高等数学（上册）

高等数学（上册）（慕课版）习题课第1章函数、极限与连续习题课22

1例计算．．

解33

2例习题课．计算

解．44

3例又当n>1时，习题课设，，证明因而数列有界.由知，均为正数，故由数学归纳法知，对任意正整数均有，n>1

解的极限存在，并求此极限.数列55习题课因而有(n>1)，即数列单调增加.数列必有极限知存在.设，在两边取极限，得，解之得，（舍去），故．．由单调有界566

4例利用三角函数的和、差化积公式习题课计算．当时，，，

解77习题课根据有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小，所以．．8

5例习题课设

，，，证明：由于，所以，有，又，所以由夹逼准则得

证明99

6例习题课求．令，则当时，，，，

解1010习题课所以由夹逼准则知，即.．11

7例设函数问函数在x=1处是，否连续？若不连续，修改函数在x=1处的定义，习题课使之连续.因为

解12习题课，即为连续函数.所以函数在x=1处不连续，x=1是的可去间断点.将函数在x=1处的函数值改为，则该函数13

8例习题课设在[0,1]上连续，且，证明：（1）存在，使；（2）存对任何正整数n，存在，使.（1）设，，故.

证明则，14习题课另一方面，.使得.（2）设，则，，，…，.由介值定理知，存在，15即习题课以上诸式相加得，，由闭区间上连续函数的介值定理，存在，使，，即.而另一方面学海无涯，祝你成功！高等数学（上册）（慕课版）本章导学高等数学（上册）（慕课版）第1章函数、极限与连续高等数学的主要研究对象是函数，又以研究连续函数为主，而极限是研究函数的重要方法，也是微积分学中研究问题的基本工所以我们将对函数的概念进行复习和补充，学习极限的理论，讨论如何利用极限思想研究函数，讨论函数的连续性，本章将为我们学习高等数学奠定坚实的基础.本章主要内容包括：函数的概念与性质、基本初等函数与初等函数极限的概念与性质、极限的四则运算法则、极限的收敛法则、两个重要极限、无穷小量与无穷大量、函数的连续性第一章函数、极限与连续具.18导学内容01函数极限02连续03一、函数理论基础集合与映射函数的概念常见分段函数函数的特性图形要熟练函数的运算结合图形掌握特性基本初等函数四则运算复合运算初等函数一次表达式有限次20函数极限连续030201导学内容中国古代极限思想战国时期三国时期一尺之棰，日取其半，割之弥细，所失弥少，割之《庄子·天下篇》刘徽“割圆术”万世不竭.又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.二、极限22割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽返回二、极限23特殊到一般自变量变化趋势充要条件充要条件关系存在准则复合函数极限法则利用连续性求极限重要极限连续性数列极限性质函数极限概念极限极限的计算方法无穷小与无穷大无穷大极限定义四则运算性质比较性质无穷小单侧极限概念二、极限24函数极限连续010302导学内容三、连续连续性间断点某点连续性区间连续性间断点分类连续性的运算初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质等价定义第一类第二类可去间断点跳跃间断点最值定理有界性定理介值定理零点定理对立关系拓展26学海无涯，祝你成功！高等数学（上册）（慕课版）本章小结高等数学（上册）（慕课版）第1章函数、极限与连续01知识点归纳教学要求和学习建议02本章小结

一、知识点归纳研究对象研究工具函数、极限与连续函数极限连续函数三要素求函数表达式函数的特性初等函数极限的概念无穷小与无穷大极限的计算方式极限存在的充要条件极限的四则运算极限的收敛准则两个重要极限无穷小的性质复合函数的极限运算法则利用初等函数连续性求极限等价无穷小替换定理间断点及其分类连续的性质连续的概念303001知识点归纳教学要求和学习建议02本章小结二、教学要求和学习建议理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．

掌握极限的性质及四则运算法则．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）32研究对象研究工具二、教学要求和学习建议理解并掌握熟练掌握函数的概念与性质理解概念熟练掌握极限的计算方法理解概念会判别间断点类型会用连续的性质函数、极限与连续函数极限连续函数三要素求函数表达式函数的特性初等函数极限的概念无穷大与无穷小极限的计算方法连续的概念间断点及其分类连续的性质极限存在的充要条件极限四则运算法则极限的收敛准则两个重要极限复合函数的极限运算法则无穷小的性质等价无穷小替换定理利用初等函数连续性求极限33学海无涯，祝你成功！高等数学（上册）（慕课版）第1讲函数高等数学（上册）（慕课版）第1章函数、极限与连续本讲内容01函数的性质及四则运算03预备知识反函数04复合函数05初等函数06建立函数关系举例07函数的概念02

