2027届新高考数学热点突破复习导数型函数的构造问题

2027届新高考数学热点突破复习导数型函数的构造问题重难解读导数型函数的构造问题是高考中的难点之一，其特点是不给出具体的

函数解析式，而是给出函数f（x）及f'（x）满足的条件，求解函数中的比较大小、解不等式、恒成立等问题.这就需要根据条件构造函数，使问题在新函数下进行转化，并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等）求解.目录/CONTENTS考点一利用f（x）与xn构造函数01考点二利用f（x）与ex构造函数02考点三

利用f（x）与sin

x，cos

x构造函数03课时跟踪训练0401PART考点一利用f（x）与xn构造函数

（1）（2026·山东烟台模拟）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x

＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的

解集为（

D

）A.

（－4，0）∪（0，4）B.

（－∞，－4）∪（4，＋∞）C.

（－4，0）∪（4，＋∞）D.

（－∞，－4）∪（0，4）D解析：

构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'

（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜

0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递

减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.（2）已知函数f（x）的定义域为（－∞，0），f（－1）＝－1，其导函

数f'（x）满足xf'（x）－2f（x）＞0，则不等式f（x＋2

026）＋（x＋2

026）2＜0的解集为（

B

）A.

（－2

027，0）B.

（－2

027，－2

026）C.

（－∞，－2

027）D.

（－∞，－2

026）B

规律方法利用f（x）与xn构造函数（1）出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；

练1设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当

x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是

（

）A.

（－∞，－1）∪（0，1）B.

（－1，0）∪（1，＋∞）C.

（－∞，－1）∪（－1，0）D.

（0，1）∪（1，＋∞）√

02PART考点二利用f（x）与ex构造函数

（1）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R，有f'（x）－f

（x）＞0，则“x＜2”是“e2x－3f（x＋1）＞ex＋1f（2x－3）”的

（

A

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

既不充分也不必要条件D.

充要条件A

（2）（2026·江西南昌模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋

f'（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为（

D

）A.

（－∞，－3）B.

（－3，0）C.

（0，3）D.

（3，＋∞）解析：设F（x）＝f（x）·ex，则F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f

（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）是增函数.又f（3）＝3，则F（3）＝f

（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F（x）＞F

（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）.D规律方法利用f（x）与ex构造函数（1）出现f'（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）；

练2已知定义在R上的函数f（x）的导数为f'（x），f（1）＝e，且对任意

的x满足f'（x）－f（x）＜ex，则不等式f（x）＞xex的解集是（

）A.

（－∞，1）B.

（－∞，0）C.

（0，＋∞）D.

（1，＋∞）√

03PART考点三利用f（x）与sinx，cosx构造函数

√

规律方法利用f（x）与sin

x，cos

x构造函数的常见类型（1）F（x）＝f（x）sin

x，F'（x）＝f'（x）sin

x＋f（x）cos

x；

（3）F（x）＝f（x）cos

x，F'（x）＝f'（x）cos

x－f（x）sin

x；

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：76分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

12345678910

A.

{x｜－1＜x＜1}B.

{x｜x＜－1}C.

{x｜x＜－1或x＞1}D.

{x｜x＞1}√

2.

定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（0）＝4，则不

等式exf（x）＞ex＋3（其中e为自然对数的底数）的解集为（

）A.

（0，＋∞）B.

（－∞，0）∪（3，＋∞）C.

（－∞，0）∪（0，＋∞）D.

（3，＋∞）√解析：

不等式f（x）＋f'（x）＞1可化为（ex）'f（x）＋exf'（x）＞

ex，即[exf（x）]'－ex＞0，所以函数g（x）＝exf（x）－ex是增函数.

不等式exf（x）＞ex＋3，即exf（x）－ex＞3，即g（x）＞3＝g（0），

所以x＞0，故不等式exf（x）＞ex＋3的解集为（0，＋∞）.故选A.

12345678910

A.

f（2）＞f（3）B.

2f（1）＞f（3）C.

f（5）＞2f（2）D.

3f（5）＞f（1）√12345678910

12345678910

√12345678910

12345678910

A.

（－∞，－3）B.

（－∞，3）C.

（－3，＋∞）D.

（3，＋∞）√12345678910

123456789106.

〔多选〕已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'

（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（

）A.

f（2）＜e2f（0）B.

f（2）＞e2f（0）C.e2f（－1）＞f（1）D.e2f（－1）＜f（1）√√

123456789107.

若f（x）是R上可导的奇函数，当x≥0时，f'（x）－cos

x＜0，则不等

式f（x）＜sin

x的解集为

⁠.解析：令g（x）＝f（x）－sin

x，则g'（x）＝f'（x）－cos

x＜0在[0，

＋∞）上恒成立，故g（x）在[0，＋∞）上单调递减.又f（x）为R上的

奇函数，所以g（x）为R上的奇函数，所以g（x）在（－∞，0]上单调

递减，故g（x）在R上单调递减且g（0）＝0，不等式f（x）＜sin

x可化

为f（x）－sin

x＜0，即g（x）＜0，即g（x）＜g（0），所以x＞0，

所以原不等式的解集为（0，＋∞）.（0，＋∞）

123456789108.

（10分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若2f（x）

＋f'（x）＞0，且f（0）＝2

026，求不等式f（x）－2

026e－2x＞0的解集.解：令g（x）＝e2xf（x），则g'（x）＝2e2xf（x）＋e2xf'（x）＝e2x[2f

（x）＋f'（x）]＞0，所以g（x）在R上单调递增，因为f（0）＝2

026，所以g（0）＝e0f

（0）＝2

026，所以不等式f（x）－2

026e－2x＞0⇔f（x）＞2

026e－2x⇔e2xf（x）＞2

026⇔g（x）＞g（0），即x＞0，所以不等式f（x）－2

026e－2x＞0的解集为（0，＋∞）.12345678910

12345678910当x＞