【备考2026】山西省中考模拟数学试卷1（含解析）

【备考2026】山西省中考模拟数学试卷1姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）有理数0，﹣8，﹣4，1中，最小的有理数是（）A．0 B．﹣8 C．﹣4 D．12．（3分）下列属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列式子运算正确的是（）A．2x+3x＝5x2 B．﹣（x+2）2＝﹣x2﹣2 C．（3x3）2＝3x6 D．x2•x3＝x54．（3分）如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（）A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边5．（3分）已知不等式组的解集是x＞﹣2，则m的取值范围为（）A．m＞﹣4 B．m≥2 C．m≤﹣2 D．m≤﹣46．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，点E是AB的中点，连结OE．若∠AOE＝88°，则∠ACB的度数为（）A．88° B．87° C．86° D．85°7．（3分）阳高杏脯以阳高县高山区所产的杏为原料，肉质细腻，酸甜可口．若每包阳高杏脯的标准质量为200g，超出标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，则下面四个包装中最接近标准质量的是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝3∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（）A．30° B．20° C．15° D．10°9．（3分）小明在课余时间，找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片到光斑的距离，得到一组数据，并借助计算机绘制了镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的图象如图，下列结论正确的是（）A．y与x的关系式为 B．当x＝0.1时，y＝100 C．镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小 D．平光镜（近视度数为0）的镜片到光斑距离为0米10．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝6，过点C向AB作垂线交AB于点D，以BD为直径作圆，圆心为O，BC与圆O交于点E．则图中阴影部分的面积可表示为（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）因式分解：x（x﹣2）+1＝．12．（3分）第19届杭州亚运会的吉祥物分别是琮琮、宸宸、莲莲．某商店第一天售出m件吉祥物公仔，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则第二天的销售量是件．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O旋转，若点B落在y轴上，则旋转后点A的对应点A′坐标．14．（3分）从3名男生和4名女生中随机抽取2024年校运动会志愿者，若抽取1名，则恰好是男生的概率是．15．（3分）如图，DE∥BC，∠DAC＝110°，∠C＝50°，则∠D＝．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（10分）对有理数x、y，定义新运算x⊗y＝ax+by+5，其中a，b为常数，已知1⊗2＝10，（﹣2）⊗2＝7．（1）求a，b的值；（2）如果x＝﹣3，x⊗y＝﹣18，求y的值．17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数的图象于点C（3，a）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．求△DPQ面积的最大值，并求出此时n的取值．18．（8分）为提高学生的音乐素养，培养学生的音乐兴趣，某校举行了一次“听音辨曲”活动．随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩从高到低分为A（优秀），B（良好），C（合格），D（不合格）四个等级，制作了如下的统计图（扇形统计图中，等级“C”所对应的扇形的圆心角为90度，部分信息不完整）：根据上述统计图，完成以下问题：（1）这次共抽取了名学生；扇形统计图中，等级“D”所对应的扇形的圆心角是度．（2）请把条形统计图补充完整．（3）已知该校共有1800名学生参加测试，请你估算该校获得等级“A”的学生人数．19．（7分）甲制作90个零件所用的时间和乙制作120个零件所用的时间相同．已知两人1h共制作35个零件，求甲、乙1h各制作多少个零件．20．（8分）如图是某海岛的一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度AB）．（结果保留整数）（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.86，tan30.96°≈0.60）21．