一、预备知识定义1.11.集合

37

或.一、预备知识

38

a一、预备知识2.区间Obx）（a

39一、预备知识40Oabx）（b

一、预备知识

41OOabxabx）（c（）d

一、预备知识

42

一、预备知识3.邻域

43

Ox0−δx0+δx0x一、预备知识4.映射44

定义1.1

一、预备知识

45

一、预备知识5.逆映射与复合映射46的，适合，于是，我们可定义一个从到的新映射g

，即对每个规定，其中x满足，这个映射g称为f的逆映射，记作，其定义域，值域.则由定义，对每个

有唯一设

是

到

的单射，一、预备知识47则由映射g和f可以定出一个从

到

的对应法则，其中，它将每个映射成.显然，这个对应法则确定了一个从到的映射，和f构成的复合映射

,即这个映射称为映射g记作，

02函数的性质及四则运算03预备知识反函数04复合函数05初等函数06建立函数关系举例07函数的概念01本讲内容二、函数的概念1.函数的概念定义1.349设

是一个给定的非空数集.若对任意的

，按照对应法则，则总有唯一确定的数值

与之对应，称是的函数，记为数集称为的定义域，为自变量，为因变量，函数值的全体称为函数的值域.二、函数的概念50确定函数的定义域.

由题意得

且，也就是

且，

解，且即，因此故函数的定义域为1例二、函数的概念51即求函数的定义域.所以所求定义域为.2例

解二、函数的概念52求函数.

的值域.这是一个分段函数，当时，当时，因为

所以

故函数的值域为

解3例二、函数的概念53

二、函数的概念2.常见分段函数54

(1)绝对值函数(2)符号函数Oxy=|x|yOxy=sgnxy1-11-1二、函数的概念55(4)狄利克雷函数(3)取整函数y=[x]y321-1-2-3xO-1123-2-303函数的性质及四则运算反函数04复合函数05初等函数06建立函数关系举例07预备知识01函数的概念02本讲内容三、函数的性质及四则运算1.函数的有界性57其定义域为均有成立，（2）如果存在常数B，成立，（3）如果存在一个正常数M，（1）如果存在常数，均有使得对任意，成立，则称函数在D上是有界的；否则称函数在D上是无界的.设函数

，使得对任意

，则称函数

在D上有上界；则称函数

在D上有下界；使得对任意

，三、函数的性质及四则运算58

baOxMy−My=f(x)三、函数的性质及四则运算2.函数的单调性59当x1＜x2时，

有，如果函数对区间内的任意两点x1和x2，yxOaby=f(x)x1y1=f(x1

)x2y2=f(x2

)三、函数的性质及四则运算60当x1＜x2时，

有，yxOx1x2aby=f(x)y=f(x1)y=f(x2)三、函数的性质及四则运算3.函数的奇偶性61设函数的定义域D关于原点对称，对于任意(1)若恒成立，则称函数为偶函数；xyO−xxy=f(x)P'(−x,f(x))P

(−x,f(x))三、函数的性质及四则运算62则称为非奇如果函数既不是奇函数也不是偶函数，非偶函数.(2)若恒成立，则称函数为奇函数；x−xxyOy=f(x)Q'

(−x,−f(x))Q(x,f(x))三、函数的性质及四则运算(1).

(2).

则，

所以为奇函数.

(1)令，，定义域为R63判断下列函数的奇偶性.

解4例三、函数的性质及四则运算64(1).

(2).

，（2）令则所以为奇函数.

，定义域为R判断下列函数的奇偶性.

解5例，三、函数的性质及四则运算4.函数的周期性65设函数，，如果存在常数，对任意，有，且恒成立，则称函数为周期函数，T称为的一个周期.三、函数的性质及四则运算66下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期.

(1).

(2).

(1)因为，所以该函数是周期函数，且周期为.

(2)因为，所以该函数是周期函数，且周期为.

解6例三、函数的性质及四则运算5.函数的四则运算67设函数的定义域依次为

且04反函数复合函数05初等函数06建立函数关系举例07预备知识01函数的概念02函数的性质及四则运算03本讲内容四、反函数定义1.469

这时x是以W为定义域的y的函数，记作习惯上，写为若对于任意一个中都有唯一确定的x与之对应，称它为的反函数，四、反函数定理1.1单调函数必有反函数，且单调增加(减少)的函数的反函数也是单调增加(减少)的.70xyO112,[0,)yxx=∈+,[0,)yxx=∈+四、反函数71求函数的反函数.

