×ay＝6，ay＝6÷3＝2，∴ax+ay＝3+2＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法法则．9．【考点】列代数式【分析】根据图形可知：阴影部分的面积＝长方形的面积﹣两个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．解：由图可得，阴影部分的面积为：8×4QUOTE＝32﹣4（4﹣x）﹣2x＝32﹣16+4x﹣2x＝16+2x，故答案为：16+2x．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【分析】设安排x天生产桌子，y天生产椅子，可使生产的桌子和椅子正好配套，根据1张桌子和4把椅子配成一套可得12x的4倍等于32y，列出方程组即可．解：根据题意得：QUOTE．故答案为：QUOTE．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11．【考点】利用旋转设计图案；旋转对称图形【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．解：360°÷6＝60°，则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，故答案为：60（答案不唯一）．【点评】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，掌握正六边形的中心角是关键．12．【考点】坐标与图形性质；勾股定理；点与圆的位置关系【分析】当点M在y轴右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于点T，结合题意和勾股定理求得x的取值范围，然后同理计算当点M在y轴左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围即可．解：当点M在y轴右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于点T，∵对于⊙M上任意一点C，均有4≤AC≤8，∴当AC＝4时，AM＝5，∴QUOTE，∴此时QUOTE，当AC＝8时，AM＝7，∴QUOTE，∴此时QUOTE，∴满足条件的点M的横坐标的范围为QUOTE，同理可知，当点M在y轴左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为QUOTE．故答案为：QUOTE或QUOTE．【点评】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．13．【考点】矩形的性质【分析】延长DA到点F，作AF＝AE，连接EF，则∠DAE＝2∠EFA，而∠DAE＝∠AEB＝2∠BDA，即可证明∠EFA＝∠BDA，作BG∥EF交DF的延长线于点G，则四边形BEFG是平行四边形，所以FG＝BE＝3，AG＝AF+3＝AE+3，由∠G＝∠EFA＝∠BDA，得BG＝BD＝4QUOTE，由勾股定理得（4QUOTE）2﹣（AE+3）2＝AE2﹣32，即可求得得AE＝5，于是得到问题的答案．解：延长DA到点F，作AF＝AE，连接EF，则∠EFA＝∠FEA，∴∠DAE＝∠EFA+∠FEA＝2∠EFA，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝2∠BDA，∴2∠EFA＝2∠BDA，∴∠EFA＝∠BDA，作BG∥EF交DF的延长线于点G，则四边形BEFG是平行四边形，∴FG＝BE＝3，∴AG＝AF+3＝AE+3，∵∠G＝∠EFA＝∠BDA，∴BG＝BD＝4QUOTE，∵∠BAG＝∠ABE＝90°，∴BG2﹣AG2＝AE2﹣BE2＝AB2，∴（4QUOTE）2﹣（AE+3）2＝AE2﹣32，解得AE＝5或AE＝﹣8（不符合题意，舍去），故答案为：5．【点评】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．14．【考点】弧长的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【分析】连接CO，根据平行线的性质求出∠A＝50°，再根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠COB＝50°，最后根据弧长公式即可求解．解：如图，连接OC，∵AC∥OB，∴∠A+∠AOB＝180°，∠C＝∠BOC，∵∠AOB＝130°，∴∠A＝50°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠C＝50°，∴∠COB＝50°，∴QUOTE的长为QUOTEπ．故答案为：QUOTEπ．【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键．三．解答题（共4小题，满分20分，每小题5分）15．【考点】全等三角形的判定与性质【分析】先根据∠BAE＝∠CAF得∠BAC＝∠EAF，进而可依据“ASA”判定△ABC和△AEF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．