专题6.2 平行四边形的判定【九大考点】-【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化讲与练

专题6.2平行四边形的判定【九大考点】-【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化讲与练（一）平行四边形的判定平行四边形的判定：k<0b>0几何表达式举例：(1)∵AB∥CDAD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形(2)∵AB=CDAD=BC∴四边形ABCD是平行四边形(3)∵∠A=∠B∠C=∠D∴四边形ABCD是平行四边形（4）∵AB=CDAB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形（5）∵OA=OCOB=OD∴四边形ABCD是平行四边形

（二）三角形中位线性质三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.如图：DE=12典例1：1．已知：如图，点O是平行四边形ABCD的对角线BD的中点，E，F分别是BC和AD上的点，且AE∥FC．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）求证：△ABE≌△CDF；【变式1】2．如图，在菱形ABCD中，过点C作对角线AC的垂线，交AB的延长线于点E，连接BD，求证：四边形DBEC是平行四边形．【变式2】3．如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，已知AE=DE、FE=CE，AD∥BC，求证：四边形为ABCD平行四边形．【变式3】4．如图，△ABC中，点D为AB的中点，E是AC上的一点，且DE∥BC，延长ED至点F，使得DF=DE，连接BF．（1）求证：△BDF≌△ADE；（2）求证：四边形FBCE是平行四边形．典例2：5．用六个全等的正三角形拼成如图所示的图形，请找出其中所有的平行四边形，并选择其中之一加以证明．【变式1】6．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．【变式2】7．如图，以△ABC的各边向同侧作正三角形，即等边△ABD、△BCF、△ACE，连接DF，EF．求证：四边形AEFD是平行四边形．【变式3】8．综合与实践：某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）基础计算：边长为2的等边三角形的面积为；（2）实践操作：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=4,AC<BC．以AC为边向外作等边△ACD，以BC为边向外作等边△BCE，以AB为边向上作等边△ABF，连接DF，EF．①探究面积：记△ACD的面积为S1，△BCE的面积为S2，则②深入探究：请证明四边形CDFE是平行四边形，并求∠CEF的度数．典例3：9．如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BF=CE．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．【变式1】10．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF=DE．（1）图中的平行四边形有哪几个?请选择其中一个进行证明；（2）△AEF与△CEF的面积相等吗?请说明理由．【变式2】11．如图，点D，C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF．（1）求证：AB=EF；（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．【变式3】12．如图，四边形ABCD中，AB=CD、AC=BD，过点A作AE∥CD交CB的延长线于点E．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）四边形AECD为平行四边形．典例4：13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，G是OA的中点，H是OC的中点，试证明四边形EGFH是平行四边形．【变式1】14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且BO=DO，AD∥BC．求证：四边形ABCD为平行四边形．【变式2】15．在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（△ABF和△CDE），按如图的方式放置，已知∠BAF=∠DCE=90°，AF=CE=3，AB=CD=4，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，求BD的长．【变式3】16．如图所示，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=3，BC=5，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形．（2）若BD=BC，求四边形BDFC的面积．典例5：17．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，连接CE，AF，交BD于点G，H，连接EH，FG．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）求证：四边形EHFG是平行四边形．【变式1】18．【问题背景】如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，连接BE,AD,BD=CE，以AD为边向右作等边△ADF，连接EF,CF．（1）【初步发现】求证：△CEF为等边三角形；（2）【深入探究】求证：四边形BDFE为平行四边形；（3）【拓展延伸】若AE=2,EF=4，求四边形BDFE的面积．【变式2】19．如图是由小正方形组成的6×9网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.（1）如图1，D是AB与网格线的交点，先画线段DE∥BC交AC于点E，连接BE，画BE的中点F；（2）如图2，先过点A画AB的垂线，再画点C关于AB的对称点H．典例6：20．如图，在等边△ABC中，高AD，BE相交于点F，连接DE，则∠FED的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【变式1】21．如图，在△ABC中，AB=BC，点D、E分别是边AC、BC的中点，连接BD、ED，若∠C=65°，则∠BDE的度数是（）A．24° B．25° C．30° D．35°【变式2】22．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点P是对角线的中点，点E和点F分别是AB与CD的中点．若∠PEF=20°，则∠EPF的度数是．【变式3】23．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若∠B=40°，则∠ADE的度数为．典例7：24．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC=12，DE=9则BG的长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【变式1】25．如图，四边形ABCD中，AB∥CD,G为AB上一点，连接DG，点E、F分别是AD、AG的中点，连接EF,EF∥CB,EF=2cm，则CB的长等于（）A．1.5cm B．4cm C．2.5cm D．3cm【变式2】26．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF=3，CF=7，则DE的长为．【变式3】27．如图，在△ABC中，已知AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,F是BC的中点．若AB=14cm，AC=20cm，则EF=cm．典例8：28．在△ABD中，E是AB的中点，DB，CE相交于点F，DF=FB，AF∥DC．（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；（2）连接AC交DB于点O，若CE⊥DB，EF=1，AF=13，则AC的长为【变式1】29．如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC=AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点．求证：BD=2EF．【变式2】30．如图，在四边形ABCD中，已知E，F，G，H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：EG与HF互相平分．【变式3】31．如图，在△ABC中，BD、CE分别为边AC、AB上的中线，BD、CE相交于点G，点M、N分别是BG、CG的中点，连接EM，DN，求证：EM=DN．典例9：32．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，点E在射线AB上（不与点A，B重合），将线段CE绕点E顺时针旋转120°，得到线段ED，连接AD，取AD中点F，连接FE．（1）如图1，若点E是AB中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段EF和BE的数量关系，并证明；（2）当点E在射线AB上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明．【变式1】33．如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC，点E是AB边上一点，连接CE，交AD于点F．（1）若AE=AF,∠B=α，直接写出∠BCE的度数；（用含α的式子表示）（2）在（1）的条件下，试用等式表示AF、AB、AD的数量关系，并证明．【变式2】34．如图，D是等边△ABC中BC边上的一点，连接AD，在AD的右侧作△ADE，使∠ADE=60°，∠AED=90°，连接CE．若CE平分∠ACB，求BDCD【变式3】35．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA与NM、CD分别交于点E、F．求证：∠BEN=∠NFC．

