2027届新高考数学热点突破复习函数的单调性

2027届新高考数学热点突破复习函数的单调性课标要求借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它

们的作用和实际意义.目录/CONTENTS考点一函数单调性的判断01考点二求函数的单调区间02提能点含参函数的单调性03课时跟踪训练0401PART考点一函数单调性的判断定义x1，x2一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如

果

x1，x2∈I，当x1＜x2时f（x1）

与f（x2）都有

⁠都有

⁠结论函数f（x）在区间I上

⁠

⁠函数f（x）在区间I上

⁠

⁠∀

f（x1）＜f（x2）

f（x1）＞f（x2）

单调

递增

单

调递减

图象描述

自左向右看图象是

⁠

自左向右看图象是

⁠

⁠上升的

下降的

B.

f（x）＝－3x＋1C.

f（x）＝x2＋4x＋3D.

f（x）＝x－1√√√

解：f（x）在[0，＋∞）上单调递增.

规律方法1.

函数单调性的判断方法（1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导

数法.2.

利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤练1

（1）已知函数y＝f（x）的定义域为R，“f（2）＞f（8）”是“函

数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减”的（

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件√解析：

若函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调递减，则对于∀x1，

x2∈[2，8]，且x1＜x2，均有f（x1）＞f（x2），∴f（2）＞f（8），故

后者为前者的必要条件，然而，由f（2）＞f（8），无法推出函数y＝f

（x）在区间[2，8]上单调递减，因此，“f（2）＞f（8）”并非充分条

件.综上，“f（2）＞f（8）”是“函数y＝f（x）在区间[2，8]上单调

递减”的必要不充分条件.

02PART考点二求函数的单调区间单调区间的定义如果函数y＝f（x）在区间I上

或

，那么就说

函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，

叫做y＝f

（x）的单调区间.提醒：（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；（2）当函

数有多个单调区间时应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连

接，只能用“，”或“和”连接.单调递增

单调递减

区间I

（1）定义在区间[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则

下列关于函数f（x）的说法错误的是（

C

）CA.

函数在区间[－5，－3]上单调递增B.

函数在区间[1，4]上单调递增C.

函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减D.

函数在区间[－5，5]上没有单调性解析：

同一函数的两个单调区间一般不能用“∪”连接，故C表示错误.

其余选项很明显都是正确的.（2）函数f（x）＝（x－4）·｜x｜的单调递增区间是（

C

）A.

（－∞，0）B.

（－∞，0）∪（2，＋∞）C.

（－∞，0）和（2，＋∞）D.

（2，＋∞）

C规律方法求函数单调区间的方法

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，常用方

法：①定义法；②图象法；③性质法；④导数法.练2

（1）下列说法正确的是（

D

）A.

若定义在（a，b）上的函数f（x）有无穷多对x1，x2∈（a，b），

使得x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则f（x）在（a，b）上单调递

增B.

若定义在R上的函数f（x）在区间（－∞，0]上单调递增，在区间

（0，＋∞）上也单调递增，则函数f（x）在R上是增函数C.

若函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数的单调递增区间是

[1，＋∞）D

B.

（0，1）D.

（1，＋∞）CD

03PART提能点含参函数的单调性

（1）（2026·湖南长沙模拟）若函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在区间

[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围是（

B

）A.

[1，＋∞）B.

（1，＋∞）C.

（－∞，1）D.

（－∞，1]解析：

因为函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在（－∞，a）上单调递

减，在（a，＋∞）上单调递增，又函数f（x）在区间[1，＋∞）上不单

调，所以a＞1.故选B.

B

A.

（－∞，0]B.

[－1，0]C.

[－1，1]D.

[0，＋∞）

B规律方法利用单调性求参数范围（或值）的策略

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：87分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

12345678910111213141.

下列函数在R上为增函数的是（

）A.

y＝x2B.

y＝x√

2.

已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为

（

）A.

[－1，2]∪[4，5]B.

[－1，2]和[4，5]C.

[－3，－1]∪[2，4]D.

[－3，－1]和[2，4]√解析：

由图象知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]，

故选B.

12345678910111213143.

若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，则f（m）与f（1）

的大小关系是（

）A.

f（m）＜f（1）B.

f（m）＞f（1）C.

f（m）≤f（1）D.

f（m）＝f（1）√解析：

因为函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，所以m－1

＜0，得m＜1，所以f（m）＞f（1）.故选B.

1234567891011121314

√

1234567891011121314

√

12345678910111213146.

〔多选〕已知函数f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，则

下列说法正确的是（

）A.

y＝－f（x）在R上是减函数B.

y＝f（x）－g（x）在R上是增函数D.

y＝[f（x）]2在R上是增函数√√1234567891011121314

1234567891011121314

（－∞，0），（1，＋∞）12345678910111213148.

函数f（x）＝ln

（x2－2x－8）的单调递减区间是

⁠.解析：由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＞4或x＜－2}.设t

＝x2－2x－8，则y＝ln

t为增函数.要求函数f（x）的单调递减区间，即求

函数t＝x2－2x－8的单调递减区间（定义域内）.因为函数t＝x2－2x－8

在（4，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减，所以函数f

（x）的单调递减区间为（－∞，－2）.（－∞，－2）

1234567891011121314

1234567891011121314

（1）求f（1）的值；解：

令x1＝x2＞0，代入得f（1）＝f（x1）－f（x1）＝0，故f（1）

＝0.1234567891011121314（2）证明：f（x）为减函数.

1234567891011121314

A.

y＝f（x）＋x是增函数B.

y＝f（x）＋x是减函数C.

y＝f（x）是增函数D.

y＝f（x）是减函数√1234567891011121314

1234567891011121314

A.

（－∞，－2）∪（0，3）

B.

（－∞，－2）∪（0，3]C.

（－∞，－2）∪（0，10）

D.

（－∞，－2）∪（0，10]√

123456789101112131413.

〔开放创新