证明：∵∠BAE＝∠CAF，∴∠BAE+∠EAG＝∠CAF+∠EAG，∴∠BAC＝∠EAF，在△ABC和△AEF中，QUOTE，∴△ABC≌△AEF（ASA），∴AB＝AE．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．16．【考点】整式的加减【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可得到答案；（2）设这个系数为m，再计算（mx2+5x+6）﹣（5x+4x2+2），由结果为常数可得x2项的系数为0从而可列式求出答案．解：（1）原式＝3x2+5x+6﹣5x﹣4x2﹣2＝﹣x2+4；（2）设这个系数为m，则（mx2+5x+6）﹣（5x+4x2+2）＝mx2+5x+6﹣5x﹣4x2﹣2＝（m﹣4）x2+4，∵结果是常数，∴m﹣4＝0，解得：m＝4，∴原题中“*”是4．【点评】本题考查的是去括号，整式的加减运算，整式的加减运算中结果的值与字母无关，理解题意，熟悉去括号的法则是解题的关键，17．【考点】列表法与树状图法【分析】画树状图展示所有8种等可能的结果，再找出小光、小明和小亮三位同学中恰有两人被分在同一个组的结果数，然后根据概率公式计算．解：画树状图为：共有8种等可能的结果，其中小光、小明和小亮三位同学中恰有两人被分在同一个组的结果数为6，所以小光、小明和小亮三位同学中恰有两人被分在同一个组的概率QUOTE．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．18．【考点】作图﹣轴对称变换；中心对称图形【分析】（1）根据中心对称变换的性质，分别作出各个点的对应点即可；（2）根据轴对称图形的定义判断即可．解：（1）图形如图所示：（2）将所画图形与原图形看作两个图形，那么它是轴对称有2条对称轴，如图所示．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型．四．解答题（共4小题，满分28分，每小题7分）19．【考点】分式方程的应用【分析】设该公司购买A型芯片的单价是x元，则B型芯片的单价是（x+9）元，根据数量等于总价除以单价即可列出分式方程求解即可．解：设该公司购买A型芯片的单价是x元，则B型芯片的单价是（x+9）元，由题意得：QUOTE，解得：x＝26，经检验x＝26是原方程的解，x+9＝35，∴该公司购买A型芯片的单价是26元，B型芯片的单价是35元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题关键是找数量关系正确列出方程．20．【考点】反比例函数的应用【分析】（1）根据题意设QUOTE，根据当x＝15时，y＝10即可得；（2）根据k＝150＞0得当x＞0时，y随x的增大而减小，则当x取最大值时，y取最小值，根据木杆长100cm，O为木杆的中点，故x最大＝50cm，即可得解．解：（1）∵y是关于x的反比例函数，设QUOTE，又∵当x＝15时，y＝10，∴k＝xy＝150，∴QUOTE；（2）∵k＝150＞0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，∴当x取最大值时，y取最小值，∵木杆长100cm，O为木杆的中点，故x最大＝50cm，∴当x＝50时，QUOTE，即弹簧秤的示数y的最小值为3N．【点评】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法，反比例函数的性质是解题的关键．21．【考点】解直角三角形的应用【分析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出AF、OD即可．解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，过点O作OF⊥AE于点F，在Rt△BOD中，∠B＝15°，OB＝22cm，∴OD＝OB•sinB＝22×sin15°≈22×0.26＝5.72（cm），在Rt△AOF中，∠AOF＝360°﹣123°﹣（90°﹣15°）﹣90°＝72°，∴∠OAF＝90°﹣72°＝18°，∵OA＝22cm，∴AF＝OA•cosA＝22×cos18°≈22×0.95＝20.9（cm），∴顶部边缘A处离桌面BC的高度为：AF+OD＝20.9+5.72＝26.62≈27（cm），答：顶部边缘A处离桌面BC的高度约为27cm．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．22．【考点】折线统计图；中位数【分析】（1）将2017﹣2021年年末的城镇化率从小到大排列，从而可得中位数．（2）根据城镇化率QUOTE100%可得2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%（万人）．‘（3）由折线图可得全国常住人口城镇化率在逐年增加．解：（1）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，62.71%，63.89%，64.72%，∴中为数是62.71%，故答案为：62.71．