答案解析部分1．【答案】（1）证明∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）证明：∵平行四边形ABCD，∴AD=BC，∠ABC=∠ADC，AB=CD，又∵四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∴AD−AF=BC−CE，∴DF=BE，∴△ABE≌△CDF(SAS)2．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∵CE⊥AC，∴CE∥BD，又∵BE∥CD，∴四边形DBEC是平行四边形．【解析】【分析】

利用菱形“对边平行”的性质，结合点E的位置证明一组对边平行（CD∥BE），再利用菱形“对角线互相垂直”的性质，结合已知条件，利用"垂直于同一条直线的两条直线平行“可证明另一组对边平行（BD∥CE）即可证明.3．【答案】证明：在△AEF和△DEC中，AE=DE∠AEF=∠DEC∴△AEF≌△DECSAS∴∠AFE=∠DCE，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．4．【答案】（1）证明：∵点D为AB的中点，∴AD=BD，在△BDF和△ADE中，∵AD=BD，∠ADE=∠BDF，DE=DF．∴△BDF≌△ADESAS（2）证明：由（1）证得△BDF≌△ADE，∴∠A=∠DBF，∴CE∥BF，∵EF∥BC，∴四边形FBCE是平行四边形．【解析】【分析】（1）根据中点定义，可得AD=BD，再根据全等三角形的判定方法SAS证明两个三角形全等即可；（2）由（1）问可得∠A=∠DBF，再根据平行线的性质可证明CE∥BF，结合EF∥BC即可得到结论．