（9分）（1）如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是菱形，点G、E分别在线段AD、CD上，则AG与CE的数量关系为：；（2）若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，求证：AG＝CE；（3）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，点F在线段AD上，延长CE交AG于H，交AD于M．①求证：AG⊥CH；②当AD＝8，DG＝2时，求CH的长．22．（13分）某商场销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x（x≥50）元．（1）若按每件55元销售，每周销量为件；毛利润为元．（2）求出一周销售量y（件）与x（元）的函数关系式和自变量x的取值范围．（3）设一周销售获得毛利润w元，写出w与x的函数关系式，并确定当x在什么取值范围内变化时，毛利润w随x的增大而增大．23．（13分）已知△ABC与△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n．（1）当n＝60°时，①如图1，当点D在AC上时，BE与AD的数量关系是；②如图2，当点D不在AC上时，BE与AD的数量关系是．（2）如图3（点B位于△CDE的内部）．当n＝90°时，①探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；②当AD∥BC，，AD＝7时．请直接写出CE的长．

参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【考点】有理数大小比较【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．解：∵﹣8＜﹣4＜0＜1，∴最小的数是：﹣8．故选：B．【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．2．【考点】中心对称图形【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．故选：D．【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方【分析】利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．解：2x+3x＝5x，则A不符合题意，﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣4，则B不符合题意，（3x3）2＝9x6，则C不符合题意，x2•x3＝x5，则D符合题意，故选：D．【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4．【考点】全等三角形的应用【分析】已知两边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．解：在△OAB与△OCD中，，∴△OAB≌△ODC（SAS）．故选：A．【点评】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法是解决问题的关键．5．【考点】解一元一次不等式组【分析】根据不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），即可求解．解：∵不等式组的解集是x＞﹣2，∴m+2≤﹣2，解得：m≤﹣4，故选：D．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．6．【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理【分析】根据平行四边形的性质求出OA＝OC，再根据三角形中位线的判定与性质、平行线的性质求解即可．解：∵▱ABCD的对角线相交于点O，∴OA＝OC，∵点E是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥BC，∴∠ACB＝∠AOE＝88°，故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．7．【考点】正数和负数；绝对值；有理数大小比较【分析】根据题意比较四个数的绝对值的大小即可得到答案．解：由题意可得，|+2.3|＝2.3，|﹣1.9|＝1.9，|+0.8|＝0.8，|﹣1.2|＝1.2，∴2.3＞1.9＞1.2＞0.8，∴0.8绝对值为最小最接近标注，∴C选项符合题意，故选：C．【点评】本题考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．8．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】根据同弧所对圆心角是它所对圆周角的一半得∠AOB＝2∠ACB＝120°，进而得∠BOC＝40°，再根据同弧所对圆心角是它所对圆周角的一半即可得出∠BAC的度数．解：∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵∠AOB＝3∠BOC，∴∠BOC∠AOB＝40°，∴∠BAC∠BOC＝20°．故选：B．【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握“同弧所对圆心角是它所对圆周角的一半”是解决问题的关键．9．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的应用；反比例函数的性质【分析】利用待定系数法求得解析式即可判断A；把x＝0.1代入解析式即可判断B；根据图象即可判断C；由反比例函数的解析式即可判断D．