（2）∵2021年年末城镇化率为64.72%，∴常住人口为141260×64.72%（万人），故答案为：141260×64.72%．（3）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．故答案为：①．【点评】本题考查数据的收集与整理，解题关键是掌握中位数的概念，读懂折线图．五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）23．【考点】一次函数的应用【分析】（1）根据图象设出函数解析式，再根据待定系数法求函数解析式即可；（2）根据图形可知，B品牌的函数关系式分两段求解，待定系数法求函数解析式即可；（3）先求出小明从家到工厂所用时间为18min，再通过图象可知小于18min时选择A品牌电动车更省钱．解：（1）设y1＝k1x，把点（20，4）代入y1＝k1x，得：k1＝0.2，∴y1＝0.2x（x≥0）；故答案为：0.2；（2）由图象可知，当x＞10时，设y2＝k2x+b，把点（10，3）和点（20，4）代入y2＝k2x+b中，得：QUOTE，解得：QUOTE，∴y2＝0.1x+2（x＞10）．（3）3÷10＝0.3（h），0.3h＝18（min），∵18＜20，由图象可知，当骑行时间不足20min时，y1＜y2，即骑行A品牌的共享电动车更省钱．∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱．【点评】本题考查了一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是：观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．24．【考点】相似形综合题【分析】（1）由题意，通过旋转的性质可得AB＝DE＝DF，∠BAC＝∠EDC，易证AB∥DF，即可证明四边形ABDF是平行四边形；（2）过点F作FR⊥BD，交BD的延长线于点R，先证明Rt△ABC≌Rt△FDR（HL），得DR＝BC，由E为AC中点，可得AC＝2EC，易得QUOTE，QUOTE，因此∠FBR＝∠BAC，易得∠BDH＝∠BAC＝∠FBR，得BM＝DM，通过等面积法可得DG＝BH，即可证明DH＝2DG；（3）①延长CA、DN交于点K，由BC＝a，可得CD＝AC＝2BC＝2a，易证∠K＝∠GBD，则tan∠K＝tan∠GBDQUOTE，得CK＝4a，则AK＝2a，AN＝a，由四边形ABDF是平行四边形，所以AF＝3a，FN＝2a，由QUOTE即可求出k的值；②在①的条件下，分两种情况画出以BD为边的“垂k平行四边形”四边形BDPQ，第一种情况：过点F作QF≌BD交DG的延长线于Q，连接BQ，过点D作DP∥BQ交QF的延长线于P，则四边形BDPQ为以BD为边的“垂k平行四边形”；第二种情况：过点B作BQ∥DF交DG的延长线于Q，过点Q作QPBD交DF的延长线于P，则四边形BDPQ为以BD为边的“垂k平行四边形”，再分别进行求解．（1）证明：由旋转可得，AB＝DE＝DF，∠BAC＝∠EDC，∠DCE＝∠EDF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠B+∠BDF＝∠B+∠EDC+∠EDF＝∠B+∠BAC+∠EDF＝90°+90°＝180°，∴AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形；（2）解：DH＝2DG，理由如下：如图1，过点F作FR⊥BD，交BD的延长线于点R，∵∠R＝∠ACB＝90°，∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD，AB＝DF，∴AC＝FR，∴Rt△ABC≌Rt△FDR（HL），∴DR＝BC，∵E为AC中点，∴AC＝2EC，由旋转得，CD＝AC，CE＝BC，∴FR＝CD＝AC＝2CE＝2BC，∴BR＝4BC，∴tan∠FBRQUOTE，QUOTE，∴∠FBR＝∠BAC，∵DH⊥AB，∴∠DHB＝90°，∴∠BDH+∠ABC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠BDH＝∠BAC＝∠FBR，∴BM＝DM，QUOTE，∵DG⊥BF，DH⊥AB，QUOTE，∴DG＝BH，∴QUOTE，∴DH＝2DG；（3）解：①如图2，延长CA、DN交于点K，∵BC＝a，∴CD＝AC＝2BC＝2a，∵DG⊥BF，∴∠BGD＝90°，∴∠GBD+∠BDG＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠K+∠CDK＝90°，∴∠K＝∠GBD，QUOTEQUOTE，∴CK＝4a，∴AK＝CK﹣AC＝4a﹣2a＝2a，QUOTE，∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF＝BD＝BC+CD＝3a，∴FN＝AF﹣AN＝3a﹣a＝2a，QUOTE；②由上可知，BD＝3a，QUOTE（QUOTE，QUOTE，