5．【答案】解：所有的平行四边形为：▱ABCO,▱BCDO,▱CDEO,▱DEFO,▱EFAO,▱FABO，根据题意得：AB=OF,AF=OB，所以四边形FABO是平行四边形，同理：四边形ABCO,BCDO,CDEO,DEFO,EFAO是平行四边形．

【解析】【分析】

根据题目可得到AB=OF,AF=OB，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可求证．6．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，同理：CE＝AF，∴四边形AECF是平行四边形．7．【答案】证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，∴∠DBA=∠FBC=60°，BD=BA=AD，BF=BC，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC，∴在△ABC与△DBF中，BD=BA∠DBF=∠ABC∴△ABC≌△DBFSAS∴AC=DF，∵△ACE是等边三角形，∴AC=AE，∴AE=DF，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB=EF=AD，∴四边形AEFD是平行四边形．【解析】【分析】

利用等边三角形的性质得到相等的边和角，通过证明三角形全等得出对应边相等，进而根据平行四边形的判定定理证明四边形AEFD是平行四边形.8．【答案】（1）3（2）解：①43②证明：∵△BCE和△ABF是等边三角形，∴AB=FB，CB=BE，∠ABF=∠CBE=∠CEB=60°，∴∠ABF−∠CBF=∠CBE−∠CBF，∴∠ABC=∠FBE，∴△ABC≌△FBESAS∴AC=FE，∠ACB=∠FEB=90°，∴∠CEF=∠FEB−∠CEB=30°，∵△ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴CD=FE，同理可得CE=DF，∴四边形CDFE是平行四边形．【解析】【解答】解：（1）如图所示，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，AB=AC=BC=2，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠BAD=1∴BD=1∴AD=A∴△ABC的面积=1（2）①同（1）的方法可得，S1=3∴S1∵∠ACB=90°，AB=4，∴AC∴S1【分析】（1）直接利用等边三角形的面积公式进行计算即可；（2）①利用等边三角形面积公式将S1，S2用边长表示，结合勾股定理AC2+BC2=AB2进行整体代换求解；②通过证明△ABC≌△FBESAS，求出∠CEF的度数；证明CD=FE，CE=DF，得到四边形CDFE9．【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，又∵BF=CE，∴BF−EF=CE−EF，∴BE=CF，∵在△ABE与△DCF中，AB=DC∠B=∠C∴△ABE≌△DCFSAS（2）解：连接AF、DE．由(1)知，△ABE≌△DCF，∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEF=∠DFE，∴AE∥DF，又∵AE=DE，∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．【解析】【分析】（1）由已知条件和全等三角形的判定定理SAS即可证得△ABE≌△DCF；（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得∠AEB=∠DFC，则∠AEF=∠DFE，再根据平行线的判定可以证得AE∥DF．最后由全等三角形的对应边相等证得AE=DF，则易证得结论．10．【答案】（1）解：图中的平行四边形有：平行四边形ADCF，平行四边形BDFC，理由是：∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD∥CF，AD=CF，∵D为AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF，BD∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形．（2）解：由（1）知四边形ADCF是平行四边形，∴AE=CE，∴S△AEF【解析】【分析】（1）根据”对角线互相平分的四边形是平行四边形“可得四边形ADCF是平行四边形，（2）利用”等底等高“判断三角形面积关系．11．【答案】（1）证明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠EDF，∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC，即BC=DF，在△ABC与△EFD中，∠ACD=∠EDF∴△ABC≌△EFDAAS∴AB=EF；（2）解：猜想：四边形ABEF为平行四边形，理由如下：连接AF,BE由（1）知△ABC≌△EFD，∴∠ABC=∠EFD，∴AB∥EF，又∵AB=EF，∴四边形ABEF为平行四边形．【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得到角i相等，利用线段的和差关系得到边相等，最后利用AAS证明△ABC≌△EFD，可得AB=EF；（2）由（1）可得∠ABC=∠EFD，再根据内错角相等两直线平行可得到AB∥EF，又AB=EF，可证出四边形ABEF为平行四边形．12．【答案】（1）证明：∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCBSSS（2）证明：由（1）得，△ABC≌△DCB∴∠ABC=∠DCB，∵AE∥DC，∴∠E+∠DCB=180°，∵∠ABE+∠ABC=180°，∴∠E=∠ABE，∴AB=AE，∵AB=DC，∴AE=DC，又∵AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形．【解析】【分析】（1）利用SSS证明△ABC≌△DCB即可．（2）利用全等三角形的性质得到对应角相等，结合平行线的性质（同旁内角互补）和邻补角的定义推导出∠E=∠ABE，从而利用”等角对等边“得到AB=AE，最后结合已知条件得出AE=CD，利用”一组对边平行且相等的四边形“即可完成证明.13．【答案】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠EAO=∠FCO．又∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．∵G是OA的中点，H是OC的中点，∴OG=OH，∴四边形EGFH是平行四边形．14．【答案】证明：如图．

