河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题

河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个项是正确的．1．已知集合A=x-A．x-1<x<3 B．x-1<x<42．已知复数z=3+iA．-2 B．2 C．2i D3．a=A．a<c<b B．b<a<c C．b4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线2x+yA．45 B．-34 C．-45．生态系统的物种丰富度指数I=2S-3log2N用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从A．5N1=7N2 B．7N1=56．若两个随机事件A,B相互独立，满足P(A．45 B．35 C．1325 7．已知等比数列an的各项均为正数；a1013,a1014A．2026 B．2025 C．1014 D．10138．已知F1,F2分别是双曲线x2a2-yA．7 B．102 C．72 D二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知四边形ABCD是平行四边形，A(0,0,1),A．点D的坐标是0,1,0B．cosC．四边形ABCD的面积是3D．坐标原点O到直线AC的距离为210．函数f(A．f(x)是偶函数 B．fC．f(x)在[-π,π]有411．记等差数列an的前n项和为Sn，数列Snn的前A．若a1<0且S3=S11B．若当且仅当k=20时，TkC．若Tk取最小值时，k有两个不同解，则D．若an以1为首项，以2为公差，则数列a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12．已知函数f(x)=fx-13．某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值xi(i=1,2,3,⋯,100）．经计算i=1100x参考数据：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ14．已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为π3.AB是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面a与母线SA交于点P，当BS//α时，△四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，a,b,c分别为内角A（1）求△ABC（2）若D是AB的中点，求CD的最小值．16．某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：0，20，20，某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在0，20，20，40，40，+∞（1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由；（2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为X，求X的分布列.17．三棱锥P-ABC中，已知M是PC的中点．AM=BM=12（1）证明：AP⊥（2）当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为77（i）求PA的长；（ii）求三棱锥M-18．某设计图案由曲线C1与C2构成，曲线C1是以原点O为中心，F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆，曲线C2是满足|（1）求曲线C1和C（2）直线AF1与曲线C1的另一交点为A1，直线AF2与曲线（3）作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线l，当直线l与曲线C1交于B,E两点，与曲线C2交于C,D两点时，E点关于原点O的对称点为F，若G为CD的中点，点Q(5319．已知函数fx（1）若fx在定义域上单调递减，求a（2）当a=1（i）若0<x1<x2（ii）求证：1+

答案解析部分1．【答案】C【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法【解析】【解答】解：因为B=所以A∪B=x-3<x<4.

2．【答案】B【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：因为z=所以，复数z的虚部为2.故答案为：B.【分析】由复数的除法运算法则得出复数z，再由复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.3．【答案】B【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用三角函数的单调性比较大小【解析】【解答】解：因为0<sin2<1，所以则b=log2则c=2-b=12b>1【分析】根据正弦函数的单调性得出a的取值范围，利用对数函数的单调性，则得出b的取值范围，再根据指数函数的单调性，从而得出c的取值范围，进而比较出a，b，c的大小.4．【答案】C【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义【解析】【解答】解：当角α的终边落在第二象限时，取一点P-则sinα所以sin2当角α的终边落在第四象限时，取一点P'则sinα所以sin2综上所述：sin2α=-4【分析】根据已知条件和分类讨论的方法，再利用三角函数定义和二倍角的正弦函数，从而得出sin2α5．【答案】D【知识点】对数的性质与运算法则【解析】【解答】解：因为乔木层的物种数S保持不变，

而个体总数从N1变为N2，则丰富度指数由5提升至所以5=2S-3【分析】根据生态系统的物种丰富度指数公式，再结合对数的运算法则，从而得出N26．【答案】C【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率【解析】【解答】解：因为两个随机事件A,所以，两个随机事件A,由P(由P(所以P(A+【分析】根据独立事件的定义和对立事件的定义，再利用条件概率公式和对立事件求概率公式以及并事件求概率公式、交事件求概率公式，从而得出P(A7．【答案】D【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件【解析】【解答】解：因为f(令f'x>0，解得x所以，函数fx的单调递增区间为4,+∞和令f'x<0，解得1<x<4，

因此1,4是函数fx的两个极值点，

则a所以k=log4【分析】根据导数得出函数的单调区间，再利用函数极值点的定义和已知条件，从而得出a1013a1014的值，结合对数的运算法则，从而得出8．【答案】B【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质【解析】【解答】解：如图，设A，B是双曲线左支上的两点，令|AF1=3F在△F2AB整理得3m2-2am∴BF1=a,AF1=3a，∴△F2AB在Rt△F1则a2+(3a∴e=102，则该双曲线的离心率为102．

故答案为：B.

【分析】根据已知条件和双曲线定义以及余弦定理，从而得出BF2=3a9．【答案】A,C,D【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算；空间中的中点坐标公式【解析】【解答】解：对于A：设平行四边形ABCD的对角线交点为点E，因为A(0,0,1),C(2,2,0)，所以点E设点D的坐标是x,y,所以1=2+x21=1+y2对于B：因为AB=所以cos∠BAD=对于C：由以上可知：cos∠所以sin∠则四边形ABCD的面积是2×12⋅AB⋅对于D：因为AO=0,0,-1，AC=2,2,-1，

则坐标原点O到直线AC的距离为AO2-u⋅AO2=1-132=223，故选项D正确.

