【广义有限差分方法（GFDM）概述1300字】

广义有限差分方法（GFDM）概述广义有限差分方法（GFDM）基于多元函数泰勒级数展开和加权移动最小二乘拟合，其主要思想是将控制方程中未知变量的各阶偏导数表示为相邻节点函数值的线性组合。对于给定的内部节点，选择距离该节点最近的m个节点形成一个点簇，如图2.1所示。根据研究[32,33,69,70]，当m大于10时，可以获得稳定和准确的数值解。以2D情况为例，给定节点的点簇形成后，将点簇内部节点的函数值用中心节点的函数值进行泰勒级数展开： (2-1)其中，和分别表示节点和在轴方向和轴方向的距离： (2-2) (2-3)表示中心节点处的函数值，是节点处的函数值，是节点处的各阶导数值。通过截断泰勒级数(2-1)二阶之后的部分,定义加权残差函数： (2-4)其中：是节点处的权函数。从过去的一些研究[71,72]中看到，我们可以选择各种权函数来求解该问题，例如三次样条函数，势函数等。在本文的研究中，权重函数如下所示： (2-5)这里是节点与的距离，是的最大值。值得注意的是，权函数与点簇中相应节点和中心节点的距离呈负相关。换句话说，距离中心节点越近,权函数的值越小。权函数表明：点簇中的节点离中心节点越近，逼近函数越重要。图2.1二维情况下中心节点的点簇。用偏导数极小化残差函数，也就是说令 (2-6)形成线性代数方程组： (2-7)其中 (2-8)是对角矩阵,是每个元素都等于1的矩阵，和分别表示对角元素由下列公式定义的两个对角矩阵： (2-9) (2-10)此外 (2-11)其中是点簇中所有节点的函数值。对矩阵和,有兴趣的读者可以参阅参考文献[72,73]。根据上述推导，偏导数向量可以表示为： (2-12)其中 (2-13)通常通过使用加权移动最小二乘法获得。根据上面的分析，我们可以用中心节点及其附近节点的函数值的线性组合来近似中心节点的导数。在计算域中的每个节点处重复上述过程，获得其他内部节点的代数方程。让内点满足控制方程，边界点满足边界条件，形成最终的线性代数方程组。通过求解这个线性代数方程组，获得所有未知变量的函数值。比如二维泊松问题： (2-14)Dirichlet边界条件: (2-15)图2.2矩形区域的配点图。将矩形计算区域进行离散，获得12个边界点和6个内点。以第13个点为例，对于内点，选取距离它最近的m=6(m改变时只需改变点簇内相应的线性方程的个数)个节点形成一个点簇，图2.2给出了这些节点的分布情况。由图2.2可知，距离最近的6个点分别是，故这些点构成了中心节点的点簇。将点簇内的节点，以为中心进行按照公式(2-1)进行泰勒级数展开，截断二阶之后的部分获得： (2-16) (2-17) (2-18) (2-19) (2-20)由此残差函数(2-4)可以写作 (2-21)通过公式(2-6)极小化残差函数，形成线性代数方程组(2-7)，其中 (2-22) (2-23)由此偏导数向量可以表示为点簇内函数值的线性组合，见公式(2-12)。内点满足控制方程，泊松方程的每一项在中心节点处的离散形式为： (2-24) (2-25)这意味着可以将中心节点处函数值关于的二阶偏导数写为由等式(2-13)形成的矩阵的第三行和由点簇内部节点的函数值组成矩阵的乘积，将中心节点处函数值关于的二阶偏导数写为由等式(2-13)形成的矩阵的第四行和由点簇内部节点的函数值组成矩阵的乘积。两者相加就得到泊松方程在中心节点处的离散形式： (2-26)在计算域中的内点处重复上述过程，获得其他内部节点的线性代数方程。使边界点满足边界条件获得边界条件的离散形式：