∵AD∥BC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ADO和△CBO中，∠1=∠2∠3=∠4∴△ADO≌△CBOAAS∴AO=CO，∵DO=BO，∴四边形ABCD为平行四边形．【解析】【分析】

利用平行线的性质得到内错角相等，进而通过（AAS）证明三角形全等，推导出对角线互相评分，最终判定四边形为平行四边形.15．【答案】（1）证明：在△ABF和△CDE中，AB=CD∴△ABF≌△CDESAS∴∠AFB=∠CED，∴AF∥CE，∵AF=CE，∴四边形AECF为平行四边形；（2）解：连接AC交EF于点O，∵四边形AECF为菱形，∴AC⊥EF，OE=OF，OA=OC，在Rt△ABF中，BF=A由(1)知，△ABF≌△CDE，∴BF=DE=5，∵S△ABF∴AO=AB⋅AF∴AC=2AO=在Rt△AOF中，OF=A∴EF=2OF=18∴BE=BF−EF=5−∴BD=BE+ED=716．【答案】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，又∵E是边CD的中点，∴CE=DE，在△BEC与△FED中，∠CBE=∠DFE∠BEC=∠FED∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）解：∵BD=BC=5，∠A=90°，AD=3，∴AB=BD∴四边形BDFC的面积=BC⋅AB=5×4=20．【解析】【分析】

（1）根据“同旁内角互补，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）利用勾股定理求出平行四边形的高AB，结合平行四边形的面积公式列式计算即可得．17．【答案】（1）证明：由▱ABCD可得AB=DC，BC=AD，∠ABC=∠CDA，∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴DE=12AD∴DE=BF．∴△ABF≌△CED．（2）证明：∵△ABF≌△CED，∴∠AFB=∠CED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠ADB=∠DBC．∵DE=BF，∴△HBF≌△GDE．∴GE=HF，∠DGE=∠BHF．∴∠EGH=∠FHG．∴GE∥FH．∴四边形EHFG是平行四边形．18．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，∵△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC=∠DAF=∠ACB=60°，∴∠BAC−∠DAC=∠DAF−∠DAC，即∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，BA=AC∠BAD=∠CAF∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴∠ACF=∠ABD=60°，BD=CF，∵BD=CE，∴CF=CE，∴△CEF是等边三角形；（2）证明：由（1）可知，△CEF是等边三角形，∴∠CEF=60°，EF=CE，∴∠BCA=∠CEF=60°，∴EF∥BD，∵BD=CE，∴EF=BD，∴四边形BDFE是平行四边形；（3）证明：如图，过E作EG⊥BC于G，则∠EGC=90°，由（2）可知，CE=EF，∵AE=2,EF=4，∴AC=AE+EF=2+4=6，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=AB=6，∴∠CEG=90°−∠ACB=30°，∴CG=1∴EG=C∵四边形BDFE为平行四边形，∴BD=EF=4，∴S平行四边形【解析】【分析】