故答案为：10．【答案】A,B,D【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：对于A，因为f所以f则函数fx是偶函数，故A对于B，当x>0时，x=求导得f当x∈0,所以4sinx-则fx在区间0,π6对于C，当x∈0,π时，设将fx转化为由fx=0，得t当t=1时，sinx=1当t=12时，则fx在x∈0,因为fx是偶函数，则当x∈-π,0所以fx在x∈-π,对于D，对于任意实数x，均有sin2x=sin2令t则求fx的最大值转化为求y=2t因为函数图象的对称轴为t=当t=-1时，y当t=1时，y当t=34因此fxmax=6，故D正确.

故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和偶函数的定义，则判断出选项A；利用单调函数的定义判断出选项B；利用函数的奇偶性和函数零点的定义，则判断出选项C；对于任意实数x，均有sin2x=sin2x，则f(x)=2sin11．【答案】B,C【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比关系的确定【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d.对于A：因为S3=S11⇒3a1则Sn因为d>0,n∈所以n的最小值为14，故选项A不正确；对于B：令bn因为bn所以，数列bn是首项为a1，公差为当k=20时，T所以，数列bn是首项为负，单调递增的等差数列，且S20<0则a1所以S11-S9=对于C：因为Tk取最小值时，k有两个不同解，

不妨设k=k所以，数列Tk先单调递减，再单调递增，因此a1<0所以bk0+1所以，一定∃m=k0+1∈对于D：假设数列an中存在三项成等比数列，这三项设为a所以at2=apaq，

所以1+⇒1+2⇒2因为p,q,所以2t-p-q=02pq-2p-2q-2t2+4t=0⇒p=q=t，

这与p,q,t互不相等矛盾，所以假设不成立，故选项D不正确.

故答案为：BC.

【分析】根据等差数列的前n项和公式和一元二次不等式求解方法，可得出n的最小值，则判断出选项A；利用等差数列的定义判断出数列Snn12．【答案】2【知识点】函数的值；余弦函数的性质【解析】【解答】解：fπ2=f【分析】根据分段函数解析式和代入法，从而得出函数的值.13．【答案】39090【知识点】众数、中位数、平均数；正态密度曲线的特点【解析】【解答】解：由题意，样本均值为x因为x所以样本方差可估计为s用样本统计量估计总体参数，则可估计μ所以，质量指标值近似服从正态分布N因为合格标准是不小于80，

又因为80=94-14=94-2×7=所以，合格的概率为P由题中的参考数据，P因为正态分布关于均值μ对称，所以两侧尾部概率相等，则P因此P所以该批产品中质量测评合格的产品件数约为40000×0.97725=39090则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为39090.

故答案为：39090.

【分析】利用平均数公式和方差公式，从而得出质量指标值近似服从正态分布N94,49，再利用已知条件和正态分布对应的概率密度函数图象的对称性得出PX14．【答案】3【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；锥体的体积公式及应用【解析】【解答】解：如图，弦MN交AB于点Q，当BS//α时，SB⊂平面SAB，平面SAB则BS//由圆锥SO的底面为单位圆，其体积为π3则π3=13π设OQ=x,0<x<1，则PQBS=AQAB则△PMN的面积为：S所以S'由S'=0，得当x∈0,12时，S'>0，S单调递增；当则当x=12所以S的最大值为：S12=2212+11-122=368.

故答案为：36815．【答案】（1）解：在三角形中，角A，B，C成等差数列，

则2B所以B=60°，

得b2=a2+c2-ac则a2整理得ac=4，

根据三角形的面积公式，

可得S（2）解：在△BCD中，

=≥21当且仅当14c2=a2时，

即当【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；等差中项【解析】【分析】（1）利用等差中项的公式和三角形内角和定理，从而得出角B的值，再利用余弦定理和已知条件，从而得出ac的值，结合三角形的面积公式，从而得出△ABC的面积（2）利用中点的性质和余弦定理以及基本不等式求最值的方法，从而得出CD的最小值.（1）因为三角形中角A，B，C成等差数列，2B所以B=60°得b2=a2+则a2整理得ac=4，根据三角形的面积公式可得S（2）在△BCD中，=≥21当且仅当14c2此时CD取得最小值为2.16．【答案】（1）解：设“深度思考”模式，

“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为Y,Z,ZX，

则Y=0.6×2+0.3×1+0.1×0=1.5，

Z=0.75×2+0.2×1+0.05×0=1.7

ZX=0.35×2+0.45×1+0.2×0=1.15（2）解：因为三个问题中测评得分相等的问题的个数X可能的取值为0，2，3，所以P(P(P(则三个问题中测评得分相等的问题的个数X的分布列为：X023P0.1080.6480.244【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列【解析】【分析】（1）根据题中的统计表结合均值的定义得出“联网搜索”模式的测评得分最高．（2）根据已知条件得出三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式，从而得出X的分布列.（1）设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为Y,Y=0.6×2+0.3×1+0.1×0=1.5ZZX因为1.7>1.5>1.15，所以“联网搜索”模式的测评得分最高．（2）三个问题中测评得分相等的问题的个数X可能的取值为0，2，3P(P(P(所以三个问题中测评得分相等的问题的个数X的分布列为：X023P0.1080.6480.24417．【答案】（1）证明：在平面PAB内，过点A作AH⊥PB，交PB于因为平面PAB⊥平面PBC，又因为平面PAB∩平面PBC=PB，