设，

从而，，.

，则，所以，即，所求反函数为因此

解7例05复合函数初等函数06建立函数关系举例07预备知识01函数的概念02函数的性质及四则运算03反函数04本讲内容五、复合函数定义1.573DxguRgDffy设有函数链则称为由式(1.1),(1.2)确定的复合函数，u称为中间变量，复合过程如图所示五、复合函数74设

求.当即时，即

解当，即时，8例06初等函数建立函数关系举例07预备知识01函数的概念02函数的性质及四则运算03反函数04复合函数05本讲内容幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数．由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成的并能用一个式子表示的函数，称为初等函数．六、初等函数1.基本初等函数2.初等函数76函数名称函数的表达式函数的图形函数的性质双曲正弦定义域;奇函数；单调增加.双曲余弦定义域;偶函数；图像过点(0,1).双曲正切定义域;奇函数；图像夹在水平直线及；在其定义域内单调增加.六、初等函数3.双曲函数与反双曲函数7707建立函数关系举例预备知识01函数的概念02函数的性质及四则运算03反函数04复合函数05初等函数06本讲内容用水量不超出10立方的部分超出10立方的部分收费（元/立方）1.302.00污水处理费（元/立方）0.300.80七、建立函数关系举例79

9例七、建立函数关系举例80

解即学海无涯，祝你成功！高等数学（上册）（慕课版）第2讲极限的概念与性质高等数学（上册）（慕课版）第1章函数、极限与连续01数列极限的概念数列极限的性质02函数极限的概念03函数极限的性质04本讲内容一、数列极限的概念84按照一定顺序排列的数称为数列。记为，其中称为数列的第项或通项，称为项的序号.一、数列极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”——刘徽85一、数列极限的概念86对于数列，当无限增大时，若无限趋近数列收敛于），极限不存在（或称数列是发散的）..于一个确定的常数，则称为数列的极限（或称记作此时，也称数列的极限存在；否则，称数列的定义1.6或.一、数列极限的概念87

的极限（或称数列收敛于

），（定义）定义1.6数学符号“”表示“任意”，注设为一数列，是常数，如果对，，使对于满足的一切，总有成立，“”表示“存在”.则称为数列记作2εa-ε一、数列极限的概念88数列极限几何解释如图1.19、图1.20所示，只有有限个（之多只有N个）落在其外.x2xaxN+1a+εx3xN+2x1任意给定当时，所有的点xn都落在内，正数，图1.19一、数列极限的概念89N-1n1O234a-εxnaNN+1N+2N+3N+4a+ε图1.20一、数列极限的概念注90（1）理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大、什么是无限趋近.（2）不是所有的数列都有极限﹐例如﹐数列的极限不存在.（3）研究一个数列的极限﹐关注的是数列后面无限项的问题﹐改变该数列前面任何有限多个项﹐都不能改改变这个数列的极限.（4）

“无限趋近于”是指数列后面的任意项与的距离无限接近零.，故一、数列极限的概念91

证明已知，则当，即，只要，

证明数列的极限为1.对，欲使，因此，取，就有1例一、数列极限的概念92已知，证明.就有.对，只要，即.则当时，欲使，取，故证明

2例93一、数列极限的概念设，对，由于，所以要使，即，解得，则当时，就有，当时显然成立.设，证明：.故取得，

3例证明一、数列极限的概念94

解计算.当时，当时，当时，所以，

4例故；，；，.01数列极限的概念数列极限的性质函数极限的概念03函数极限的性质0402本讲内容二、数列极限的性质96定理1.2（极限唯一性）收敛数列的极限是唯一的.即若数列

收敛，且

和

，则.定理1.3（有界性）即若数列收敛，则存在常数，使（）.收敛数列是有界的.二、数列极限的性质97若数列收敛，则存在常数，使（对）.证明设，由定义，取，则，使当时，即有.记，都有成立，

5例恒有成立，则对一切自然数n，故有界.二、数列极限的性质注9801定理1.3中的

显然不是唯一的，重要的是它的存在性；02有界性是数列收敛的必要条件，例如，数列有界但不收敛；03无界数列必定发散.二、数列极限的性质推论1推论299定理1.4（保序性）若，，且，时，有.（或）.若，使当时，（或），（保号性）若（或），时，（或）.则，使当则则，使当二、数列极限的性质100若数列收敛于，则其任意子数列也收敛于.注定理1.5的逆否命题常用来证明数列

发散﹐常见形式如下：（1）若数列

有两个子数列分别收敛于不同的极限值﹐则数列发散;（2）若数列有一个发散的子数列﹐则数列发散.(收敛数列与子数列的关系)定理1.5二、数列极限的性质101证明：数列发散.