（1）通过证明△ABD≅△ACF，利用全等三角形对应边相等、对应角相等，结合已知条件BD=CE，推导出CE=CF且∠ECF=60°，从而证明△CEF为等边三角形；（2）由第（1）问的结论，得出EF=CE且∠CEF=60°，结合BD=CE和∠ACB=60°，证明EF平行且等于BD，进而判定四边形BDFE为平行四边形；

（3）根据平行四边形面积公式，利用等边三角形性质求出底边BD的长，通过作辅助线构造直角三角形求出高，最后计算面积即可．19．【答案】（1）解：如图所示，在格点上取点P，连接CP交格点于点Q，连接DQ，交AC于点E，连接DE即为所求线段；以AB为对角线作矩形AMBN，连接MN，交AB于点R，则点R为线段AB中点，∵BC=4，∴取线段BC中点S，连接RS交BE于点F，∴点F即为所求线段中点；（2）解：如图所示，根据格点的特点，分别在格点上取点T，D，有Rt△ATD，且AT=3，TD=4，∴AD=32∵BD∴AB∴△ABD是直角三角形，∠BAD=90°，即AB⊥AD，∴AD即为所求线段AB的垂直；如图所示，已知AD⊥AB，连接CD，以AD，CD为边作平行四边形ADCW，∴CW∥AD，∴CW⊥AB，延长CW，交格点于点H，∴点H即为所求点的位置．【解析】【分析】

（1）根据平行四边形的性质在格点上取点P，连接CP与网格交点Q，连接DQ即可得点E，根据矩形的性质，利用网格作矩形AMBN，可得对角线中点，取线段BC中点，根据中位线的性质即可求解；（2）根据格点的特点取直角△ATD，运用勾股定理即可作线段AB的垂线；以AD，CD为边作平行四边形ADCW可得，CW⊥AB，延长CW交格点于点H，由此即可求解．

20．【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC=AC，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴E、D分别为AC、BC的中点，BE为∠ABC的平分线，∴∠ABE=30°，ED为△ABC的中位线，∴ED∥AB，∴∠FED=∠ABE=30°．故答案为：D．【分析】

利用等边三角形“三线合一”的性质确定D、E分别为BC、AC的中点，进而利用中位线定理得到DE∥AB，最后通过平行线的内错角相等及角平分线的性质求出角度即可.21．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠C=65°，∴∠A=65°，∴∠ABC=50°，∵点D、E分别是边AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=1∴∠ABD=∠BDE，∵BE=12BC∴BE=DE，∴∠DBE=∠BDE，∴∠ABD=∠DBE=1∴∠BDE=25°，故答案为：B．【分析】

利用等腰三角形“三线合一”的性质求出角平分线分出的角度，并结合中位线定理构造平行线，最后利用内错角相等进行角度转化即可解答22．【答案】140°【解析】【解答】解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，∴PE=12AD∵AD=BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE=20°，∴∠EPF=180°−20°−20°=140°，故答案为：140°．【分析】

先利用三角形中位线定理将PE和PF分别与AD和BC建立数量关系，结合已知条件AD=BC证明△PEF是等腰三角形，最后利用三角形内角和定理求解即可.23．【答案】40°【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠B=∠ADE=40°，故答案为：40°．【分析】

根据三角形中位线定理得到DE与BC的关系，再利用平行线的性质求出角度即可.24．【答案】A【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，EC=1∵CF是∠ACB的平分线，∴∠GCF=∠ACF，∵DE∥BC，∴∠GCF=∠EFC，∴∠ACF=∠EFC，∴EF=EC=1∴DF=DE−EF=9−6=3，∴BG=2DF=6，故答案为：A．【分析】

利用平行线和角平分线推导出等腰三角形，从而求出线段EF的长，进而利用中位线定理求出BG的长即可．25．【答案】B【解析】【解答】解：∵点E、F分别是AD、AG的中点，∴EF∥DG，且EF=1∵EF=2cm，∴DG=4cm，∵EF∥CB，∴BC∥DG，又∵BG∥CD，∴四边形DGBC是平行四边形，∴DG=BC=4cm，故答案为：B．【分析】