解：由图象可知镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）是反比例函数关系，故设y（k≠0），∵点P在函数y（k≠0）的图象上，∴k＝0.25×400＝100，∴y与x的关系式为y，故A错误，不合题意；当x＝0.1时，y1000，故B错误，不合题意；由图象可知，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小，故C正确，符合题意；由y（k≠0）可知，x和y都不能为0，故D错误，不合题意．故选：C．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．10．【考点】扇形面积的计算；等腰直角三角形；圆周角定理【分析】先根据ABC是等腰直角三角形得到ABBC＝6，进而得到OD＝OB，利用圆周角定理得到∠BED＝90°，△BDE是等腰直角三角形，利用等腰三角形三线合一的性质得到EO⊥BD，即∠EOD＝90°，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形DOE﹣S△BOE进行计算即可．解：连接DE、OE，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∴AB＝6，∠A＝∠ABC＝45°，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝3，∴OD＝OB，∵BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，∵OD＝OB，∴EO⊥BD，∴∠EOD＝90°，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形DOE﹣S△BOE．故选：A．【点评】本题考查了扇形面积的计算，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，等腰三角形三线合一的性质，求得⊙O的半径以及∠EOD＝90°是解题的关键．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．【考点】因式分解﹣运用公式法【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可．解：x（x﹣2）+1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．【点评】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．12．【考点】列代数式【分析】根据第二天的销量与第一天销量之间的关系即可解决问题．解：由题知，因为第二天的销售量比第一天的两倍少3件，且第一天的销量为m件，所以第二天的销量为（2m﹣3）件．故答案为：（2m﹣3）．【点评】本题考查列代数式，熟知题中的数量关系是解题的关键．13．【考点】坐标与图形变化﹣旋转【分析】当点B落在y轴正半轴上时，过点A作AD⊥OB于点D，根据题意可得OD＝BD，解直角三角形求得AD，OD，进而可得点A的对应点A'的坐标．同理可得点B落在y轴负半轴上的答案解：当点B落在y轴正半轴上时，如图，过点A作AD⊥OB于点D，∵∠AOB＝∠B＝30°，∴AB＝OA，∴OD＝BD，∵OA＝2，∴AD，OD，将△AOB绕点O旋转，若点B落在y轴上，在点D的对应点D′在y轴上，∴A′D′⊥y轴，∴A′坐标为：（1，）．同理，当点B落在y轴负半轴时，A″的坐标为（﹣1，），故答案为：（1，）或（﹣1，）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．14．【考点】概率公式【分析】先求出总人数，再根据概率公式求解即可．解：∵总人数＝3+4＝7（名），其中男生有3名，∴抽取1名，则恰好是1名男生的概率是．故答案为：．【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．15．【考点】平行线的性质【分析】由平角的定义求出∠CAE，根据平行线的性质即可求出∠C．解：∵∠DAC＝110°，∠C＝50°，∴∠B＝∠DAC﹣∠C＝110°﹣50°＝60°，∵DE∥BC，∴∠D+∠B＝180°，∴∠D＝120°故答案为：120°．【点评】本题主要考查了平行线的性质和平角的定义，熟记两直线平行内错角相等是解决问题的关键．三．解答题（共8小题，满分75分）16．【考点】有理数的混合运算；解二元一次方程组【分析】（1）根据定义的新运算列得二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据题意列得方程，解方程即可．解：（1）由题意得，解得：a＝1，b＝2；（2）由（1）得x⊗y＝x+2y+5，∵x＝﹣3，x⊗y＝﹣18，∴﹣3+2y+5＝﹣18，解得：y＝﹣10．【点评】本题考查有理数的混合运算，解二元一次方程组，结合已知条件列得正确的方程及方程组是解题的关键．17．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）通过待定系数法求一次函数解析式，然后求出点C坐标，进而求出反比例函数解析式．（2）由点P横坐标为nPQ∥y轴，可用含n代数式表示出P，Q的解析式，通过S△DOQPQ•xP求解．解：（1）将A（0，﹣4）、B（2，0）代入y＝kx+b得，，解得，∴一次函数解析式为y＝2x﹣4．将（3，a）代入y＝2x﹣4得a＝2，∴点C坐标为（3，2），∵点C在反比例函数图象上，∴2，∴m＝6，∴反比例函数解析式为y．