因为，，所以数列发散.

6例证明0301数列极限的概念数列极限的性质函数极限的概念函数极限的性质0402本讲内容总存在正满足不等式记作如果存在常三、函数极限的概念1.自变量趋于无穷大时函数的极限定义1.9（定义）103或.数，对应的函数值都使当满足不等式时，设函数在大于某一正数时有定义，数，对于任意给定的正数（无论它多么小)，则称常数

为时函数的极限.104三、函数极限的概念极限的集合解释如图所示，任意给定正数ε，做直线y=A+ε与y=A-ε，总能找到一个X>0，函数

的图像全部都在这两条直线之间.yAA-εOxx-xA+ε三、函数极限的概念定理1.6105极限存在的充分必要条件时与都存在且相等，即三、函数极限的概念106考察极限与是否存在？

，，

所以不存在；

同理，因为，，

，

因为不存在．所以

解

7例如果存三、函数极限的概念2.自变量趋于有限值时函数的极限107定义1.11（定义）时的极限设函数在点的某一去心领域内有定义，在常数，对于任意给定的正数（不论它有多小），使当满足不等式时，函数值都满足不等式，

时的极限，或.总存在正数，对应的则称为当记作108三、函数极限的概念极限的几何解释如图所示，正数𝜀，的图像全部落在这两条直线之间.

，使当时，A+εAA-εxOyx0-δx0x0+δ任意给定

函数三、函数极限的概念109判断极限是否存在.设，则当时，无定义.当时，

解

8例三、函数极限的概念定义1.12（定义）110设函数在的左领域有定义，对于任意给定的正数（不论它有多小），使当满足不等式时，

则.如果存在常数，总存在正数，有，三、函数极限的概念111定义1.12（定义）满足不等式时，设函数在的右领域有定义，则.对于任意给定的正数（不论它有多小），如果存在常数，总存在正数，有，三、函数极限的概念定理1.7112极限存在且等于的充分必要条件是左极限

与右极限都存在且等于，即三、函数极限的概念113所以；所以不存在.当时，求函数和的左、右极限，并说明他们在时的极限是否存在.

解

9例三、函数极限的概念114求函数

当

时的左、右并说明

时函数极限是否存在.由于

所以

不存在.

解

10例极限，040301数列极限的概念数列极限的性质函数极限的概念函数极限的性质02本讲内容四、函数极限的性质若极限存在，则极限是唯一的.116定理1.8（唯一性）定理1.9（局部有界性）若存在，则在某去心邻域内有界.四、函数极限的性质117证明：不存在.

取，，

则

再取，，

则

所以不存在.

11例证明四、函数极限的性质从而得.118任意，有定理1.9（局部有界性）若存在，则在某去心邻域内有界.则存在，使对设，取，成立，这就证明了在内有界.证明四、函数极限的性质（或）.119定理1.10（局部保序性）设与都存在，且在某去心邻域内

，则.

推论（局部保号性）若，则对一切，有四、函数极限的性质120定理1.11（海涅定理）设函数在点的某一去心邻域内有定义，

，都有成立.则的充要条件使对任何收敛于的数列学海无涯，祝你成功！高等数学（上册）（慕课版）第3讲极限的运算法则高等数学（上册）（慕课版）第1章函数、极限与连续01极限的四则运算法则极限存在准则02重要极限Ⅰ03重要极限Ⅱ04本讲内容一、极限的四则运算法则1.极限的四则运算法则定理1.12124(2)存在，且有(1)存在，且有；与都存在，且如果，，；则一、极限的四则运算法则125(3)，则若存在，且有.一、极限的四则运算法则126推论设存在，且..(1)若存在，且有是常数，则(2)为正整数，则若存在，且有；一、极限的四则运算法则127

解求

.

1例.一、极限的四则运算法则128

解求

..

2例一、极限的四则运算法则129

解将分子、分母同除以得

3例求..一、极限的四则运算法则130若，且和均为正整数，，函数相除的极限为则两个多项式一、极限的四则运算法则131，因为极限存在且为0，所以必有的值，使试求常数与.