所以AH⊥平面PBC，则AH⊥BC又因为AH⊥所以BC⊥平面PAB，

因为AP⊂平面PAB，

所以（2）解：（i）由（1）可知BC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以因为AM=12PC，则易得直角三角形PAC，又因为PA⊥BC,AC∩以B为原点，分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴，

过B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则B设P0,b,c,(c>0)设平面PAC的法向量m=(因为AC=(2,-b,0)由m⋅AC=0令x1=b，则y1=2，z1=0设平面PBC的法向量n=(因为BP=(0,b,由n⋅BP=0令y2=c，则z2=-b，所以因为向量数量积m⋅设平面夹角为θ，则cosθ=77，

所以联立方程：7c2=4(则7c2=64-4c2所以AP=（ii）由（1）可知，BC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以取AC的中点O，则OA=因为M是PC的中点，所以OM=则三棱锥M-ABC外接球的球心在O正下方O'，

设O因为底面三点A,B,C到O'的距离都等于R，

所以，R2=OA2+h2则3511+h2=d代入d=2011，得22011所以R=则R2=5516，【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）先在平面PAB内作AH⊥PB，由两平面垂直的性质得AH⊥平面PBC，推出AH⊥BC，结合条件证得PB⊥BC（2）（i）由(1)结合线面垂直的定义得出BC⊥AB，再结合已知条件和线面垂直的判定定理，从而得出PA⊥平面ABC，则以B为原点建系，从而得出各点坐标和向量坐标，求出平面PAC的法向量与平面PBC的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出（ii）由（1）可知BC⊥平面PAB得BC⊥AB，取AC中点O，再利用中点的性质和勾股定理，从而得出OA,OB,OC的长，再利用中点的性质和三棱锥外接球的结构特征以及底面三点A,B（1）在平面PAB内过点A作AH⊥PB，交PB于因为平面PAB⊥平面PBC，又平面PAB∩平面PBC=PB，所以则AH⊥BC，因为MB=因为AH⊥所以BC⊥平面PAB，因为AP⊂平面PAB，所以（2）由（1）可知BC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB因为AM=12PC，所以易得直角三角形又PA⊥BC,AC∩以B为原点，分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴，过B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则设P0,b,c,(设平面PAC的法向量m=(AC=(2,-b,0)由m⋅AC=0令x1=b，则y1=2，z设平面PBC的法向量n=(BP=(0,b,由n⋅BP=0令y2=c，则z2=-向量数量积m⋅设平面夹角为θ，cosθ=77，则联立方程：7c2=4(7c2=64-4c2所以AP=（ii）由（1）可知BC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB取AC的中点O.所以OA=又因为M是PC的中点，所以OM=则三棱锥M-ABC外接球的球心在O正下方O'，设O底面三点A,B,C到OR2=OM+h则R2=d3511消去h2可得35代入d=2011，得2R=R2=5518．【答案】（1）解：设点P(x,得P的轨迹方程为(x则曲线C2的方程为(x-53)2因为AF1与曲线C2则|A所以2a得a2则曲线C1方程为x（2）解：由（1）知，|AF所以AF2⊥因为直线AF1的斜率为33，所以直线AF1的方程为y=3则SΔ（3）解：设直线l:将直线l与椭圆x23则x所以k因为点Q(53,0)恰为圆C2的圆心，又因为G为弦CD的中点，

由垂径定理知QG所以k1则k1k2【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合【解析】【分析】（1）设点P(x,y)，由题意结合两点距离公式，从而可得(x+1)2+y2=2（2）由（1）得出|AF1|2-|AF2|2=（3）设直线l:y=kx+m,B（1）设点P(由(x+1)2+y即曲线C2的方程为(x-53因为AF1与C2所以|A则2a得a2所以曲线C1方程为x（2）由（1）知，|A所以AF2⊥直线AF1的斜率为33，直线AF1的方程为ySΔ（3）设直线l:将直线l与椭圆x23则x所以k2又点Q(53,0)恰为圆C2的圆心，而G所以k1k=-1所以k1即k1k219．【答案】（1）解：因为函数fx的定义域为0,+∞，求导得又因为fx在0,+∞上单调递减，所以f'则lnx-ax+1≤0恒成立，所以设gx=ln令g'x=0，则-当0<x<1时，g'x>0，gx单调递增；当则当x=1时，gx取得最大值，

所以g1所以a的取值范围为1,+∞（2）证明：（i）当a=1时，fx=xln令hx=ln令h'x=0，则1-当0<x<