（2）∵点P横坐标为n，PQ∥y轴，∴点P坐标为（n，），点Q坐标为（n，2n﹣4），∴PQ（2n﹣4）＝﹣2n4，∴S△DOQPQ•xP（﹣2n4）n＝﹣n2+3+2n＝﹣（n﹣1）2+4，∴当n＝1时，△DPQ面积的最大值为4．【点评】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握配方法求函数最值．18．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图【分析】（1）根据等级C的人数和所对应的圆心角，可以计算出本次调查的人数，根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中等级“D”所对应的圆心角的度数；（2）再根据条形统计图可以计算出等级B的人数，然后即可将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的信息，可以计算出获得“A”等级的学生人数．解：（1）本次所抽取的人数为：50200（名），360°45°，∴扇形统计图中等级“D”所对应的圆心角的度数是45°，故答案为：200；45；（2）B等级的人数为：200﹣40﹣50﹣25＝85，补全的条形统计图如图所示：（3）1800360（人），答：获得“A”等级的学生有360人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意．利用数形结合的思想解答．19．【考点】分式方程的应用【分析】设甲1h制作x个零件，则乙1h制作（35﹣x）个零件，根据甲制作90个零件所用的时间和乙制作120个零件所用的时间相同，列出分式方程，解方程即可．解：设甲1h制作x个零件，则乙1h制作（35﹣x）个零件，由题意得：，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴35﹣x＝20，答：甲1h制作15个零件，乙1h制作20个零件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题【分析】根据已知可设AB＝5x米，则BC＝6x米，从而可得DB＝（140+6x）米，然后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．解：∵斜坡AC的坡度i，∴，∴设AB＝5x米，则BC＝6x米，∵DC＝140米，∴DB＝DC+BC＝（140+6x）米，在Rt△ADB中，∠ADB＝30.96°，∴tan30.96°0.60，解得：x＝60，经检验：x＝60是原方程的根，∴AB＝5x＝300（米），∴该岛礁的高约为300米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．21．【考点】四边形综合题【分析】（1）由菱形的性质得AD＝CD，GD＝ED，则AD﹣GD＝CD﹣ED，所以AG＝CE，于是得到问题的答案；（2）由正方形的性质得AD＝CD，GD＝ED，∠GDE＝∠ADC＝90°，可推导出∠ADG＝∠CDE，即可证明△ADG≌△CDE，则AG＝CE；（3）①由△ADG≌△CDE，得∠DAB＝∠DCE，而∠AMH＝∠CMD，则∠AMH+∠DAH＝∠CMD+∠DCE＝90°，即可证明AG⊥CH；②连接EG交AD于点I，连接AE，则GE⊥DF，由∠EGD＝90°，FG＝DG＝2，根据勾股定理求得GE＝DF＝4，则IGGE＝2，IDDF＝2，所以AI＝6，根据勾股定理求得AG＝2，则AG＝CE＝2，由2EH4×6＝S△AEG，得EH，则CH＝CE+EH．（1）解：如图1，∵四边形ABCD、四边形GFED都是菱形，∴AD＝CD，GD＝ED，∴AD﹣GD＝CD﹣ED，∵点G、E分别在线段AD、CD上，∴AD﹣GD＝AG，CD﹣ED＝CE，∴AG＝CE，故答案为：AG＝CE．（2）证明：如图2，∵四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE＝90°﹣∠ADE，在△ADG和△CDE中，，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE．（3）解：①证明：如图3，由（2）得△ADG≌△CDE，∴∠DAB＝∠DCE，∵∠AMH＝∠CMD，∴∠AMH+∠DAH＝∠CMD+∠DCE＝90°，∴∠AHM＝90°，∴AG⊥CH．②如图3，连接EG交AD于点I，连接AE，则GE⊥DF，∵∠EGD＝90°，FG＝DG＝2，∴GE＝DF4，∴IGGE＝2，IDDF＝2，∵AD＝8，∴AI＝AD﹣ID＝8﹣2＝6，∵∠AMG＝90°，∴AG2，∴AG＝CE＝2，∵AG•EHGE•AI＝S△AEG，∴2EH4×6，∴EH，∴CH＝CE+EH＝2，∴CH的长是．【点评】此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．22．【考点】二次函数的应用【分析】（1）由“若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件”知，按每件55元销售，每周销量为500﹣（55﹣50）×10（件），利润＝销售数量×（售价﹣成本）；（2）直接根据“如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件”即可求解；（3）利用“利润＝销售数量×（售价﹣成本）”可得w关于x的二次函数，于是利用二次函数的性质求解即可．解：（1）由题意得，若按每件55元销售，每周销量为500﹣（55﹣50）×10＝450（件），毛利润为（55﹣40