解由题意可知，必有，进行分子有理化得即.，

4例一、极限的四则运算法则（复合函数的极限运算法则）定理1.13132.，且在点，的某去心领域内和，则由复合而成的函数的极限存在，且一、极限的四则运算法则133求极限.

所以.

时，则，

作代换，

解

5例0201极限的四则运算法则极限存在准则重要极限Ⅰ03重要极限Ⅱ04本讲内容二、极限存在准则（数列极限的夹逼准则）定理1.14135,(1)，如果数列满足条件，，，(2)则数列的极限存在,且.二、极限存在准则136定理1.15（函数极限的夹逼准则）成立；设函数在，的某去心领域，内有定义，且满足条件(或)(1)当(或)时，有(2)，，存在，且.则二、极限存在准则

解137

6例求.记，将放缩得二、极限存在准则138而，根据夹逼准则得，，即.，二、极限存在准则139单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列.定理1.16（单调有界原理）单调有界数列必有极限.定义1.13若数列满足，则称数列为单调递增数列；为单调递减数列.满足，则称数列若数列二、极限存在准则140设

(1)证明

存在；(2)求

(1)

因为

则，

且即数列是单调递减且有下界，

由单调有界原理可知存在.

7例

解又因为，

，

二、极限存在准则141

(2)

设因为

由数列极限的保号性知

对递推公式

两端同时关于取极限,

得到

解得

所以

0201极限的四则运算法则极限存在准则重要极限Ⅰ重要极限Ⅱ0403本讲内容三、重要极限Ⅰ143重要极限Ⅰ上式可以用下面的结构式表示：.三、重要极限Ⅰ144

解求.

8例.三、重要极限Ⅰ145求

解

9例三、重要极限Ⅰ

10例

解146求极限.由于极限式中有与故应分别考虑左、，右极限，记由于.三、重要极限Ⅰ147.故.0201极限的四则运算法则极限存在准则重要极限Ⅰ重要极限Ⅱ0304本讲内容重要极限Ⅱ的变形形式为四、重要极限Ⅱ149重要极限Ⅱ..或.一般地，，或者

11例

解150所以..设，求常数四、重要极限Ⅱ学海无涯，祝你成功！高等数学（上册）（慕课版）第4讲无穷小与无穷大高等数学（上册）（慕课版）第1章函数、极限与连续01无穷小无穷大02无穷小阶的比较03等价无穷小代换04本讲内容一、无穷小定义1.14注154如果,则称函数为时的无穷小.当(1)一个变量是否为无穷小,除了与变量本身有关,还与自变量的变化趋势有关;(2)无穷小不是绝对值很小的常数,而是在自变量的某种变化趋势下,函数的绝对值趋近于0的变量.常数0可以看成任何一个变化过程中的无穷小.特别的,一、无穷小定理1.17155对于自变量的其他变化过程,上述结论均成立.的充分必要条件是时的无穷小,即其中是当一、无穷小性质1.1性质1.2性质1.3推论156有限个无穷小的代数和是无穷小.有限个无穷小的乘积是无穷小.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.常数与无穷小的乘积是无穷小.一、无穷小注157无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.中每一项均为无穷小,但.01无穷小无穷大无穷小阶的比较03等价无穷小代换0402本讲内容二、无穷大定义1.15159化过程中的无穷大.的绝对值无限增大,当时,如果函数.在该定义中,将换成,

可定义不同变及,,则称当

时为无穷大,记作(4)无穷大分为正无穷大与负无穷大,分别记作

二、无穷大注160(1)无穷大是变量,它不是很大的数,不要将无穷大与(3)无穷大一定无界,但无界函数不一定是无穷大.例如,(2)无穷大是没有极限的变量,但无极限的变量不一定是无穷大.和.很大的数(如)混淆.不是无穷大.比如不存在,但时,.二、无穷大161当时,说明函数无界,但不是无穷大.

取,则故当时,不是无穷大.取,则

故当时,,因此无界.

解

1例,二、无穷大定理1.18162设函数在点的某一去心邻域内有定义,当时,(1)若是无穷大,则是无穷小;是无穷小,且(2)若,则是无穷大.例如,当时,为无穷大,则为无穷小;为无穷大.当时,为无穷小,则0301无穷小无穷大无穷小阶的比较等价无穷小代换0402本讲内容三、无穷小阶的比较定义1.16164是自变量在同一变化过程中的两个无穷小,设也是在这个变化过程中的极限.且,而(2)如果,则称β是比α低阶的无穷小.(1)如果,则称β是比α高阶的无穷小,记作;三、无穷小阶的比较165(3)如果,则称β与α是同阶无穷小.特别地,当时,称β与α是等价,即显然,等价无穷小具有自反性和传递性.(4)如果,则称β是α的k阶无记作.无穷小,穷小.三、无穷小阶的比较166证明:与是同阶无穷小.