即BG＝2DG，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，第一种情况：如图所示，过点F作QF∥BD交DG的延长线于Q，连接BQ，过点D作DP∥BQ交QF的延长线于P，则四边形BDPQ为以BD为边的“垂k平行四边形”，过点F作FT≌DQ，交▱BDPQ的一边于点T，将△PFT沿FT翻折得到△P′FT，连接P′D，PQ，过点P作PM⊥FT于点M，交QD于点N，∵FT∥DQ，PM⊥FT，∴PN⊥QD，QUOTE，∵将△PFT沿FT翻折得到△P′FT，∴点P、P′、M三点共线，∵QF∥BD，∴△GQF∽△GDB，∴QUOTE，即QUOTE，∴FQ＝2a，QUOTE，∴QUOTE由题意得，点F分线段QP为FQ，FP，因为QUOTE，∴FP＝a，∵FT∥DQ，∴△PFM∽△PQN，∴QUOTE，即QUOTE，∴QUOTEQUOTE∴QUOTE∴QUOTE；第二种情况：如图所示，过点B作BQ∥DF交DG的延长线于Q，过点Q作QP∥BD交DF的延长线于P，则四边形BDPQ为以BD为边的“垂平行四边形”，过点F作FT∥DQ，交▱BDPQ的一边于点T，将△PFT沿FT翻折得到△P′FT，连接P′D，P′Q，过点P作PM⊥FT于点M，交QD于点N，∵FT∥DQ，PM⊥FT，∴PN⊥QD，∴QUOTE，∵将△PFT沿FT翻折得到△P′FT，∴点P、P′、M三点共线，∵BQ∥DF，∴△GQB∽△GDF，∴QUOTE，即QUOTE，∴QUOTE，QGQUOTE，∴DQ＝GQ+DGQUOTE，由题意得，点F分线段PD为DF，FP，因为QUOTE，∴FPQUOTE，∵FT∥DQ，∴△PFM∽△PDN，∴QUOTE，即QUOTE，∴PMQUOTE，∴P'MQUOTE，∴P′N＝PN﹣PM﹣P'MQUOTE，∴QUOTE，综上所述，QUOTE．【点评】本题考查了图形的变换一旋转、图形的变换一对称、平行四边形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、三角函数等知识点，熟练掌握以上知识点，具备一定的画图能力，会用分类讨论的思想是解题的关键．六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）25．【考点】四边形综合题【分析】（1）过点P作PH⊥BD，通过条件证明△HPE≌△ICP，就可以得出结论EP＝CP，EP⊥CP；（2）作PH⊥BC于H，根据平行线等分线段定理就可以得出EH＝CH，再根据中垂线的性质就可以得出EP＝EC，（3）延长FE交DC延长线于M，连MP，最后通过证明三角形全等就可以得出结论EP⊥CP．解：（1）EP＝CP，且EP⊥CP．证明：过PH⊥AB于点H，延长HP交CD于点I，作PK⊥AD于点K．则四边形PIDK是正方形，四边形AKPH是矩形，∴AK＝HP，KD＝DI＝PI＝AH，∵AD＝CD，∴IC＝HP，∵AD∥PH∥EF，P是DF的中点，∴HA＝HE，∴HE＝PI，在Rt△HPE和Rt△ICP中，QUOTE，∴Rt△HPE≌Rt△ICP（SAS），∴EP＝CP，∠HPE＝∠PCI，∠HEP＝∠CPI，∴∠HPE+∠CPI＝90°，∴∠EPC＝90°，∴EP⊥CP；（2）成立．证明：图2中，作PH⊥BC，则EF∥PH∥CD，又∵P是DF的中点，∴EH＝CH，则PH是EC的中垂线，∴PE＝CP，∵EF＝EB，BC＝CD∴EF+CD＝EC，∵P是DF的中点，EH＝CH，则QUOTE，∴QUOTE，∴△EPC是等腰直角三角形，∴EP＝CP，且EP⊥CP；（3）图3中，延长FE交DC延长线于M，连MP．∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，∠EMC＝90°，由图（2）可知，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠EBF＝45°，又∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形∴BE＝EF，∠F＝45°．∴EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FP＝DP∴QUOTE．∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD．∵EF＝CM，∴EF+EM＝CM+DC，即FM＝DM，又∵FP＝DP，QUOTE，∴∠F＝∠PMC．在△PFE和△PMC中，QUOTE，∴△PFE≌△PMC（SAS）．∴EP＝CP，∠FPE＝∠MPC．∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FP＝DP，∴MP⊥FD，∴∠FPE+∠EPM＝90°，∴∠MPC+∠EPM＝90°，即∠EPC＝90°，∴EP⊥CP．【点评】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大．26．【考点】二次函数综合题【分析】（1）设该抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣4