算法设计与分析课件 51 最大流最小割_第1页
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算法设计与分析本节要点CONTENTS最大流最小割最大流最小割最大流最小割定理：任何网络中最大流的流量都等于最小割的容量。割指对网络中节点的划分，它把网络中的所有节点都划分成S和T两个集合，源点s∈S，汇点t∈T，记为CUT(S,T)，就像通过一条切割线把网络中的节点切割成S和T两部分，S={s,v1,v2}，T={v3,v4,t}。最大流最小割割的净流量f(S,T)：指切割线切中的边中，从S到T的边的流量减去从T到S的边的流量。图中从S到T的边v1-v3和边v2-v4的流量为3、5，从T到S的边v3-v2的流量为1。割的净流量f(S,T)=3+5-1=7。割的容量c(S,T)：指切割线切中的边中，从S到T的边的容量之和。最小割指容量最小的割。图中从S到T的边v1-v3和边v2-v4的流量为8、13。割的容量c(S,T)=8+13=21。注意：计算割的容量时不计算从T到S的边的容量。最大流最小割引理1：若f是网络G中的一个流，CUT(S,T)是网络G中的任意一个割，则f的流值等于割的净流量f(S,T)。

图(a)中割的净流量f(S,T)=3+4=7，图(b)中割的净流量f(S,T)=4+1+6-4-0=7。画出任意一个割，会发现所有割的净流量f(S,T)都等于流量f的值。最大流最小割推论1：若f是网络G中的一个流，CUT(S,T)是网络G中的任意一个割，则f的流值不超过割的容量c(S,T)。所有流的值都小于或等于割的容量，把流的值和割的容量用图表示出来。最大流最小割定理：若f是网络G中的最大流，CUT(S,T)是G中的最小割，则最大流f的值等于最小割的容量c(S,T)。最大流最小割若用Dinic算法求解最大流，则可以直接根据最后一次分层进行判断，层次为真的节点属于集合S，其他节点属于集合T。若采用EK或ISAP算法求解最大流，则需要从源点出发，沿着cap>flow的边进

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