因为

证明所以与是同阶无穷小.

2例,三、无穷小阶的比较注167是无穷小,例如,当时,由于是有界变量,

与的阶的高低.可知不存在,而故不能比较040301无穷小无穷大无穷小阶的比较等价无穷小代换02本讲内容四、等价无穷小代换定理1.19169若𝛼,𝛽是自变量同一变化过程中的无穷小,且存在,则证明四、等价无穷小代换注170(1)定理1.19说明在求极限的过程中,代换.但须注意,在加减运算中不能使用等价无穷小商中的无穷小代换,从而达到简化运算的目的.可以把积或四、等价无穷小代换171时,常用的等价无穷小有(2)当(k为非零常数).上述常用的等价无穷小中,将变量𝑥换成无穷小函数或无穷小数列结论仍成立.四、等价无穷小代换

3例

解172是等价无穷小,则当时,与由等价无穷小的定义得所以,所以应选C.四、等价无穷小代换

4例

解173由等价无穷小的定义得是等价无穷小,则𝑎的值为().当时,与所以,所以应选A.四、等价无穷小代换174设当时,是比高阶的无穷小,而是比高阶的无穷小,

求正当时,,,,由已知可得,

所以,故

解

5例的值.整数四、等价无穷小代换175

由,,其中为时的无穷小,故.

根据极限与无穷小的关系知若,则为(

).

A.

0

B.

6

C.

36

D.

6例

解四、等价无穷小代换176==

==

故应选C.

.四、等价无穷小代换177【方法归纳】解此题最易犯的错误,满足条件而使用洛必达法则(第3章将介绍

),

结果花费

了不少时间还没能得到正确的结论;其次不少人选A,

认为=

在这里,用6替换是错误的!

是否

是不考虑,四、等价无穷小代换178

.

故应填

解

7例,四、等价无穷小代换179故.

A.

0

B.

6

C.

36

D.

由,,其中为时的无穷小,根据极限与无穷小的关系知若,则为(

).

8例

解四、等价无穷小代换180==

故应选C.

.=

=.四、等价无穷小代换

解181求极限.因为

9例四、等价无穷小代换182所以.四、等价无穷小代换183

故应填.

解

.

10例.四、等价无穷小代换184

解求极限.

11例四、等价无穷小代换定理1.20185证明β与α是等价无穷小的充要条件为.设β~α,则先证必要性.因此,即.四、等价无穷小代换186再证充分性.设,则因此.学海无涯，祝你成功！高等数学（上册）（慕课版）第5讲函数的连续性高等数学（上册）（慕课版）第1章函数、极限与连续01函数连续的定义函数的间断点02连续函数的性质03闭区间上连续函数的性质04本讲内容一、函数连续的定义190连续点.定义1.17设变量从他的一个初值变到终值，终值与初值的差称为变量的增量，记为，即.定义1.18设函数在点的某邻域内有定义，如果当自变量有增量时,函数有相应的增量，若则称函数在点处连续,

,为的一、函数连续的定义定义1.19191（1）设函数在点的某邻域内有定义，则称函数在点处连续；（2）设函数在点的某邻域内有定义，任意正数,总存在正数,使当满足不等式

时，则称函数在点处连续.若如果对于成立，有一、函数连续的定义192从上述定义可以看出，函数在点处连续必须满足三个条件：01

在点处有定义；02

在点处极限存在，即（常数）；03

在点处极限值等于函数值，即.一、函数连续的定义193证明：函数在任意点处都是连续的.

设自变量在处的增量为,则函数的相应

由于

即

当时,由夹逼准则知,，

从而

所以函数在任意点处都是连续的.

证明增量为所以

1例

证明一、函数连续的定义194试证函数

在处连续.

根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，

得，

所以函数在处连续.

2例

证明一、函数连续的定义195若在点连续，

且对任意的，

都成立，

试证为上的连续函数.

由题设知，

对任意的，

有,所以.又因为在点连续，

即，

从而对任意的，有

.

3例

证明一、函数连续的定义196若在点连续，

且对任意的，

都成立，试证为上的连续函数.

由连续函数的定义知在处连续，

由的任意性知在上连续.

4例

5例

解一、函数连续的定义197已知函数连续，求.且满足，由于连续，所以，又因为故注一、函数连续的定义198在右端点处如果函数在开区间内每一点都连续，则称在内连续；如果函数在开区间内每一点都连续，且在左端点处右连续，左连续，则称在闭区间上连续，并称是的连续区间.（1）在左端点处右连续是指满足

.（2）在右端点处左连续是指满足

.定义1.20一、函数连续的定义定义1.20199函数在点处连续的充分必要条件是函数在点处既左连续又右连续.0201函数连续的定义函数的间断点连续函数的性质03闭区间上连续函数的性质04本讲内容二、函数的间断点20101处没有定义；在点定义1.21在点如果函数处不连续,则称函数处间断，点称为的间断点.显然，在点如果在点处有下列3种情形之一，则点02不存在；处极限在点03虽然有定义,存在,但.称为的间断点：二、函数的间断点202都存在的间断点为第一类间断点，它包含两种类型：可的可去间断点.第一类间断点中，若在的间断点为在点通常称的左、右极限和去间断点与条约间断点.在第一类间断点中,称存为跳跃间断点.称，则称点至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.和二、函数的间断点203且为第一类间断点中的可去间断点.

6例在讨论函数点处的连续性.当，此时时，处连续；在点

解当时，，此时在点处间断，二、函数的间断点204

是一个初等函数，除外有定义.由于

故，

从而是的第二类间断点中的无穷间断点.

求函数的间断点并判断其类型.

解

7例二、函数的间断点205求函数的间断点并判断其类型.又，故所以，

即.因此是的第一类间断点中的跳跃间断点.

7例二、函数的间断点206函数在内（）.

A.连续

B.有可去间断点

C.有跳跃间断点D.有无穷间断点

因为（），

在处无定义,但，所以是的可去间断点，故应选B.

8例

解二、函数的间断点207

函数的无穷间断点的个数为（）

.

A.0

B.1

C.2

D.3

显然的间断点为.而，但，，

所以为第一类间断点.

解

9例二、函数的间断点208

A.0

B.1

C.2

D.3

又,所以也为第一类间断点.

又由于，所以为无穷间断点.

故应选B.

函数的无穷间断点的个数为（）

.

9例二、函数的间断点209定义也有极限，但是的点，

（1）熟练掌握求间断点的方法.

定义1.21在处虽有处虽有定义，但无极限的点，在无定义的点（但在其左、右邻域有定义）；

一般地,断点.这些点为间二、函数的间断点210

（2）间断点类型由来决定.①若（常数），则为可去间断点.②若与均存在但不相等，则

为跳跃间断点.③若，则为无穷间断点.

二、函数的间断点211

(3)在间断点处，若左、右极限均存在，称此类间

断点为第一类间断点,其余的间断点称为第二类间断

点.可去间断点与跳跃间断点为第一类间断点,无穷间断点与振荡，间断点为第二类间断点.间断点属于第二类间断点.

0201函数连续的定义函数的间断点连续函数的性质03闭区间上连续函数的性质0403本讲内容三、连续函数的性质213连续函数.则它的反函数在区间上是单调连续函数.在点处连续，则复合函数连续.连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍是定义1.22设函数在区间上是单调的连续函数，定义1.23设函数连续，函数在点在点定义1.24三、连续函数的性质214基本初等函数在其定义域内连续.初等函数在其定义区间内都是连续的，所谓定义区间是指包含在定义域内的区间.040201函数连续的定义函数的间断点连续函数的性质03闭区间上连续函数的性质本讲内容四、闭区间上连续函数的性质216(最大值与最小值定理)定义1.25在如果函数上连续，则函数在闭区间闭区间上一定有最大值与最小值.abx1x2mMxyO处有最大值M.处有最小值如图所示，在点，在点四、闭区间上连续函数的性质217(介值定理)定义1.26如果在闭区间上连续，和分别为之间的在上的最小值与最大值，则对介于与任一实数），至少存在一点(即.使得，四、闭区间上连续函数的性质218如图所示，连续曲线所以有其横坐标分别为与直线相交于三点，.Mmaξ1ξ2cccξ3byOx四、闭区间上连续函数的性质219最小值，设则.，使上必存在证明:在

10例在若函数上连续，且上连续，所以上必有最大值和在在则

证明因为在上连续，又，所以四、闭区间上连续函数的性质220接前，则由连续(1)若，任取，则有(2)若函数介值定理知,，使得中一点作为，使得,即有四、闭区间上连续函数的性质221，任取(3)若，则有接前,即有，使得中一点作为四、闭区间上连续函数的性质222(零点定理)定义1.25如果函数上连续，且在闭区间与异号，则至少存在一点，使得ξxyOab如图所示，连续曲线轴相交于与处，所以有四、闭区间上连续函数的性质223同步习题1.5基础题9至少有一个小于1的正根.证明：方程上的连续函数.

令，则为闭区间所以由闭区间上连续又因为,,函数的零点定理知,内至少存在一点在开区间，.使故方程至少有一个小于1的正根.

证明

11例至少含有一个零点.四、闭区间上连续函数的性质224

12例证明:多项式，则不妨设

证明使，四、闭区间上连续函数的性质225使由保号性，存在，存在使由连续函数的零点定理知存在，所以至少有一个零点.，学海无涯，祝你成功！高等数学（上册）（慕课版）习题课高等数学（上册）（慕课版）第2章导数与微分第2章导数与微分228（2015204）设函数

.

解

1例若在处连续，则（）.A.B.C.D.

易求得处连续在第2章导数与微分229

因此，.故应选A.于是当时，存在230第2章导数与微分

证明

2例设是偶函数，且在点处可导，证明：.所以.

注231第2章导数与微分处的导数要利用导数定义

.（1）考虑函数在一点

（2）讨论分段函数在定义域内的可导性，在各区间段内利用求导公式及四则运算法则，在分界点考虑也就是说只要在所.（3）讨论分段函数在分界点处的导数有时候也利用以下定理：若在点内连续，在内可导，且极限存在，则存在，且，的某邻域内232第2章导数与微分存在，则不但在点处存在而且在点处连续，这一结论对单侧导数与也成立.（4）由于可导的必要条件是连续，界点处不连续则必不可导，连续则利用（2）或（3）中的方法讨论其可导性.述条件下因此如果函数在分如果函数在分界点处233第2章导数与微分

解

3例利用复合函数求导法则得的导数.求函数.234第2章导数与微分

解

4例设，则=

.，所以，故应填.235第2章导数与微分

解

5例设的反函数，时，，.由当得所以.是求.236第2章导数与微分

解

6例（2020104,2020204）则=

.故应填.，237第2章导数与微分

解

8例（2015204）则=

.故应填48.，238第2章导数与微分

解

8例（2012204）设是由方程所确定的隐函数，则=

.在原方程中令，得.两边对求导，得.再将原方程令，得，.再将上式两边对求导，得.令，，，得，于是故应填1..239第2章导数与微分

解

9例（2020304）曲线在处的切线方程为

.在原方程两边对求导，得，令，得.所求切线方程为故应填，，.第2章导数与微分

解

10例（2020204）已知函数，当时，为（

）.A.B.C.D.易求得.由莱布尼茨公式得240241第2章导数与微分.故应选A.，242第2章导数与微分

解

11例（2015204）函数在处的阶导数为

.易求得，由莱布尼茨公式得，243第2章导数与微分所以，.因为上式当.时也成立，故应填，244第2章导数与微分

解

14例验证满足方程，并求.，两端对，求导得，对此式两端求阶导数，莱布尼茨公式，利用.有245第2章导数与微分在上式中令，得递推公式，注意到和，于是有当时，；当时，.学海无涯，祝你成功！高等数学（上册）（慕课版）本章导学高等数学（上册）（慕课版）第2章导数与微分本章主要内容包括：分是微分学中两个重要的基本概念，它们在科学技术、工程建设等领域有着极为广泛的应用.微分学是微积分学的重要组成部分，而导数和微第2章导数与微分248函数在某点的导数求导法则隐函数求导对数求异法参数方程确定函数的倒数微分的概念与计算01导数微分可导与微分的关系0203导学内容1.平面曲线的切线斜率问题导数起源于两个经典问题01导数250平均变化率割线斜率:瞬时变化率切线斜率:M0MTOα

L2.变速直线运动的瞬时速度问题01导数251平均变化率平均速度:瞬时变化率瞬时速度:导数的计算方法导数起源于两个经典问题01导数252抽象导函数便于计算01导数253导数变化率导数微分可导与微分的关系030201导学内容25502

微分当自变量有微小改变量时，需要计算相应的函数改变量.受热金属片面积的改变量引例高阶无穷小线性主部x0x0S=x02x0Δxx0ΔxΔxΔx（Δx）225602

微分