由题意可知，EF是△ADG的中位线，利用中位线定理得出DG=4，再结合EF∥CB和AB∥CD，可推导出DG∥CB，最终通过平行四边形的判定得出CB的长即可.26．【答案】2【解析】【解答】解：∵D是AB的中点，FD⊥AB，AF=3，∴FD是AB的垂直平分线，∴FB=AF=3，∴CB=CF−FB=7−3=4，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1故答案为：2．【分析】

通过垂直平分线的性质求出BF的长，进而求出CB，最后根据三角形中位线定理求解即可．27．【答案】3【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAE，∵BE⊥AE，∴∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AED中，BAE=∠DAEAE=AE∴△AEB≌△AEDASA∴AD=AB=14cm，BE=ED∴DC=AC−AD=20−14=6(cm∵BE=ED，F是BC的中点，∴EF是△BDC的中位线，∴EF=1故答案为：3．【分析】

通过作辅助线，构造全等三角形，从而确定点E是线段BD的中点，结合已知点F为BC的中点，即可判定EF为△BCD的中位线，进而利用中位线定理求解即可.28．【答案】（1）证明：∵E是AB的中点，DF=FB，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，即：CF∥AD，∵AF∥DC，∴四边形AFCD为平行四边形（2）5【解析】【解答】解：（2）解：∵EF是△ABD的中位线，∴AD=2EF=2，∵四边形AFCD为平行四边形，∴CF=AD=2，CD=AF=13∴DF=C∴OF=1∴OC=C∴AC=2OC=5故答案为：5【分析】（1）根据三角形中位线定理（连接三角形两边中点的线段平行于第三条边）可得EF∥AD。即可得到CF∥AD，再利用平行四边形的判定定理（两组对边分别平行的四边形），可得四边形AFCD为平行四边形；

（2）根据中位线可得AD=2，根据平行四边形对边相等的性质，可得CF=AD=2，DC=AF=13，最后利用勾股定理可求解.29．【答案】解：证明：∵DC=AC，CE⊥AD∴点E是AD的中点．∵点F是AB的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴BD=2EF【解析】【分析】

利用DC=AC和CE⊥AD推导出点E是AD的中点，结合中点判定EF是△ABD的中位线，从而得到BD与EF的数量关系.30．【答案】证明：如图，连接EH,EF,FG,HG,AC，∵E，F，G，H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∴HG=1∴HG=EF,HG∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EG与HF互相平分．【解析】【分析】

连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明四边形EFGH为平行四边形，最后根据平行四边形的性质得出结论.31．【答案】证明：如图，连接AG，∵BD、CE为△ABC的中线，点M、N分别是BG，CG的中点，∴AE=BE，BM=GM，AD=CD，CN=GN，∴EM是△ABG的中位线，DN是△ACG的中位线，∴EM=12AG∴EM=DN．32．【答案】（1）解：∵AB=BC，∠ABC是等边三角形，∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∵点E是AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠BEC=90°，∵线段CE绕点E顺时针旋转120°得到线段ED，∴∠CED=120°，∴∠BED=∠CED−∠BEC=30°，∵点D，B，C恰好在一条直线上，∴∠BDE=∠ABC−∠BED=60°−30°=30°，∴∠BDE=∠BED，∴BE=BD，∵点F是AD的中点，点E是AB的中点，∴BD=2EF，∴BE=2EF；（2）解：结论仍然成立，理由如下：如图1，当点E在AB上时，延长DE至G，使EG=DE，连接CG，AG，∵F是AD的中点，∴AF=DF，∴AG=2EF，∵线段CE绕点E顺时针旋转120°得到线段ED，∴DE=CE，∠DEC=120°，∴EG=CE，∠CEG=180°−∠DEC=60°，∴△CEG是等边三角形，∴∠ECG=60°，由（1）知，△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACB=∠